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GBSHSE • कक्षा 7 • Mathematics • अध्याय 1
अनुमानित समय: 45 Mins
प्रगति: अध्ययनरत

पूर्णांक (Integers)

कक्षा 7 गणित में, अध्याय 10 "पूर्णांकों के साथ संचालन" हस्ताक्षरित संख्या अंकगणित पर पूर्ण महारत स्थापित करता है। 2026-27 एनसीईआरटी गणित प्रकाश पाठ्यक्रम के साथ संरेखित, यह मास्टर सामग्री टोकन मॉडल का उपयोग करके जोड़ और घटाव का पता लगाती है, यह साबित करती है कि क्यों दो नकारात्मक को गुणा करने पर एक सकारात्मक परिणाम मिलता है, ब्रह्मगुप्त के भाग्य और ऋण के ऐतिहासिक नियमों का विश्लेषण करता है, पूर्णांक विभाजन को खोलता है, और बीजगणितीय गुणों (क्लोजर, कम्यूटेटिविटी, एसोसिएटिविटी, डिस्ट्रीब्यूटिविटी) को लागू करता है।

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🌡️ क्या आपने कभी देखा है आश्चर्य हुआ?

एक नकारात्मक समय एक नकारात्मक को सकारात्मक क्यों बनाता है?

यदि आप पर रुपये का कर्ज है। 10 और आप 3 ऐसे ऋण लेते हैं, आपके पास $3 \times (-10) = -\text{Rs. } 30$ है। यह बिल्कुल स्वाभाविक लगता है। लेकिन पृथ्वी पर $(-3) \times (-10)$ को $+\text{Rs. } 30$ क्यों बनना चाहिए? दो ऋणों को गुणा करने पर संपत्ति कैसे बन सकती है?

$2\text{ liters per minute}$ ($-2$) पर एक टैंक से पानी निकलने की वीडियो रिकॉर्डिंग के बारे में सोचें। यदि आप वीडियो पीछे की ओर को अतीत ($-3\text{ minutes}$) में चलाते हैं, तो आप क्या देखते हैं? टैंक में पानी का स्तर अधिक गुणा $6$ लीटर था! गणितीय रूप से: $$(-2) \times (-3) = \mathbf{+6}$$

$1,400$ से अधिक वर्ष पहले, महान भारतीय गणितज्ञ ब्रह्मगुप्त ने यह सटीक सिद्धांत तैयार किया: "दो ऋणों का उत्पाद एक भाग्य है।" हस्ताक्षरित संख्याएँ कोई मनमाना आविष्कार नहीं हैं - वे भौतिक संतुलन, तापमान में गिरावट और वित्तीय की सटीक भाषा हैं प्रवाह.

यह अध्याय क्यों महत्वपूर्ण है

कक्षा 7 गणित में, अध्याय 10 "पूर्णांकों के साथ संचालन" हस्ताक्षरित संख्या अंकगणित पर पूर्ण महारत स्थापित करता है। 2026-27 एनसीईआरटी गणित प्रकाश पाठ्यक्रम के साथ संरेखित, यह मास्टर सामग्री टोकन मॉडल का उपयोग करके जोड़ और घटाव का पता लगाती है, यह साबित करती है कि क्यों दो नकारात्मक को गुणा करने पर एक सकारात्मक परिणाम मिलता है, ब्रह्मगुप्त के भाग्य और ऋण के ऐतिहासिक नियमों का विश्लेषण करता है, पूर्णांक विभाजन को खोलता है, और बीजगणितीय गुणों (क्लोजर, कम्यूटेटिविटी, एसोसिएटिविटी, डिस्ट्रीब्यूटिविटी) को लागू करता है।

अध्ययन से पूर्व (आवश्यक ज्ञान)

  • एक संख्या रेखा पर पूर्णांकों का प्रतिनिधित्व (शून्य के दाईं ओर सकारात्मक, बाईं ओर नकारात्मक)।
  • योगात्मक व्युत्क्रम: प्रत्येक पूर्णांक $a$ के लिए, $-a$ मौजूद होता है जैसे कि $a + (-a) = 0$.
  • बार-बार जोड़ के रूप में पूर्ण संख्या गुणन ($3 \times 4 = 4 + 4 + 4$).

