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Class XII
Mathematics
अध्याय 1: संबंध एवं फलन (Relations & Functions) (Relations and Functions)

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ICSE • कक्षा XII • Mathematics • अध्याय 1

अनुमानित समय: 90 मिनट

प्रगति: अध्ययनरत

संबंध एवं फलन (Relations & Functions) (Relations and Functions)

कक्षा 12 गणित में, "संबंध और कार्य" 2026-27 एनसीईआरटी पाठ्यक्रम के साथ संरेखित एक आधिकारिक, पाठ्यक्रम-सत्यापित मास्टर संसाधन प्रदान करता है।

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क्रिप्टोग्राफर कैसे साबित करते हैं कि एक आरएसए एन्क्रिप्शन फ़ंक्शन एक गुप्त संदेश को इस तरह से खंगालता है कि प्रत्येक एन्क्रिप्टेड आउटपुट बिल्कुल एक से मेल खाता है यूनी...

क्रिप्टोग्राफर कैसे साबित करते हैं कि एक आरएसए एन्क्रिप्शन फ़ंक्शन एक गुप्त संदेश को इस तरह से खंगालता है कि प्रत्येक एन्क्रिप्टेड आउटपुट बिल्कुल एक अद्वितीय सादे-पाठ इनपुट से मेल खाता है? समतुल्य संबंध और विशेषण मानचित्रण गणितीय निश्चितता स्थापित करते हैं।

यह अध्याय क्यों महत्वपूर्ण है

अध्ययन से पूर्व (आवश्यक ज्ञान)

कक्षा 11 से संबंध और कार्य।
डोमेन और रेंज।
कार्टेशियन उत्पाद।

इस अध्याय के लक्ष्य

संबंधों के प्रकारों को वर्गीकृत करें: प्रतिवर्ती, सममित, सकर्मक और समतुल्य संबंध।
विभाजन सेट असंयुक्त तुल्यता वर्गों में $[a]$.
कार्यों के प्रकारों को वर्गीकृत करें: एक-एक (इंजेक्टिव), ऑन्टो (सर्जेक्टिव), और विशेषण।
एक विशेषण फलन का व्युत्क्रम समझें।
कार्यों की संरचना का मूल्यांकन करें: $(g \circ f)(x)$ और $(f \circ g)(x)$.

अध्याय रूपरेखा एवं प्रगति

1 1. संबंध और समतुल्यता के प्रकार

2 2 में विभाजित करता है। इंजेक्शन, वि...

3 3. फ़ंक्शन संरचना और उलटापन

सम्पूर्ण सैद्धांतिक एवं वैचारिक अध्ययन

1. संबंध और समतुल्यता के प्रकार

एक संबंध $R$ सेट $A$ पर है:
• प्रतिवर्ती: $(a, a) \in R$ प्रत्येक $a \in A$ के लिए.
• सममित: $(a, b) \in R \implies (b, a) \in R$.
• संक्रमणीय: $(a, b) \in R$ और $(b, c) \in R \implies (a, c) \in R$.
सभी तीन शर्तों को पूरा करने वाला एक संबंध समतुल्यता संबंध है, जो $A$ को असंयुक्त समतुल्यता वर्ग.

2 में विभाजित करता है। इंजेक्शन, विशेषण और विशेषण कार्य

एक-एक (इंजेक्टिव): $f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2$। (अलग-अलग तत्वों की अलग-अलग छवियां होती हैं; क्षैतिज रेखा परीक्षण!)।
ऑन्टो (विशेषण): प्रत्येक $y \in Y$ के लिए, $x \in X$ मौजूद होता है जैसे कि $f(x) = y$ (रेंज = कोडोमेन!)।
बिजेक्टिव: वन-वन और ऑन्टो दोनों एक साथ (उलटा!).

