एक बीजगणितीय अभिव्यक्ति जैसे $3x + 5$ एक वाक्यांश है (इसमें कोई समान चिह्न नहीं है)। एक समीकरण एक संपूर्ण गणितीय वाक्य है जो बताता है कि दो अभिव्यक्तियों का सटीक समान संख्यात्मक मान:
है$$\mathbf{3x + 5 = 20}$$
बायीं ओर ($\text{LHS}$) को दाहिनी ओर ($\text{RHS}$) को संतुलित करना चाहिए। समाधान (या मूल) वह विशिष्ट संख्या है जो चर के स्थान पर प्रतिस्थापित करने पर समीकरण को सत्य बनाती है।
एक समीकरण तभी संतुलित रहता है जब आप दोनों पक्षों के साथ समान व्यवहार करते हैं:
- दोनों तरफ समान संख्या जोड़ें: $x - 3 = 7 \implies x - 3 + 3 = 7 + 3 \implies x = 10$.
- दोनों तरफ से समान संख्या घटाएं: $x + 4 = 9 \implies x + 4 - 4 = 9 - 4 \implies x = 5$.
- दोनों पक्षों को एक ही गैर-शून्य संख्या से गुणा करें: $\frac{x}{3} = 5 \implies \frac{x}{3} \times 3 = 5 \times 3 \implies x = 15$.
- दोनों पक्षों को समान गैर-शून्य संख्या से विभाजित करें: $4x = 24 \implies \frac{4x}{4} = \frac{24}{4} \implies x = 6$.
उदाहरण: प्रत्येक संतुलन चरण को दर्शाने वाले समीकरण को हल करें: $$2x + 7 = 19$$
चरण 1 (शब्द को चर के साथ अलग करें): दोनों तरफ से $7$ घटाएं:
$$2x + 7 - 7 = 19 - 7 \implies 2x = 12$$
चरण 2 (चर को अलग करें): दोनों पक्षों को $2$ से विभाजित करें:
$$\frac{2x}{2} = \frac{12}{2} \implies \mathbf{x = 6}$$
चेक करें: $\text{LHS} = 2(6) + 7 = 12 + 7 = 19 = \text{RHS}$. सत्यापित!
$19$ के रूप में दाहिनी ओर छोड़ते समय बायीं ओर से $7$ घटाने पर संतुलन तुरंत झुक जाता है! आप एक तरफ जो भी ऑपरेशन करते हैं, आपको दूसरी तरफ भी वैसा ही करना होगा।
विज्ञान में रासायनिक समीकरण (जैसे $2\text{H}_2 + \text{O}_2 = 2\text{H}_2\text{O}$) इस सटीक संतुलन नियम का पालन करते हैं: बाईं ओर परमाणुओं की संख्या दाईं ओर से मेल खाना चाहिए।