वैमानिकी इंजीनियर एल्यूमीनियम के न्यूनतम वजन का उपयोग करते हुए ईंधन क्षमता को अधिकतम करने के लिए जेट ईंधन टैंक को कैसे आकार देते हैं, या मात्रात्मक वित्तीय एल्गोरिदम सटीक मिलीसेकंड की भविष्यवाणी कैसे करते हैं जब एक बढ़ती स्टॉक कीमत अपने चरम पर पहुंच गई? कैलकुलस के माध्यम से अनुकूलन इंजीनियरिंग को संचालित करता है।
यह अध्याय क्यों महत्वपूर्ण है
कक्षा 12 गणित में, "एप्लिकेशन ऑफ डेरिवेटिव्स" 2026-27 एनसीईआरटी पाठ्यक्रम के साथ संरेखित एक आधिकारिक, पाठ्यक्रम-सत्यापित मास्टर संसाधन प्रदान करता है।
अध्ययन से पूर्व (आवश्यक ज्ञान)
अध्याय 4 से व्युत्पन्न और श्रृंखला नियम।
स्पर्श रेखाएं।
द्विघात कार्य।
इस अध्याय के लक्ष्य
मात्रा में परिवर्तन की दर की गणना करें: $\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx} \frac{dx}{dt}$.
अंतराल निर्धारित करें जिस पर एक फ़ंक्शन सख्ती से बढ़ रहा है ($f'(x) > 0$) या सख्ती से घटाना ($f'(x) < 0$).
स्थानीय मैक्सिमा, स्थानीय मिनिमा और विभक्ति बिंदु खोजने के लिए पहला व्युत्पन्न परीक्षण और दूसरा व्युत्पन्न परीक्षण लागू करें.
एक बंद अंतराल पर एक निरंतर फ़ंक्शन के पूर्ण अधिकतम और पूर्ण न्यूनतम मान ढूंढें $[a, b]$.
क्षेत्रमिति में वास्तविक दुनिया अनुकूलन शब्द समस्याओं को हल करें और व्यापार.
अध्याय रूपरेखा एवं प्रगति
11. परिवर्तन की दर और एकरसता
22. मैक्सिमा और मिनिमा (ऑप्टिमाइज़ेश...
33. बंद अंतरालों पर पूर्ण चरम सीमा
सम्पूर्ण सैद्धांतिक एवं वैचारिक अध्ययन
1. परिवर्तन की दर और एकरसता
परिवर्तन की दर: $\frac{dA}{dt} = \frac{dA}{dr}\frac{dr}{dt}$। (उदाहरण के लिए पानी की गोलाकार तरंगों का विस्तार)। सख्ती से घट रहा है).
2. मैक्सिमा और मिनिमा (ऑप्टिमाइज़ेशन टेस्ट)
एक महत्वपूर्ण बिंदु तब होता है जहां $\mathbf{f'(c) = 0}$ या $f'(c)$ मौजूद नहीं होता है। • दूसरा व्युत्पन्न परीक्षण: 1. यदि $\mathbf{f''(c) < 0}$, तो $x = c$ स्थानीय अधिकतम. 2 का एक बिंदु है। यदि $\mathbf{f''(c) > 0}$, तो $x = c$ स्थानीय न्यूनतम. 3 का एक बिंदु है। यदि $f''(c) = 0$, परीक्षण विफल हो जाता है → प्रथम व्युत्पन्न चिन्ह परिवर्तन परीक्षण का उपयोग करें!