इस अध्याय के लक्ष्य

  • परिमाण नियमों और टोकन मॉडल का उपयोग करके समान और असमान चिह्नों के साथ पूर्णांक जोड़ें और घटाएं।
  • संख्या पैटर्न का उपयोग करके बताएं कि दो नकारात्मक पूर्णांकों का उत्पाद सकारात्मक क्यों है।
  • धनात्मक और नकारात्मक पूर्णांकों को 100% चिह्न सटीकता के साथ गुणा और विभाजित करें।
  • एकाधिक नकारात्मक कारकों वाले उत्पाद का चिह्न निर्धारित करें।
  • जटिल पूर्णांक गणनाओं को सरल बनाने के लिए क्लोजर, क्रमविनिमेय, साहचर्य और वितरण गुण लागू करें।

अध्याय रूपरेखा एवं प्रगति

1 1। पूर्णांकों को जोड़ना और घटाना: च...
2 2. पूर्णांकों का गुणन और ऋणात्मकों...
3 3. पूर्णांकों और मूल बीजगणितीय गुणो...

सम्पूर्ण सैद्धांतिक एवं वैचारिक अध्ययन

1। पूर्णांकों को जोड़ना और घटाना: चिह्न और शून्य युग्म

1. अंतर्ज्ञान (टोकन मॉडल)

$+1$ के लिए हरे टोकन और $-1$ के लिए लाल टोकन की कल्पना करें। जब एक हरा टोकन एक लाल टोकन से मिलता है, तो वे एक दूसरे को पूरी तरह से रद्द करके शून्य जोड़ी बनाते हैं: $$(+1) + (-1) = \mathbf{0}$$

2. दो अतिरिक्त नियम
  • समान चिह्न: उनके परिमाण जोड़ें और सामान्य चिह्न रखें। $$\mathbf{(+4) + (+3) = +7}, \quad \mathbf{(-4) + (-3) = -7}$$
  • विभिन्न चिह्न: बड़े परिमाण में से छोटे परिमाण को घटाएं, और संख्या के चिह्न को बड़े परिमाण के साथ जोड़ें। $$\mathbf{(-9) + (+4) = -5}, \quad \mathbf{(+9) + (-4) = +5}$$
घटाव नियम: किसी पूर्णांक को घटाने के लिए उसका योगात्मक व्युत्क्रम जोड़ें! $$\mathbf{a - b = a + (-b)}, \quad \mathbf{a - (-b) = a + b}$$
3. कंक्रीट वर्क उदाहरण

उदाहरण: मूल्यांकन करें: $(-18) - (-25) + (-12)$

चरण 1: घटाव को विपरीत के योग में बदलें: $(-18) + 25 + (-12)$

चरण 2: नकारात्मक को एक साथ समूहित करें: $[(-18) + (-12)] + 25 = (-30) + 25$

चरण 3: विभिन्न चिह्न → $30 - 25 = 5$, $30$ का चिह्न ऋणात्मक है: $\mathbf{-5}$.

4. ख़तरा और परीक्षक ट्रैप
⚠️ ट्रैप: जोड़ बनाम गुणा में दो नकारात्मक
छात्र अक्सर कहते हैं "दो नकारात्मक एक सकारात्मक बनाते हैं" और लिखते हैं $(-5) + (-3) = +8$.
वास्तविकता: दो ऋण मिलकर एक बड़ा ऋण बनाते हैं: $(-5) + (-3) = \mathbf{-8}$! वाक्यांश "दो नकारात्मक एक सकारात्मक बनाते हैं" केवल गुणा और एक नकारात्मक के घटाव पर लागू होता है।
5. यह जीवन में क्यों मायने रखता है

