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ICSE • कक्षा XI • Mathematics • अध्याय 9

अनुमानित समय: 90 मिनट

प्रगति: अध्ययनरत

सांख्यिकी (Statistics)

कक्षा 11 गणित में, "सांख्यिकी" 2026-27 सीआईएससीई/आईएससी कक्षा 11 पाठ्यक्रम के साथ संरेखित एक आधिकारिक, पाठ्यक्रम-सत्यापित मास्टर संसाधन प्रदान करता है।

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📊 क्या आपने कभी सोचा है?

दो क्रिकेट बल्लेबाजों का बल्लेबाजी औसत 50 रन समान हो सकता है, फिर भी एक हर मैच में लगातार 50 रन बनाता है जबकि दूसरा वैकल्पिक होता है बीच में...

दो क्रिकेट बल्लेबाजों का बल्लेबाजी औसत 50 रन का समान हो सकता है, फिर भी एक हर मैच में लगातार 50 रन बनाता है जबकि दूसरा शतक और शून्य के बीच बदलता रहता है! फैलाव के माप स्थिरता और अस्थिरता को मापते हैं।

यह अध्याय क्यों महत्वपूर्ण है

अध्ययन से पूर्व (आवश्यक ज्ञान)

कक्षा 10 से माध्य, माध्यिका और मोड।
समूहित आवृत्ति तालिकाएँ।
पूर्ण मान।

इस अध्याय के लक्ष्य

केंद्रीय प्रवृत्ति की सीमा और फैलाव के माप की आवश्यकता को समझाएं।
माध्य के बारे में माध्य विचलन की गणना करें और अवर्गीकृत और समूहीकृत आवृत्ति वितरण के लिए माध्यिका।
विचरण ($\sigma^2$) और मानक विचलन ($\sigma$) को मूल माध्य वर्ग विचलन के रूप में परिभाषित करें।
विचरण के लिए शॉर्टकट सूत्र लागू करें: $\sigma^2 = \frac{1}{N}\sum f_i x_i^2 - (\bar{x})^2$.
विभिन्नता के गुणांक का उपयोग करके वितरण की परिवर्तनशीलता की तुलना करें ($CV = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100$).

अध्याय रूपरेखा एवं प्रगति

1 1. माध्य विचलन

2 2। विचरण और मानक विचलन ($\sigma$)

3 3. भिन्नता का गुणांक (सीवी)

सम्पूर्ण सैद्धांतिक एवं वैचारिक अध्ययन

1. माध्य विचलन

माध्य विचलन केंद्रीय प्रवृत्ति से वस्तुओं के विचलन के संख्यात्मक मानों का अंकगणितीय माध्य है: $$\mathbf{MD(\bar{x}) = \frac{\sum f_i |x_i - \bar{x}|}{N}} \quad \text{and} \quad \mathbf{MD(M) = \frac{\sum f_i |x_i - M|}{N}}$$

2। विचरण और मानक विचलन ($\sigma$)

विचलन का वर्ग करके निरपेक्ष मानों पर विजय प्राप्त करता है:
• विचरण ($\sigma^2$): $$\mathbf{\sigma^2 = \frac{\sum f_i (x_i - \bar{x})^2}{N} = \frac{\sum f_i x_i^2}{N} - (\bar{x})^2}$$
• मानक विचलन ($\sigma$): $\mathbf{\sigma = \sqrt{\text{Variance}}}$

3. भिन्नता का गुणांक (सीवी)

विभिन्न इकाइयों या साधनों के साथ दो श्रृंखलाओं के बीच स्थिरता की तुलना करने के लिए: $$\mathbf{CV = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100}$$ छोटे CV वाली श्रृंखला अधिक सुसंगत, स्थिर और समान है; बड़ा सीवी अधिक परिवर्तनशीलता को इंगित करता है।

महत्वपूर्ण सूत्र, सर्वसमिकाएँ एवं प्रमेय

Variance

$\sigma^2=\frac{\sum (x_i-\bar{x})^2}{n}$

विचरण माप अंकगणित माध्य के चारों ओर फैलते हैं।

समस्या-समाधान अनुक्रम

$$Given data \to Definition \to Substitution \to Simplification \to Check$$

कार्य को स्पष्ट रूप से दिखाएं ताकि प्रत्येक गणितीय चरण हो सके सत्यापित।

डोमेन अनुशासन

State restrictions before cancelling, squaring, taking roots, or dividing.

अस्वीकृत मान अंतिम उत्तर का हिस्सा हैं।

अवधारणात्मक हल उदाहरण एवं अनुप्रयोग (Solved Examples)

उदाहरण 1

डेटा के माध्य के बारे में माध्य विचलन ज्ञात करें: $4, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 17$.

विस्तृत समाधान / उत्तर:

मीन $\bar{x} = \frac{4+7+8+9+10+12+13+17}{8} = \frac{80}{8} = 10$। विचलन $|x_i - 10|$: $6, 3, 2, 1, 0, 2, 3, 7$. योग $= 24$. $MD(\bar{x}) = \frac{24}{8} = 3$.