3. बंद अंतरालों पर पूर्ण चरम सीमा
$[a, b]$ पर पूर्ण अधिकतम/न्यूनतम खोजने के लिए: $(a, b)$ में सभी महत्वपूर्ण बिंदुओं पर और अंतिम बिंदु $a$ और $b$ पर फ़ंक्शन मानों का मूल्यांकन करें। उच्चतम मान पूर्ण अधिकतम है; न्यूनतम पूर्ण न्यूनतम है।
एक त्रुटि लॉग रखें और उन प्रश्नों पर दोबारा गौर करें जिनसे ग़लतफ़हमी उजागर हुई हो।
अवधारणात्मक हल उदाहरण एवं अनुप्रयोग (Solved Examples)
उदाहरण 1
एक वृत्त की त्रिज्या $3\text{ cm/s}$ की दर से समान रूप से बढ़ रही है। त्रिज्या $10\text{ cm}$ होने पर वृत्त का क्षेत्रफल किस दर से बढ़ रहा है उसका पता लगाएं।
विस्तृत समाधान / उत्तर:
क्षेत्र $A = \pi r^2$. $\frac{dA}{dt} = 2\pi r \frac{dr}{dt}$. दिए गए $\frac{dr}{dt} = 3\text{ cm/s}$ और $r = 10\text{ cm}$: $\frac{dA}{dt} = 2\pi(10)(3) = 60\pi\text{ cm}^2\text{/s} \approx 188.5\text{ cm}^2\text{/s}$.
उदाहरण 2
वे अंतराल ज्ञात करें जिनमें फ़ंक्शन $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 36x + 7$ सख्ती से बढ़ रहा है या सख्ती से घट रहा है।
विस्तृत समाधान / उत्तर:
$f'(x) = 6x^2 - 6x - 36 = 6(x^2 - x - 6) = 6(x - 3)(x + 2)$. महत्वपूर्ण बिंदु: $x = -2, 3$. अंतराल: $(-\infty, -2)$ में $f'(x) > 0$ है (सख्ती से बढ़ रहा है); $(-2, 3)$ में $f'(x) < 0$ (सख्ती से घटता हुआ) है; $(3, \infty)$ में $f'(x) > 0$ (सख्ती से बढ़ रहा है) है।
उदाहरण 3
दो धनात्मक संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका योग 15 है और जिनके वर्गों का योग न्यूनतम है।
विस्तृत समाधान / उत्तर:
माना संख्याएँ $x$ और $15 - x$ हैं। $S(x) = x^2 + (15 - x)^2 = 2x^2 - 30x + 225$. $S'(x) = 4x - 30 = 0 \implies x = 7.5$. $S''(x) = 4 > 0$ (न्यूनतम). दोनों संख्याएँ 7.5 हैं।
सामान्य गलतियाँ एवं परीक्षक के जाल (Examiner Traps)
सामान्य भ्रम / गलत उत्तर
किसी परिभाषा को प्रश्न या डेटा पर लागू किए बिना उसका पाठ करना।
सही वैज्ञानिक तथ्य
अवधारणा को पहचानें, प्रासंगिक साक्ष्य या गणना दिखाएं और अंतिम निहितार्थ समझाएं।
सामान्य भ्रम / गलत उत्तर
लंघन स्थितियाँ, इकाइयाँ, डोमेन प्रतिबंध, या समायोजन प्रभाव।
सही वैज्ञानिक तथ्य
धारणाएँ बताएं, इकाइयों को संरक्षित करें, सीमा मामलों की जाँच करें और मूल समस्या के विरुद्ध उत्तर को सत्यापित करें।
सामान्य भ्रम / गलत उत्तर
एक सही मध्यवर्ती परिणाम को इस बात का प्रमाण मानना कि संपूर्ण समाधान सही है।
सही वैज्ञानिक तथ्य
एक स्वतंत्र तर्कसंगतता जांच करें और परिणाम को वापस अध्याय सिद्धांत से जोड़ें।
व्युत्पन्नों का अनुप्रयोग - मुख्य वैचारिक और विश्लेषणात्मक मॉडल
अध्याय का सार संक्षेप एवं 10 मुख्य निष्कर्ष
मुख्य बिंदु 1
परिवर्तन की दर: तात्कालिक भौतिक विकास दर को मापने वाला श्रृंखला नियम अंतर।
मुख्य बिंदु 2
मोनोटोनिटी व्युत्पन्न नियम: सकारात्मक व्युत्पन्न सख्ती से बढ़ते ग्राफ की गारंटी देता है।
मुख्य बिंदु 3