उच्च ऊंचाई वाले पर्वतारोहण में, यदि रात का तापमान $-15^\circ\text{C}$ है और दिन का तापमान $+4^\circ\text{C}$ है, तो तापमान परिवर्तन $4 - (-15) = 19^\circ\text{C}$ है।

2. पूर्णांकों का गुणन और ऋणात्मकों का पैटर्न

1. अंतर्ज्ञान (अवरोही पैटर्न)

नीचे की ओर गिनती करते हुए $-3$ की गुणन तालिका देखें:

  • $3 \times (-3) = -9$
  • $2 \times (-3) = -6 \quad (+3)$
  • $1 \times (-3) = -3 \quad (+3)$
  • $0 \times (-3) = 0 \quad (+3)$
  • $(-1) \times (-3) = \mathbf{+3} \quad (+3)$
  • $(-2) \times (-3) = \mathbf{+6} \quad (+3)$

प्रत्येक चरण में $+3$ की वृद्धि के सुसंगत पैटर्न को बनाए रखने के लिए, दो नकारात्मक का गुणनफल सकारात्मक होना चाहिए!

2. ब्रह्मगुप्त के मास्टर गुणन नियम
कारक 1कारक 2उत्पाद का चिह्नउदाहरण
सकारात्मक ($+$)सकारात्मक ($+$)सकारात्मक ($+$)$4 \times 5 = +20$
सकारात्मक ($+$)नकारात्मक ($-$)नकारात्मक ($-$)$4 \times (-5) = -20$
नकारात्मक ($-$)सकारात्मक ($+$)नकारात्मक ($-$)$(-4) \times 5 = -20$
नकारात्मक ($-$)नकारात्मक ($-$)सकारात्मक ($+$)$(-4) \times (-5) = +20$

एकाधिक कारकों के लिए नियम:

  • यदि ऋणात्मक पूर्णांकों की गिनती EVEN है, तो गुणनफल POSITIVE.
    • है
  • यदि ऋणात्मक पूर्णांकों की गिनती ODD है, तो गुणनफल नकारात्मक.
    • है
3. कंक्रीट वर्क उदाहरण

उदाहरण: उत्पाद ढूंढें: $(-2) \times (-3) \times (-4) \times (-5)$

चरण 1: नकारात्मक संकेतों की गणना करें: $4$ नकारात्मक संकेत (एक सात संख्या) हैं।

चरण 2: इसलिए, अंतिम चिह्न सकारात्मक ($+$) है।

चरण 3: परिमाण गुणा करें: $2 \times 3 \times 4 \times 5 = 6 \times 20 = \mathbf{+120}$.

4. ख़तरा और परीक्षक ट्रैप
⚠️ ट्रैप: नकारात्मकों की विषम संख्या
$(-1) \times (-1) \times (-1)$ में, छात्र तीन नकारात्मक देखते हैं और $+1$.
लिखते हैं नियम: तीन एक विषम संख्या है! नकारात्मक $\times$ नकारात्मक $=$ सकारात्मक ($+1$), और $(+1) \times (-1) = \mathbf{-1}$.
5. यह जीवन में क्यों मायने रखता है

7वीं शताब्दी के भारत में, ब्रह्मगुप्त ने अपने ग्रंथ ब्रह्मस्फुटसिद्धांत में इन बीजगणितीय नियमों की स्थापना की, जिससे आधुनिक वैश्विक गणित का मार्ग प्रशस्त हुआ।

3. पूर्णांकों और मूल बीजगणितीय गुणों का विभाजन

1. डिवीजन साइन नियम

विभाजन गुणन का व्युत्क्रम है। इसलिए, भाग के लिए चिह्न नियम गुणन के समान हैं:

  • $\frac{\text{Positive}}{\text{Positive}} = \mathbf{Positive}$ → $20 \div 4 = 5$
  • $\frac{\text{Negative}}{\text{Negative}} = \mathbf{Positive}$ → $(-20) \div (-4) = \mathbf{+5}$
  • $\frac{\text{Negative}}{\text{Positive}} = \mathbf{Negative}$ → $(-20) \div 4 = \mathbf{-5}$
  • $\frac{\text{Positive}}{\text{Negative}} = \mathbf{Negative}$ → $20 \div (-4) = \mathbf{-5}$
शून्य से विभाजन: किसी भी पूर्णांक $a$ के लिए, $a \div 0$ अर्थहीन और अपरिभाषित है! हालाँकि, $0 \div a = 0$ ($a \ne 0$ के लिए)।
2. संक्रियाओं में पूर्णांकों के गुण
गुणजोड़घटावगुणाभाग
क्लोजरहांहांहांनहीं (उदा. $3 \div 2 \notin \mathbb{Z}$)
कम्यूटेटिव$a+b = b+a$No$ab = ba$No
सहयोगी$(a+b)+c = a+(b+c)$No$(ab)c = a(bc)$No
वितरण$a \times (b + c) = ab + ac$ (जोड़ पर गुणा)
3. ठोस कार्य उदाहरण (मानसिक वितरण)

उदाहरण: मूल्यांकन करें $(-26) \times 72 + (-26) \times 28$

चरण 1: सामान्य कारक पर ध्यान दें $(-26)$: $(-26) \times (72 + 28)$

चरण 2: ब्रैकेट में जोड़ें: $72 + 28 = 100$

चरण 3: गुणा करें: $(-26) \times 100 = \mathbf{-2,600}$

4. ख़तरा और परीक्षक ट्रैप
⚠️ ट्रैप: यह मानते हुए कि पूर्णांकों को डिवीजन
के तहत बंद कर दिया गया है पूर्णांक $+$, $-$, और $\times$ के अंतर्गत बंद होते हैं (परिणाम हमेशा एक पूर्णांक होता है)। लेकिन पूर्णांकों को विभाजन के अंतर्गत बंद नहीं किया जाता क्योंकि $5 \div 2 = 2.5$, जो एक भिन्न है, पूर्णांक नहीं!
5. यह जीवन में क्यों मायने रखता है

पनडुब्बी गहराई नेविगेशन नकारात्मक पूर्णांक का उपयोग करता है; समय के साथ गोता वंश दर की गणना हस्ताक्षरित पूर्णांकों को विभाजित करने पर निर्भर करती है: $(-300\text{ m}) \div 15\text{ min} = -20\text{ m/min}$.

चित्रात्मक व्याख्या एवं मॉडल

Integer Sign Matrix for Multiplication and Division

Like signs produce positive; unlike signs produce negative
$(+) \times (+)$
$+$ POSITIVE
$(+) \times (-)$
$-$ NEGATIVE
$(-) \times (+)$
$-$ NEGATIVE
$(-) \times (-)$
$+$ POSITIVE

अध्याय का सार संक्षेप एवं 10 मुख्य निष्कर्ष

मुख्य बिंदु 1
अतिरिक्त नियम: समान चिह्न परिमाण जोड़ते हैं और सामान्य चिह्न रखते हैं; विभिन्न चिह्न परिमाण घटाते हैं और बड़े परिमाण का चिह्न रखते हैं।
मुख्य बिंदु 2
योगात्मक व्युत्क्रम के रूप में घटाव: $a - b = a + (-b)$ और $a - (-b) = a + b$.
मुख्य बिंदु 3
गुणन चिह्न: समान चिह्न सकारात्मक परिणाम देते हैं ($+$); विपरीत चिह्न नकारात्मक ($-$) उत्पन्न करते हैं। नकारात्मक की गिनती भी सकारात्मक है; विषम संख्या ऋणात्मक है।
मुख्य बिंदु 4
ब्रह्मगुप्त का नियम: ऋण का गुणा ऋण एक भाग्य है ($(-) \times (-) = (+)$)।
मुख्य बिंदु 5
विभाजन: गुणन के समान चिह्न नियम; शून्य से विभाजन अपरिभाषित है।
मुख्य बिंदु 6
गुण: पूर्णांक $+$, $-$, $\times$ ($\div$ नहीं) के अंतर्गत बंद हैं; गुणन क्रमविनिमेय, साहचर्य है, और जोड़ पर वितरित होता है।