उदाहरण 2

संख्याओं के लिए विचरण और मानक विचलन ज्ञात करें: $6, 7, 10, 12, 13, 4, 8, 12$।

विस्तृत समाधान / उत्तर:

योग $= 72, n = 8 \implies \bar{x} = 9$. विचलन $(x_i - 9)^2$: $9, 4, 1, 9, 16, 25, 1, 9$. योग $= 74$. भिन्नता $\sigma^2 = \frac{74}{8} = 9.25$. मानक विचलन $\sigma = \sqrt{9.25} \approx 3.04$.

सामान्य गलतियाँ एवं परीक्षक के जाल (Examiner Traps)

सामान्य भ्रम / गलत उत्तर

किसी सूत्र को उसके डोमेन या प्रमेय की शर्तों की जांच किए बिना लागू करना।

सही वैज्ञानिक तथ्य

पहले प्रासंगिक प्रतिबंध लिखें, फिर मूल कथन में परिणाम को प्रतिस्थापित करें और सत्यापित करें।

सामान्य भ्रम / गलत उत्तर

मध्यवर्ती बीजगणितीय चरणों को छोड़ना और एक संकेत, कारक या अस्वीकृत समाधान खोना।

सही वैज्ञानिक तथ्य

रद्द करने से पहले अभिव्यक्ति को संरेखित रखें, कारक रखें और परीक्षण करें प्रत्येक उम्मीदवार उत्तर.

चित्रात्मक व्याख्या एवं मॉडल

Statistics Master Matrix

Conceptual framework, core mechanisms, and analytical relationships

Academic Architecture

1. Mean Deviation • 2. Variance & Standard Deviation ($\sigma$)

अध्याय का सार संक्षेप एवं 10 मुख्य निष्कर्ष

मुख्य बिंदु 1

विचरण: केंद्रीय प्रवृत्ति के आसपास अवलोकनों के बिखराव या प्रसार का माप।

मुख्य बिंदु 2

मीन विचलन: माध्य या माध्यिका से अवलोकनों की औसत दूरी।

मुख्य बिंदु 3

मानक विचलन: सार्वभौमिक मूल-माध्य-वर्ग फैलाव मीट्रिक।

मुख्य बिंदु 4

विचरण: से वर्ग विचलन का औसत अंकगणित माध्य.

मुख्य बिंदु 5

विभिन्नता का गुणांक (CV): डेटा सेटों में स्थिरता की तुलना करने वाला आयाम रहित प्रतिशत सूचकांक.

स्व-मूल्यांकन अभ्यास (Check Your Understanding)

मूल वैचारिक स्पष्टता की जांच के लिए नैदानिक प्रश्न। पहले स्वयं हल करें, फिर उत्तर देखें।

डेटा के माध्य के बारे में माध्य विचलन ज्ञात करें: $4, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 17$.

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: मीन $\bar{x} = \frac{4+7+8+9+10+12+13+17}{8} = \frac{80}{8} = 10$. विचलन $|x_i - 10|$: $6, 3, 2, 1, 0, 2, 3, 7$. योग $= 24$. $MD(\bar{x}) = \frac{24}{8} = 3$.
3.

संख्याओं के लिए विचरण और मानक विचलन खोजें: $6, 7, 10, 12, 13, 4, 8, 12$.

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: Sum $= 72, n = 8 \implies \bar{x} = 9$। विचलन $(x_i - 9)^2$: $9, 4, 1, 9, 16, 25, 1, 9$. योग $= 74$. भिन्नता $\sigma^2 = \frac{74}{8} = 9.25$. मानक विचलन $\sigma = \sqrt{9.25} \approx 3.04$.
विचरण = 9.25, SD ≈ 3.04.

विचरण का गुणांक क्या है? यह क्यों उपयोगी है?

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: भिन्नता का गुणांक $CV = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100$ है। यह फैलाव का एक सामान्यीकृत आयाम रहित माप है जिसका उपयोग विभिन्न साधनों या विभिन्न इकाइयों वाले दो डेटा सेटों के बीच स्थिरता, स्थिरता या जोखिम की तुलना करने के लिए किया जाता है।
CV = (σ/x̄) × 100; डेटासेट में स्थिरता की तुलना करता है।

दो क्रिकेट खिलाड़ियों A और B के बीच जिनका बल्लेबाजी औसत 40 और 40 है, और मानक विचलन 5 और 8 है, कौन अधिक सुसंगत है?

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: $CV_A = \frac{5}{40} \times 100 = 12.5\%$। $CV_B = \frac{8}{40} \times 100 = 20\%$. खिलाड़ी A का सीवी कम है और वह काफी अधिक सुसंगत है।
खिलाड़ी A अधिक सुसंगत है (कम CV)।

यदि डेटा सेट में प्रत्येक अवलोकन को सकारात्मक स्थिरांक $k$ से गुणा किया जाता है तो मानक विचलन पर क्या प्रभाव पड़ता है?

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: मानक विचलन को $k$ ($\sigma' = k\sigma$) से भी गुणा किया जाता है। यदि प्रत्येक मान में केवल एक स्थिरांक जोड़ा जाता है, तो मानक विचलन अपरिवर्तित रहता है।
मानक विचलन को k से गुणा किया जाता है।

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फाउंडेशन टेस्ट

15 MCQs • मूल अवधारणाएँ

एडवांस्ड टेस्ट

15 MCQs • HOTS और ट्रैप्स