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राष्ट्रीय मुक्त विद्यालयी शिक्षा संस्थान (NIOS)
कक्षा १२वीं
गणित (Mathematics)
क्रमचय और संचय (Permutations & Combinations) (सेट ०२ (उन्नत स्तर))

परीक्षा का माध्यम:

राष्ट्रीय मुक्त विद्यालयी शिक्षा संस्थान (NIOS) कक्षा १२वीं गणित (Mathematics) सेट ०२ (उन्नत स्तर) हिन्दी माध्यम 100% निःशुल्क टेस्ट

राष्ट्रीय मुक्त विद्यालयी शिक्षा संस्थान (NIOS) कक्षा १२वीं गणित (Mathematics): Permutations and Combinations ऑनलाइन टेस्ट (सेट ०२ (उन्नत स्तर)) | TargetExams

क्रमचय और संचय (Permutations & Combinations) — सेट ०२ (उन्नत स्तर)

राष्ट्रीय मुक्त विद्यालयी शिक्षा संस्थान (NIOS) कक्षा १२वीं गणित (Mathematics) अध्याय 'Permutations and Combinations' का ऑनलाइन मॉक टेस्ट। 20 बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQs), 20 मिनट, तुरंत स्कोर एवं विस्तृत समाधान।

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20 प्रश्न

कुल प्रश्न

⏱️

20 मिनट

समय सीमा

🎯

20 अंक

पूर्णांक

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+1.0

प्रति सही

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नकारात्मक अंक

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हिन्दी

माध्यम

ऑनलाइन टेस्ट प्रारंभ करें (Start Test)

तुरंत स्कोरकार्ड विस्तृत उत्तर व्याख्या NIOS राष्ट्रीय मुक्त विद्यालय पाठ्यक्रम

अध्याय अध्ययन गाइड एवं त्वरित रिवीजन नोट्स

ऑनलाइन टेस्ट शुरू करने से पहले इस अध्याय का विस्तृत सारांश एवं सूत्र अवश्य पढ़ें।

3 मुख्य भाग

पाठ का सारांश एवं केंद्रीय भाव: क्रमचय और संचय (Permutations & Combinations)

कक्षा 12 अध्ययन गाइड

कक्षा 12 पाठ्यक्रम के अंतर्गत अध्याय 'क्रमचय और संचय (Permutations & Combinations)' का अध्ययन विद्यार्थियों में विषय-बोध, तार्किक चिंतन और परीक्षा आत्मविश्वास को सुदृढ़ बनाता है।

बोर्ड परीक्षा में इस अध्याय से संबंधित वस्तुनिष्ठ प्रश्नों में मुख्य अवधारणाएं, मानक सूत्र, सैद्धांतिक परिभाषाएं और व्यावहारिक अनुप्रयोगों से जुड़े महत्वपूर्ण प्रश्न पूछे जाते हैं।

कविता का केंद्रीय संदेश एवं सीख:

अध्याय की मूल अवधारणाओं को समझकर नियमित समयबद्ध अभ्यास करने से परीक्षा में शत-प्रतिशत अंक प्राप्त होते हैं।

मुख्य सूत्र, शब्दावली एवं महत्वपूर्ण नियम

शब्दावली व मुख्य नियम

शब्द / सूत्र	प्रकार	विवरण (English)	परिभाषा / अर्थ	उदाहरण / प्रयोग
केंद्रीय सिद्धांत	अवधारणा	Core Concept	अध्याय 'क्रमचय और संचय (Permutations & Combinations)' का मूल सिद्धांत व नियम	"सिद्धांत को ध्यानपूर्वक समझें।"
सटीकता नियम	मानक	Accuracy Rule	चिन्हों, मात्रकों एवं चरणों की शुद्धता	"उत्तर लॉक करने से पहले गणना की जांच करें।"
तार्किक निष्कासन	विधि	Option Elimination	भ्रामक विकल्पों को छांटने की क्षमता	"गलत विकल्पों को तुरंत बाहर करें।"

काव्य सौंदर्य, अलंकार एवं मुख्य विशेषताएं:

चरणबद्ध विश्लेषण

दिए गए आंकड़ों से सही निष्कर्ष निकालने की तार्किक क्षमता।

समय प्रबंधन

प्रत्येक प्रश्न को 45 से 60 सेकंड के भीतर हल करने का अभ्यास।

परीक्षा उपयोगी मुख्य बिंदु व प्रश्नोत्तर

त्वरित रिवीजन नोट्स

⚡ परीक्षा उपयोगी मुख्य बिंदु:

अध्याय 'क्रमचय और संचय (Permutations & Combinations)' के सभी महत्वपूर्ण परिभाषाओं और सूत्रों का बिंदुवार रिवीजन करें।
20 मिनट के ऑनलाइन टेस्ट में समय प्रबंधन का ध्यान रखते हुए सभी 20 प्रश्नों को हल करें।
टेस्ट सबमिट करने के तुरंत बाद विस्तृत स्कोरकार्ड और व्याख्या का अवलोकन करें।

महत्वपूर्ण परीक्षा प्रश्नोत्तर (Model Answers):

Q1 इस अध्याय की परीक्षा तैयारी के लिए सबसे प्रभावी रणनीति क्या है?

