Factorization of Algebraic Expressions

একটি ভগ্নাংশ (Fraction) হলো কোনো অখণ্ড বস্তুর সমান কয়েকটি অংশের মধ্যে নির্দিষ্ট অংশ প্রকাশের গাণিতিক রূপ। একে $\frac{a}{b}$ আকারে প্রকাশ করা হয় (যেখানে $b \neq 0$)। ভগ্নাংশ মূলত তিন প্রকারের হয়:

• প্রকৃত ভগ্নাংশ (Proper Fraction): লব হরের চেয়ে ছোট হয় (যেমন: $\frac{3}{7}, \frac{5}{8}$)। এর মান সর্বদা ১ অপেক্ষা কম।
• অপ্রকৃত ভগ্নাংশ (Improper Fraction): লব হরের সমান বা বড় হয় (যেমন: $\frac{9}{4}, \frac{11}{5}$)। এর মান ১ বা ১ অপেক্ষা বেশি।
• মিশ্র ভগ্নাংশ (Mixed Fraction): পূর্ণ সংখ্যা এবং প্রকৃত ভগ্নাংশ যুক্ত থাকে (যেমন: $2\frac{1}{4} = \frac{2 \times 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$)।
• অনন্যক (Multiplicative Inverse / Reciprocal): কোনো অশূন্য ভগ্নাংশ $\frac{a}{b}$ এর লব ও হর পরস্পর স্থান বিনিময় করলে গঠিত $\frac{b}{a}$ হলো তার অনন্যক, যেখানে $\frac{a}{b} \times \frac{b}{a} = 1$।

বহু-প্রক্রিয়াবিশিষ্ট জটিল রাশিমালা সমাধানের জন্য গণিতবিদগণ একটি নির্দিষ্ট অগ্রাধিকার ক্রম তৈরি করেছেন, যা VBODMAS নিয়ম নামে পরিচিত:

জটিল বন্ধনী সমাধানের সময় সর্বদা ভেতর থেকে বাইরের দিকে এগোতে হয়: রেখা বন্ধনী $\rightarrow$ প্রথম বন্ধনী $( )$ $\rightarrow$ দ্বিতীয় বন্ধনী $\{ \}$ $\rightarrow$ তৃতীয় বন্ধনী $[ ]$।

চিহ্নের সোনালী নীতি: কোনো বন্ধনীর পূর্বে বিয়োগ চিহ্ন ($-$) থাকলে, বন্ধনী তুলে দেওয়ার সময় ভেতরের প্রতিটি পদের চিহ্নের পরিবর্তন ঘটে:
$-(x + y) = -x - y \quad \text{এবং} \quad -(x - y) = -x + y$।

কম্পিউটার অ্যালগরিদম, প্রোগ্রামিং ভাষা (যেমন Python, Java, C++) এবং আর্থিক ব্যাঙ্কিং সফটওয়্যারের ক্যালকুলেশন ইঞ্জিন এই কঠোর VBODMAS নিয়ম মেনেই প্রতিটি হিসাব পরিচালনা করে, যার ফলে কোনো গণনাতেই অস্পষ্টতা তৈরি হয় না।

সমজাতীয় এবং একই এককে প্রকাশিত দুটি রাশির তুলনামূলক পরিমাপকে অনুপাত (Ratio) বলে। একে $a : b$ আকারে লেখা হয় (পড়া হয় "$a$ ইটু $b$"), যেখানে $a$-কে পূর্বপদ (Antecedent) এবং $b$-কে উত্তরপদ (Consequent) বলে।

• এককহীন রাশি: অনুপাত সমজাতীয় রাশির তুলনা হওয়ায় এর কোনো একক থাকে না।
• লঘিষ্ঠ আকার: $a$ ও $b$ এর গ.সা.গু ১ হলে অনুপাতটি তার লঘিষ্ঠ বা সরলতম আকারে থাকে।
• ব্যস্ত অনুপাত: $a : b$ এর ব্যস্ত অনুপাত হলো $b : a$।
• মিশ্র বা যৌগিক অনুপাত: $a : b$ এবং $c : d$ এর যৌগিক অনুপাত হলো $(a \times c) : (b \times d)$।