3. फ़ंक्शन संरचना और उलटापन

$f: A \to B$ और $g: B \to C$ के लिए: $$\mathbf{(g \circ f)(x) = g(f(x))}$$ यदि $f$ विशेषण है, तो एक अद्वितीय व्युत्क्रम फ़ंक्शन $\mathbf{f^{-1}: B \to A}$ मौजूद है जैसे कि $f^{-1} \circ f = I_A$ और $f \circ f^{-1} = I_B$।

महत्वपूर्ण सूत्र, सर्वसमिकाएँ एवं प्रमेय

उत्तर वास्तुकला

$$Concept \to Evidence \to Application \to Evaluation$$

अध्याय सिद्धांत का उपयोग करें, कार्य या साक्ष्य दिखाएं, और निष्कर्ष बताएं।

संशोधन लूप

$$Learn \to Practise \to Check \to Correct \to Reattempt$$

एक त्रुटि लॉग रखें और गलत धारणा को उजागर करने वाले प्रश्नों पर दोबारा गौर करें।

अवधारणात्मक हल उदाहरण एवं अनुप्रयोग (Solved Examples)

उदाहरण 1

दिखाएँ कि $R = \{(a, b) : 2 \text{ divides } (a - b)\}$ द्वारा दिए गए पूर्णांकों के सेट $\mathbb{Z}$ में संबंध $R$ एक तुल्यता संबंध है।

विस्तृत समाधान / उत्तर:

(1) रिफ्लेक्सिव: $a - a = 0$ 2 से विभाज्य है; $(a, a) \in R$. (2) सममित: यदि $2|(a-b)$, तो $2|-(a-b) \implies 2|(b-a)$; $(b, a) \in R$. (3) सकर्मक: यदि $2|(a-b)$ और $2|(b-c)$, तो $(a-b) + (b-c) = a - c$ 2 से विभाज्य है; $(a, c) \in R$. इसलिए, $R$ एक तुल्यता संबंध है।

उदाहरण 2

मान लीजिए $A = \mathbb{R} - \{3\}$ और $B = \mathbb{R} - \{1\}$। $f(x) = \frac{x-2}{x-3}$ द्वारा परिभाषित $f: A \to B$ पर विचार करें। क्या $f$ एक-एक और आच्छादक है? औचित्य सिद्ध करें.

विस्तृत समाधान / उत्तर:

एक-एक: $\frac{x_1-2}{x_1-3} = \frac{x_2-2}{x_2-3} \implies (x_1-2)(x_2-3) = (x_2-2)(x_1-3) \implies -3x_1-2x_2 = -3x_2-2x_1 \implies x_1 = x_2$. आगे: किसी भी $y \in B$ के लिए, $y = \frac{x-2}{x-3} \implies xy - 3y = x - 2 \implies x(y-1) = 3y - 2 \implies x = \frac{3y-2}{y-1} \in A$ सेट करें। चूंकि प्रत्येक $y \ne 1$ के लिए $x$ मौजूद है, $f$ चालू है। इसलिए, $f$ विशेषण है।

उदाहरण 3

फ़ंक्शन इंजेक्टिविटी के लिए क्षैतिज रेखा परीक्षण बताएं।

विस्तृत समाधान / उत्तर:

यदि प्रत्येक क्षैतिज रेखा किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ को अधिकतम एक बिंदु पर काटती है, तो फ़ंक्शन एक-एक (इंजेक्टिव) होता है; यदि कोई क्षैतिज रेखा ग्राफ़ को दो या दो से अधिक बिंदुओं में काटती है, तो यह अनेक-एक होती है।

सामान्य गलतियाँ एवं परीक्षक के जाल (Examiner Traps)

सामान्य भ्रम / गलत उत्तर

किसी परिभाषा को प्रश्न या डेटा पर लागू किए बिना दोहराना।

सही वैज्ञानिक तथ्य

अवधारणा को पहचानें, प्रासंगिक साक्ष्य या गणना दिखाएं, और अंतिम निहितार्थ समझाएं।

सामान्य भ्रम / गलत उत्तर

स्थितियों, इकाइयों, डोमेन प्रतिबंधों, या समायोजन प्रभावों को छोड़ना।

सही वैज्ञानिक तथ्य

धारणाओं को बताएं, इकाइयों को संरक्षित करें, सीमा मामलों की जांच करें और सत्यापित करें मूल समस्या के विरुद्ध उत्तर।

सामान्य भ्रम / गलत उत्तर

एक सही मध्यवर्ती परिणाम को इस बात के प्रमाण के रूप में मानना कि संपूर्ण समाधान सही है।

