कक्षा 12 के गणित में, "थ्री डायमेंशनल ज्योमेट्री" 2026-27 एनसीईआरटी पाठ्यक्रम के साथ संरेखित एक आधिकारिक, पाठ्यक्रम-सत्यापित मास्टर संसाधन प्रदान करता है।
हवाई यातायात नियंत्रक अलग-अलग ऊंचाई पर उड़ान भरने वाले दो जेट विमानों को टकराने से कैसे रोकते हैं, या दो वाणिज्यिक उड़ान मार्गों के बीच सटीक सबसे छोटा उड़ान पथ कैसे निर्धारित करते हैं? तिरछी रेखाएं और 3डी स्थानिक ज्यामिति वाणिज्यिक हवाई क्षेत्र को नियंत्रित करती है।
यह अध्याय क्यों महत्वपूर्ण है
कक्षा 12 के गणित में, "थ्री डायमेंशनल ज्योमेट्री" 2026-27 एनसीईआरटी पाठ्यक्रम के साथ संरेखित एक आधिकारिक, पाठ्यक्रम-सत्यापित मास्टर संसाधन प्रदान करता है।
अध्ययन से पूर्व (आवश्यक ज्ञान)
3D कक्षा 11 से निर्देशांक।
अध्याय 10 से वेक्टर।
रैखिक सिस्टम।
इस अध्याय के लक्ष्य
दिशा कोसाइन ($l, m, n$) और दिशा अनुपात ($a, b, c$) खोजें लाइन.
एक बिंदु से गुजरने वाली और वेक्टर के समानांतर एक रेखा के वेक्टर और कार्टेशियन समीकरण लिखें: $\vec{r} = \vec{a} + \lambda\vec{b}$.
दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली एक रेखा का समीकरण लिखें: $\vec{r} = \vec{a} + \lambda(\vec{b} - \vec{a})$.
दो तिरछी रेखाओं के बीच सबसे छोटी दूरी की गणना करें: $d = \left|\frac{(\vec{b}_1 \times \vec{b}_2) \cdot (\vec{a}_2 - \vec{a}_1)}{|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2|}\right|$.
समानांतर के बीच सबसे छोटी दूरी की गणना करें पंक्तियाँ.
अध्याय रूपरेखा एवं प्रगति
11. एक रेखा की दिशा कोज्या और समीकरण
22. तिरछी रेखाओं के बीच सबसे कम दूरी
सम्पूर्ण सैद्धांतिक एवं वैचारिक अध्ययन
1. एक रेखा की दिशा कोज्या और समीकरण
एक रेखा का दिशा अनुपात $a, b, c$ होता है। दिशा कोसाइन: $l = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$, आदि • बिंदु $\vec{a}$ से होकर गुजरने वाली रेखा $\vec{b}$ के समानांतर: $$\mathbf{\vec{r} = \vec{a} + \lambda\vec{b}} \iff \mathbf{\frac{x - x_1}{a} = \frac{y - y_1}{b} = \frac{z - z_1}{c}}$$ • दो बिंदुओं से होकर गुजरने वाली रेखा $(x_1, y_1, z_1)$ और $(x_2, y_2, z_2)$: $\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{z - z_1}{z_2 - z_1}$.
2. तिरछी रेखाओं के बीच सबसे कम दूरी
तिरछी रेखाएं 3डी अंतरिक्ष में गैर-प्रतिच्छेदी, गैर-समानांतर रेखाएं हैं। रेखाओं $\vec{r} = \vec{a}_1 + \lambda\vec{b}_1$ और $\vec{r} = \vec{a}_2 + \mu\vec{b}_2$ के लिए: $$\mathbf{d = \left| \frac{(\vec{b}_1 \times \vec{b}_2) \cdot (\vec{a}_2 - \vec{a}_1)}{|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2|} \right|}$$ रेखाएं तभी प्रतिच्छेद करती हैं जब $d = 0$ (अर्थात $(\vec{b}_1 \times \vec{b}_2) \cdot (\vec{a}_2 - \vec{a}_1) = 0$)।
उत्तर: $Z$-अक्ष $X, Y, Z$ अक्षों के साथ $90^\circ, 90^\circ, 0^\circ$ बनाता है। दिशा कोसाइन $(\cos 90^\circ, \cos 90^\circ, \cos 0^\circ) = (0, 0, 1)$ हैं। (0, 0, 1).
5
दिखाएँ कि रेखाएँ $\frac{x-5}{7} = \frac{y+2}{-5} = \frac{z}{1}$ और $\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{3}$ एक दूसरे के लंबवत हैं।
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर: $a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 7(1) + (-5)(2) + 1(3) = 7 - 10 + 3 = 0$। चूँकि दिशा अनुपातों के उत्पादों का योग शून्य है, रेखाएँ लंबवत हैं। दिशा अनुपातों के उत्पादों का योग 0 है; लंबवत.
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