যখন দুটি ভিন্ন অনুপাতে একটি সাধারণ চলক উপস্থিত থাকে, যেমন $A : B = a : b$ এবং $B : C = c : d$, তখন তাদের ধারাবাহিক অনুপাতে (Continued Ratio) রূপান্তরিত করতে মধ্যপদ $B$-কে ল.সা.গু দ্বারা সমান করতে হয়:

$$\text{যদি } A : B = 2 : 3 \quad \text{এবং} \quad B : C = 4 : 5 \text{ হয়}$$

$A : B$ কে $4$ দিয়ে গুণ করলে পাই $8 : 12$। আবার $B : C$ কে $3$ দিয়ে গুণ করলে পাই $12 : 15$।
$$\mathbf{A : B : C = 8 : 12 : 15}$$

চারটি রাশি $a, b, c, d$ সমানুপাতে থাকবে যদি $a : b = c : d$ বা $a : b :: c : d$ হয়, যার অর্থ প্রান্তীয় পদদ্বয়ের গুণফল = মধ্যপদদ্বয়ের গুণফল ($a \times d = b \times c$)।

• সরল সমানুপাত (Direct Proportion): একটি রাশির বৃদ্ধি বা হ্রাসের সাথে অপর রাশি একই অনুপাতে বৃদ্ধি বা হ্রাস পেলে (যেমন: পণ্যের পরিমাণ বাড়লে মোট দাম বৃদ্ধি পায়)। এখানে $\frac{x}{y} = k$ (ধ্রুবক)।
• ব্যস্ত সমানুপাত (Inverse Proportion): একটি রাশির বৃদ্ধির সাথে অপর রাশি আনুপাতিক হারে হ্রাস পেলে (যেমন: যানবাহনের গতিবেগ বাড়লে নির্দিষ্ট দূরত্বে যেতে কম সময় লাগে; শ্রমিকের সংখ্যা বাড়লে কাজটি শেষ হতে কম দিন লাগে)। এখানে $x \times y = k$ (ধ্রুবক)।

শতকরা (Percentage) হলো প্রতি ১০০-র ভিত্তিতে পরিমাপ (প্রতীক $\%$, যার হর ১০০)।
$$\text{ভগ্নাংশ থেকে শতকরা} = \frac{a}{b} \times ১০০\% \qquad \text{শতকরা থেকে ভগ্নাংশ} = \frac{x}{১০০}$$

শতকরা পরিবর্তনের সূত্র:
$$\text{শতকরা হ্রাস বা বৃদ্ধি} = \frac{|\text{নতুন মান} - \text{মূল মান}|}{\text{মূল মান}} \times ১০০\%$$

মিশ্রণের সমস্যায় মোট পরিমাণকে বিভিন্ন উপাদানের আনুপাতিক ভাগহার অনুযায়ী ভাগ করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, ৬০ লিটার দুধ ও জলের মিশ্রণে দুধ ও জলের অনুপাত ৩ : ২ হলে, অনুপাতের পদগুলির সমষ্টি $= ৩ + ২ = ৫$। অতএব দুধের পরিমাণ $= \frac{৩}{৫} \times ৬০ = ৩৬$ লিটার এবং জলের পরিমাণ $= \frac{২}{৫} \times ৬০ = ২৪$ লিটার।

যে গাণিতিক পদ্ধতিতে প্রথমে একটি নির্দিষ্ট এককের মান নির্ণয় করে পরে অভীষ্ট সংখ্যক এককের মোট মান বের করা হয়, তাকে ঐকিক নিয়ম বলে।

• সরল সম্পর্কে ১ এককের মান বের করতে ভাগ করতে হয়।
• ব্যস্ত সম্পর্কে ১ এককের মান বের করতে গুণ করতে হয় (যেমন: ১ জন লোক কাজটি করবে $= \text{লোকসংখ্যা} \times \text{দিনসংখ্যা}$ দিনে)।

অতিক্রান্ত দূরত্ব ($D$), সমবেগ বা গতিবেগ ($S$) এবং অতিবাহিত সময় ($T$) এর মধ্যবর্তী মৌলিক সম্পর্কটি হলো:
$$\mathbf{\text{দূরত্ব} = \text{গতিবেগ} \times \text{সময়}} \quad \Longleftrightarrow \quad S = \frac{D}{T} \quad \Longleftrightarrow \quad T = \frac{D}{S}$$

