प्रमेय 1:
कथन: एक वृत्त के केंद्र से एक जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है।
प्रमाण:
मान लीजिए $AB$ केंद्र $O$ वाले वृत्त की एक जीवा है। $OM \perp AB$ ड्रा करें. हमें $AM = MB$.
साबित करना होगा$OA$ और $OB$ को जोड़ें। समकोण त्रिभुजों में $\triangle OMA$ और $\triangle OMB$:
- $OA = OB$ (एक ही वृत्त की त्रिज्या, कर्ण).
- $OM = OM$ (सामान्य पक्ष).
- $\angle OMA = \angle OMB = 90^\circ$ (समकोण).
द्वारा आरएचएस सर्वांगसमता मानदंड: $\triangle OMA \cong \triangle OMB$.
द्वारा सीपीसीटीसी: $\mathbf{AM = MB}$. $\blacksquare$
प्रमेय 2 (वार्तालाप):
कथन: किसी वृत्त के केंद्र को जीवा के मध्य-बिंदु से जोड़ने वाली रेखा जीवा पर लंबवत होती है.
प्रमाण: $\triangle OMA$ और $\triangle OMB$ में, $OA = OB$ (रेडि), $AM = MB$ (दिया गया), $OM = OM$ (सामान्य)। SSS द्वारा: $\triangle OMA \cong \triangle OMB \implies \angle OMA = \angle OMB$. चूँकि वे एक रैखिक युग्म बनाते हैं: $\angle OMA = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ \implies \mathbf{OM \perp AB}$। $\blacksquare$