महत्वपूर्ण बिंदु: की जड़ें $f'(x) = 0$ उम्मीदवार चोटियों और घाटियों की पहचान करना।
मुख्य बिंदु 4
दूसरा व्युत्पन्न वक्रता: नकारात्मक दूसरा व्युत्पन्न अवतल-नीचे शिखर को इंगित करता है।
मुख्य बिंदु 5
बंद अंतराल एक्स्ट्रेमा: सीमा समापन बिंदुओं के विरुद्ध महत्वपूर्ण बिंदु मानों की तुलना करना।
स्व-मूल्यांकन अभ्यास (Check Your Understanding)
मूल वैचारिक स्पष्टता की जांच के लिए नैदानिक प्रश्न। पहले स्वयं हल करें, फिर उत्तर देखें।
1
एक वृत्त की त्रिज्या $3\text{ cm/s}$ की दर से समान रूप से बढ़ रही है। त्रिज्या $10\text{ cm}$ होने पर वृत्त का क्षेत्रफल किस दर से बढ़ रहा है उसका पता लगाएं।
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर: क्षेत्र $A = \pi r^2$. $\frac{dA}{dt} = 2\pi r \frac{dr}{dt}$. दिए गए $\frac{dr}{dt} = 3\text{ cm/s}$ और $r = 10\text{ cm}$: $\frac{dA}{dt} = 2\pi(10)(3) = 60\pi\text{ cm}^2\text{/s} \approx 188.5\text{ cm}^2\text{/s}$. 60π सेमी²/सेकेंड।
2
वे अंतराल ज्ञात करें जिनमें फ़ंक्शन $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 36x + 7$ सख्ती से बढ़ रहा है या सख्ती से घट रहा है।
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर: $f'(x) = 6x^2 - 6x - 36 = 6(x^2 - x - 6) = 6(x - 3)(x + 2)$. महत्वपूर्ण बिंदु: $x = -2, 3$. अंतराल: $(-\infty, -2)$ में $f'(x) > 0$ है (सख्ती से बढ़ रहा है); $(-2, 3)$ में $f'(x) < 0$ (सख्ती से घटता हुआ) है; $(3, \infty)$ में $f'(x) > 0$ (सख्ती से बढ़ रहा है) है। (-∞, -2) U (3, ∞) पर बढ़ रहा है; (-2,3) पर घट रही है।
3
दो धनात्मक संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका योग 15 है और जिनके वर्गों का योग न्यूनतम है।
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर: माना संख्याएँ $x$ और $15 - x$ हैं। $S(x) = x^2 + (15 - x)^2 = 2x^2 - 30x + 225$. $S'(x) = 4x - 30 = 0 \implies x = 7.5$. $S''(x) = 4 > 0$ (न्यूनतम). दोनों संख्याएँ 7.5 हैं। संख्याएँ 7.5 और 7.5 हैं।
4
सिद्ध कीजिए कि $R$ त्रिज्या वाले गोले में अंकित किए जा सकने वाले सबसे बड़े शंकु का आयतन गोले के आयतन का $8/27$ है।
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर: माना शंकु की ऊंचाई $h$ और आधार त्रिज्या $r$ है। गोले की ज्यामिति से: $r^2 = R^2 - (h - R)^2 = 2Rh - h^2$. वॉल्यूम $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi (2Rh^2 - h^3)$. $\frac{dV}{dh} = \frac{\pi}{3}(4Rh - 3h^2) = 0 \implies h = \frac{4}{3}R$. $V_{\text{max}} = \frac{1}{3}\pi [2R(\frac{16R^2}{9}) - \frac{64R^3}{27}] = \frac{32}{81}\pi R^3 = \frac{8}{27}\left(\frac{4}{3}\pi R^3\right) = \frac{8}{27} V_{\text{sphere}}$. सिद्ध V_शंकु = 8/27 V_गोला.
5
अंतराल $[1, 5]$ पर $f(x) = 2x^3 - 15x^2 + 36x + 1$ का पूर्ण अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए।
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