গতিবেগের দুটি প্রধান ব্যবহারিক একক হলো কিলোমিটার প্রতি ঘণ্টা (কিমি/ঘণ্টা) এবং মিটার প্রতি সেকেন্ড (মি/সেকেন্ড)। এদের মধ্যে পারস্পরিক রূপান্তরের নিখুঁত সূত্র:

$$১ \text{ কিমি/ঘণ্টা} = \frac{১০০০ \text{ মিটার}}{৩৬০০ \text{ সেকেন্ড}} = \mathbf{\frac{৫}{১৮} \text{ মি/সে}} \qquad ১ \text{ মি/সে} = \frac{৩৬০০ \text{ কিমি}}{১০০০ \text{ ঘণ্টা}} = \mathbf{\frac{১৮}{৫} \text{ কিমি/ঘণ্টা} = ৩.৬ \text{ কিমি/ঘণ্টা}}$$

সহজ নিয়ম: কিমি/ঘণ্টা থেকে মি/সেকেন্ডে যেতে $\frac{৫}{১৮}$ দিয়ে গুণ করুন; মি/সেকেন্ড থেকে কিমি/ঘণ্টায় যেতে $\frac{১৮}{৫}$ দিয়ে গুণ করুন।

কোনো গতিশীল ট্রেন যখন নগণ্য দৈর্ঘ্যের কোনো স্থির বস্তু (যেমন: টেলিগ্রাফের খুঁটি, ল্যাম্পপোস্ট, দাঁড়িয়ে থাকা ব্যক্তি বা সংকেত স্তম্ভ) অতিক্রম করে, তখন ট্রেনটিকে ঠিক নিজের দৈর্ঘ্যের সমান দূরত্ব অতিক্রম করতে হয়:
$$\mathbf{\text{অতিক্রান্ত মোট দূরত্ব} = \text{ট্রেনের নিজস্ব দৈর্ঘ্য } (L_{\text{train}})}$$

$$\text{অতিক্রম করার সময়} = \frac{L_{\text{train}}}{\text{ট্রেনের গতিবেগ}}$$

কোনো গতিশীল ট্রেন যখন নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্যের কোনো স্থির পরিকাঠামো (যেমন: রেলওয়ে প্ল্যাটফর্ম, সেতু বা সুড়ঙ্গ $L_{\text{plat}}$) অতিক্রম করে, তখন ট্রেনটিকে তার নিজের দৈর্ঘ্য এবং প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্যের সমষ্টির সমান দূরত্ব অতিক্রম করতে হয়:
$$\mathbf{\text{অতিক্রান্ত মোট দূরত্ব} = L_{\text{train}} + L_{\text{plat}}}$$

$$\text{অতিক্রম করার সময়} = \frac{L_{\text{train}} + L_{\text{plat}}}{\text{ট্রেনের গতিবেগ}}$$

বীজগাণিতিক রাশিতে যে পদগুলির বীজীয় চলক এবং তাদের ঘাত একই থাকে, তাদের সদৃশ পদ (Like Terms) বলে (যেমন: $3x^2y$ এবং $-7x^2y$)। কেবল সদৃশ পদগুলির মধ্যেই সরাসরি যোগ ও বিয়োগ করা সম্ভব। অসদৃশ পদের যোগ বা বিয়োগ আলাদা রাশিমুখ হিসেবে থেকে যায়।

অষ্টম শ্রেণির পাঠ্যক্রমে নিচের অভেদগুলি মুখস্থ ও প্রয়োগে দক্ষ হওয়া বাধ্যতামূলক:

অভেদ ১ ও ২ যোগ ও বিয়োগ করে আমরা দুটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ কার্যকরী অনুসিদ্ধান্ত পাই:

$$\mathbf{4ab = (a + b)^2 - (a - b)^2} \qquad \mathbf{ab = \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 - \left(\frac{a-b}{2}\right)^2}$$

$$\mathbf{2(a^2 + b^2) = (a + b)^2 + (a - b)^2} \qquad \mathbf{a^2 + b^2 = \frac{(a+b)^2 + (a-b)^2}{2}}$$

যখন কোনো রাশিমুখের রূপ $x + \frac{1}{x} = k$ হয়, তখন বর্গের অভেদের প্রয়োগে:
$$x^2 + \frac{1}{x^2} = \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 - 2(x)\left(\frac{1}{x}\right) = k^2 - 2$$
একইভাবে চতুর্থ ঘাতের ক্ষেত্রে: $x^4 + \frac{1}{x^4} = \left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right)^2 - 2$।

