कठोर निगमनात्मक प्रमाण
समस्या 1: दिए गए चित्र में, रेखा खंड $AB$ दूसरे खंड $CD$ के समानांतर है। $O$, $AD$ का मध्य-बिंदु है। साबित करें कि: (i) $\triangle AOB \cong \triangle DOC$, (ii) $O$ $BC$.
का मध्य-बिंदु भी है
प्रमाण:
$\triangle AOB$ और $\triangle DOC$ पर विचार करें:
- $\angle OAB = \angle ODC$ (वैकल्पिक आंतरिक कोण, चूंकि $AB \parallel CD$ और $AD$ एक अनुप्रस्थ रेखा के रूप में कार्य करते हैं)।
- $OA = OD$ (दिया गया है, क्योंकि $O$ $AD$ का मध्य-बिंदु है)।
- $\angle AOB = \angle DOC$ (ऊर्ध्वाधर विपरीत कोण).
इसलिए, ASA (कोण-पक्ष-कोण) सर्वांगसमता मानदंड:
द्वारा
$$\triangle AOB \cong \triangle DOC \quad \text{[Proved (i)]}$$
अब, CPCTC द्वारा (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग सर्वांगसम होते हैं):
$$OB = OC$$
$OB = OC$ से, यह सीधे तौर पर इस प्रकार है कि $O$ खंड $BC$ का मध्य-बिंदु भी है। $\blacksquare$ [साबित (ii)]
समस्या 2: सिद्ध करें कि किसी वृत्त की जीवा का लंब समद्विभाजक वृत्त के केंद्र से होकर गुजरता है।
प्रमाण:
मान लीजिए $AB$ केंद्र $O$ वाले वृत्त की एक जीवा है। मान लीजिए $M$, $AB$ का मध्य-बिंदु है, और मान लीजिए कि $OM$ जुड़ गया है।
हमें यह साबित करना होगा कि $OM \perp AB$.
$OA$ और $OB$ को जोड़ें. $\triangle OMA$ और $\triangle OMB$ में:
- $OA = OB$ (एक ही वृत्त की त्रिज्या).
- $AM = BM$ (यह देखते हुए कि $M$ जीवा $AB$ का मध्य-बिंदु है)।
- $OM = OM$ (सामान्य पक्ष).
इसलिए, SSS सर्वांगसमता मानदंड द्वारा: $\triangle OMA \cong \triangle OMB$.
सीपीसीटीसी द्वारा: $\angle OMA = \angle OMB$.
चूंकि $AMB$ एक सीधी रेखा है: $\angle OMA + \angle OMB = 180^\circ$ (रैखिक युग्म).
$$2\angle OMA = 180^\circ \implies \angle OMA = 90^\circ$$
$$\therefore OM \perp AB \quad \blacksquare$$