स्व-मूल्यांकन अभ्यास (Check Your Understanding)

मूल वैचारिक स्पष्टता की जांच के लिए नैदानिक प्रश्न। पहले स्वयं हल करें, फिर उत्तर देखें।

1
मूल्यांकन करें: $(-30) \div [(-13) + (-2)]$
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर: $+2$
कोष्ठक के अंदर: $(-13) + (-2) = -15$। फिर $(-30) \div (-15) = +2$.
2
18 ऋणात्मक पूर्णांकों और 5 धनात्मक पूर्णांकों के गुणनफल का चिह्न क्या है?
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर: धनात्मक ($+$)
$18$ ऋणात्मक पूर्णांक (एक सम संख्या) हैं। नकारात्मक कारकों की एक सम संख्या हमेशा एक सकारात्मक उत्पाद उत्पन्न करती है।
3
वितरण गुण का उपयोग करके मूल्यांकन करें: $(-49) \times 18$
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर: $-882$
$(-49) \times (20 - 2) = (-49) \times 20 - (-49) \times 2 = -980 - (-98) = -980 + 98 = -882$.
4
एक एलिवेटर $6\text{ m/min}$ की दर से एक खदान शाफ्ट में उतरता है। यदि उतराई जमीनी स्तर से $10\text{ m}$ से शुरू होती है, तो $-350\text{ m}$ तक पहुंचने में कितना समय लगेगा?
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर: $60\text{ minutes}$ (या $1\text{ hour}$)
कुल ऊर्ध्वाधर दूरी $= 10 - (-350) = 360\text{ m}$। समय $= 360 \div 6 = 60\text{ minutes}$.
5
क्या $a - b = b - a$ पूर्णांकों के लिए सत्य है? एक उदाहरण दीजिए.
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर: नहीं, पूर्णांकों के लिए घटाव क्रमविनिमेय नहीं है।
$a = 5, b = 3$ लें: $5 - 3 = 2$, लेकिन $3 - 5 = -2$। $2 \ne -2$.
अध्याय का अध्ययन पूर्ण हुआ?
अभ्यास के लिए तैयार?

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झारखण्ड बोर्ड परीक्षा पैटर्न पर आधारित बहुविकल्पीय प्रश्नों का ऑनलाइन टेस्ट दें। तुरंत परिणाम, समय विश्लेषण और प्रत्येक प्रश्न का विस्तृत हल प्राप्त करें।

फाउंडेशन टेस्ट
15 MCQs • मूल अवधारणाएँ
एडवांस्ड टेस्ट
15 MCQs • HOTS और ट्रैप्स

कक्षा 7 Mathematics के सभी अध्याय

अध्याय 1: पूर्णांक (Integers) अध्याय 2: भिन्न एवं दशमलव (Fractions and Decimals) अध्याय 3: आँकड़ों का प्रबंधन (Data Handling) अध्याय 4: सरल समीकरण (Simple Equations) अध्याय 5: रेखाएँ और कोण (Lines and Angles) अध्याय 6: त्रिभुज और उसके गुण (The Triangle and its Properties) अध्याय 7: राशियों की तुलना (Comparing Quantities) अध्याय 8: परिमेय संख्याएँ (Rational Numbers) अध्याय 9: परिमाप और क्षेत्रफल (Perimeter and Area) अध्याय 10: बीजीय व्यंजक (Algebraic Expressions) अध्याय 11: घातांक और घात (Exponents and Powers) अध्याय 12: सममिति (Symmetry) अध्याय 13: ठोस आकारों का चित्रण (Visualising Solid Shapes)

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