বীজগাণিতিক গুণের ক্ষেত্রে সহগের গুণ আলাদা এবং সূচকের সূচকীয় নিয়ম ($x^m \times x^n = x^{m+n}$) প্রযোজ্য হয়। গুণ প্রক্রিয়ায় প্রতিটি পদের সাথে বন্ধনীর ভিতরের প্রতিটি পদের বণ্টন সূত্র (Distributive Law) অনুযায়ী গুণ সম্পন্ন করতে হয়: $(a + b)(c + d) = a(c + d) + b(c + d) = ac + ad + bc + bd$।

দ্বিমাত্রিক ক্ষেত্রের মৌলিক পরিমিতির সূত্রাবলি:

• আয়তক্ষেত্র (দৈর্ঘ্য $L$, প্রস্থ $B$):
  পরিসীমা $= 2(L + B)$ একক | ক্ষেত্রফল $= L \times B$ বর্গ একক | কর্ণের দৈর্ঘ্য $= \sqrt{L^2 + B^2}$ একক।
• বর্গক্ষেত্র (বাহু $s$):
  পরিসীমা $= 4s$ একক | ক্ষেত্রফল $= s^2$ বর্গ একক | কর্ণের দৈর্ঘ্য $= s\sqrt{2}$ একক।

পরীক্ষার অত্যন্ত জনপ্রিয় সমস্যা হলো মাঠের চারদিকে সমান চওড়া ($w$) রাস্তার ক্ষেত্রফল হিসাব করা:

• মাঠের চারদিকে বাইরে রাস্তা থাকলে:
  রাস্তাসহ দৈর্ঘ্য $= L + 2w$, রাস্তাসহ প্রস্থ $= B + 2w$।
  রাস্তাসহ মোট ক্ষেত্রফল $= (L + 2w)(B + 2w)$।
  $$\mathbf{\text{রাস্তার ক্ষেত্রফল} = \text{রাস্তাসহ মোট ক্ষেত্রফল} - \text{মাঠের ক্ষেত্রফল} (L \times B)}$$
• মাঠের ভেতরের চারদিকে রাস্তা থাকলে:
  রাস্তা বাদে দৈর্ঘ্য $= L - 2w$, রাস্তা বাদে প্রস্থ $= B - 2w$।
  $$\mathbf{\text{রাস্তার ক্ষেত্রফল} = \text{মাঠের মূল ক্ষেত্রফল} - (L - 2w)(B - 2w)}$$

দুটি কোণের পারস্পরিক সম্পর্ক:

• পূরক কোণ (Complementary Angles): যদি দুটি কোণের পরিমাপের সমষ্টি $90^\circ$ (এক সমকোণ) হয়, তবে একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে (যেমন: $30^\circ$ ও $60^\circ$, $45^\circ$ ও $45^\circ$)।
• সম্পূরক কোণ (Supplementary Angles): যদি দুটি কোণের পরিমাপের সমষ্টি $180^\circ$ (দুই সমকোণ) হয়, তবে একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে (যেমন: $110^\circ$ ও $70^\circ$, $135^\circ$ ও $45^\circ$)।

যদি দুটি কোণের একই শীর্ষবিন্দু থাকে এবং তাদের একটি সাধারণ বাহু থাকে ও কোণ দুটি সাধারণ বাহুর বিপরীত পাশে অবস্থিত হয়, তবে তাদের সন্নিহিত কোণ (Adjacent Angles) বলে। একটি সরলরেখার ওপর অপর একটি রশ্মি দণ্ডায়মান হয়ে যে দুটি সন্নিহিত কোণ উৎপন্ন করে, তাদের সমষ্টি সর্বদা $180^\circ$ হয়, একে রৈখিক যুগল (Linear Pair) বলে।

দুটি সরলরেখা পরস্পরকে কোনো বিন্দুতে ছেদ করলে ছেদবিন্দুতে যে চার জোড়া কোণ উৎপন্ন হয়, তাদের পরস্পর বিপরীত পাশের কোণগুলিকে বিপ্রতীপ কোণ (Vertically Opposite Angles) বলে।
উপপাদ্য: দুটি সরলরেখা পরস্পরকে ছেদ করলে উৎপন্ন বিপ্রতীপ কোণগুলির পরিমাপ পরস্পর সমান হয়।