सही वैज्ञानिक तथ्य

एक स्वतंत्र तर्कसंगतता जांच करें और परिणाम को वापस अध्याय सिद्धांत से जोड़ें।

चित्रात्मक व्याख्या एवं मॉडल

Relations and Functions Master Matrix

Conceptual framework, core mechanisms, and analytical relationships

Academic Architecture

1. Types of Relations & Equivalence • 2. Injective, Surjective & Bijective Functions

अध्याय का सार संक्षेप एवं 10 मुख्य निष्कर्ष

मुख्य बिंदु 1

समतुल्य संबंध: रिफ्लेक्सिव, सममित, और सकर्मक।

मुख्य बिंदु 2

समतुल्यता वर्ग: डोमेन को विभाजित करने वाले पारस्परिक रूप से समतुल्य तत्वों का सबसेट।

मुख्य बिंदु 3

विशेषण: $f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2$ के माध्यम से सत्यापित एक-से-एक मैपिंग।

मुख्य बिंदु 4

सब्जेक्टिव: ऑनटू मैपिंग जहां रेंज पूरे कोडोमेन को शामिल करती है।

मुख्य बिंदु 5

बिजेक्टिव इन्वर्टिबिलिटी: एक फ़ंक्शन में व्युत्क्रम होता है यदि और केवल यदि यह विशेषण है।

स्व-मूल्यांकन अभ्यास (Check Your Understanding)

मूल वैचारिक स्पष्टता की जांच के लिए नैदानिक प्रश्न। पहले स्वयं हल करें, फिर उत्तर देखें।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: (1) रिफ्लेक्सिव: $a - a = 0$ 2 से विभाज्य है; $(a, a) \in R$. (2) सममित: यदि $2|(a-b)$, तो $2|-(a-b) \implies 2|(b-a)$; $(b, a) \in R$. (3) सकर्मक: यदि $2|(a-b)$ और $2|(b-c)$, तो $(a-b) + (b-c) = a - c$ 2 से विभाज्य है; $(a, c) \in R$. इसलिए, $R$ एक तुल्यता संबंध है।
प्रतिवर्ती, सममित और सकर्मक साबित हुआ।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: एक-एक: $\frac{x_1-2}{x_1-3} = \frac{x_2-2}{x_2-3} \implies (x_1-2)(x_2-3) = (x_2-2)(x_1-3) \implies -3x_1-2x_2 = -3x_2-2x_1 \implies x_1 = x_2$. आगे: किसी भी $y \in B$ के लिए, $y = \frac{x-2}{x-3} \implies xy - 3y = x - 2 \implies x(y-1) = 3y - 2 \implies x = \frac{3y-2}{y-1} \in A$ सेट करें। चूंकि प्रत्येक $y \ne 1$ के लिए $x$ मौजूद है, $f$ चालू है। इसलिए, $f$ विशेषण है।
विशेषण और विशेषण दोनों सिद्ध; विशेषण.

फ़ंक्शन इंजेक्टिविटी के लिए क्षैतिज रेखा परीक्षण बताएं.

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: यदि प्रत्येक क्षैतिज रेखा किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ को अधिकतम एक बिंदु पर काटती है, तो फ़ंक्शन एक-एक (इंजेक्टिव) होता है; यदि कोई क्षैतिज रेखा ग्राफ़ को दो या दो से अधिक बिंदुओं में काटती है, तो यह अनेक-एक होती है।
क्षैतिज रेखा ग्राफ़ को अधिकतम एक बार काटती है।

$n$ तत्वों वाले सेट से विशेषण कार्यों की कुल संख्या क्या है?

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: $n$ तत्वों के सेट से स्वयं पर आक्षेपों की कुल संख्या $n!$ (फैक्टोरियल) है $n$).
n! आक्षेप.

संबंध $R = \{(a, b) : a - b \text{ is a multiple of } 4\}$ के लिए $\mathbb{Z}$ पर तुल्यता वर्ग $[0]$ खोजें.

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: $[0] = \{x \in \mathbb{Z} : (x, 0) \in R\} = \{x : x - 0 \text{ is a multiple of } 4\} = \{\dots, -8, -4, 0, 4, 8, \dots\} = 4\mathbb{Z}$.
[0] = {..., -4, 0, 4, 8, ...}.

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फाउंडेशन टेस्ट

15 MCQs • मूल अवधारणाएँ

एडवांस्ड टेस्ट

15 MCQs • HOTS और ट्रैप्स