उत्तर: अध्याय को ध्यान से पढ़ें, सूत्रों को कंठस्थ करें, और समयबद्ध ऑनलाइन CBT टेस्ट देकर अपनी तैयारी का आत्म-मूल्यांकन करें।

अभ्यास प्रश्नों की झलक (Sample Questions)

निःशुल्क पूर्वावलोकन

इस टेस्ट सेट के कुछ प्रमुख अभ्यास प्रश्न नीचे दिए गए हैं। टेस्ट शुरू करने से पहले उत्तर और व्याख्या देखकर अपनी तैयारी परखें:

Five letters are to be placed into five addressed envelopes. The number of ways in which exactly two letters go into their corresponding correct envelopes is:

पांच पत्रों को पांच पते वाले लिफाफों में रखा जाना है। ठीक दो अक्षर अपने संगत सही लिफाफे में जाने के तरीकों की संख्या है:

$20$

$10$

$30$

$40$

सही उत्तर: विकल्प A

व्याख्या:

Step 1: Choose which 2 letters go into their correct envelopes: $$\binom{5}{2} = \frac{5 \times 4}{2} = 10$$ Step 2: The remaining $5 - 2 = 3$ letters must all go into wrong envelopes (complete derangement $D_3$): $$D_3 = 3! \left( 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} \right) = 6 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{6} \right) = 3 - 1 = 2$$ By the multiplication principle: $$\text{Total ways} = \binom{5}{2} \times D_3 = 10 \times 2 = 20$$ Hence, the correct option is **A**.

चरण 1: चुनें कि कौन से 2 अक्षर उनके सही लिफाफे में जाएंगे: $$\binom{5}{2} = \frac{5 \times 4}{2} = 10$$ चरण 2: शेष $5 - 2 = 3$ पत्र सभी गलत लिफाफों में जाने चाहिए (पूर्ण अव्यवस्था $D_3$): $$D_3 = 3! \left( 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} \right) = 6 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{6} \right) = 3 - 1 = 2$$ गुणन सिद्धांत द्वारा: $$\text{Total ways} = \binom{5}{2} \times D_3 = 10 \times 2 = 20$$ अतः, सही विकल्प **A** है।

The number of non-negative integer solutions to $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 15$ such that $x_i \le 5$ for all $i \in \{1, 2, 3, 4\}$ is:

$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 15$ के लिए गैर-नकारात्मक पूर्णांक समाधानों की संख्या, जैसे कि सभी $i \in \{1, 2, 3, 4\}$ के लिए $x_i \le 5$ है:

$48$

$56$

$64$

$72$

सही उत्तर: विकल्प B

व्याख्या:

We seek non-negative integer solutions to $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 15$ with each $0 \le x_i \le 5$. We use the Principle of Inclusion-Exclusion (PIE): Let the universal set $S$ be all non-negative integer solutions without upper bounds: $$|S| = \binom{15 + 4 - 1}{4 - 1} = \binom{18}{3} = \frac{18 \times 17 \times 16}{6} = 816$$ Let condition $A_i$ be $x_i \ge 6$. For one variable violating the bound ($x_1 \ge 6$): Substitute $x_1 = y_1 + 6$ with $y_1 \ge 0$: $$y_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 15 - 6 = 9$$ $$\text{Solutions} = \binom{9 + 4 - 1}{3} = \binom{12}{3} = \frac{12 \times 11 \times 10}{6} = 220$$ There are $\binom{4}{1} = 4$ such variables: $$\sum |A_i| = 4 \times 220 = 880$$ For two variables violating bounds ($x_1, x_2 \ge 6$): $$y_1 + y_2 + x_3 + x_4 = 15 - 12 = 3$$ $$\text{Solutions} = \binom{3 + 4 - 1}{3} = \binom{6}{3} = 20$$ There are $\binom{4}{2} = 6$ pairs: $$\sum |A_i \cap A_j| = 6 \times 20 = 120$$ Three or more variables violating bounds would require $\ge 3 \times 6 = 18 > 15$, which is impossible. By PIE: $$N = |S| - \sum |A_i| + \sum |A_i \cap A_j| = 816 - 880 + 120 = 56 \dots \text{Wait!}$$ Let's check: Wait, $816 - 880 + 120 = 56$! Let's verify by substitution: Let $z_i = 5 - x_i$. Since $0 \le x_i \le 5$, we have $0 \le z_i \le 5$. Sum of $z_i$: $z_1 + z_2 + z_3 + z_4 = (5 - x_1) + (5 - x_2) + (5 - x_3) + (5 - x_4) = 20 - 15 = 5$! Since the sum is $5$, NO $z_i$ can exceed $5$! Every non-negative solution automatically satisfies $z_i \le 5$! Thus, the number of solutions is simply the number of non-negative integer solutions to: $$z_1 + z_2 + z_3 + z_4 = 5$$ Which is: $$\binom{5 + 4 - 1}{4 - 1} = \binom{8}{3} = \frac{8 \times 7 \times 6}{6} = 56$$! What a gorgeous, stunning mathematical symmetry! Let's put $56$ as option B! Option A: $48$, Option B: $56$, Option C: $64$, Option D: $72$.

हम प्रत्येक $0 \le x_i \le 5$ के साथ $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 15$ के लिए गैर-नकारात्मक पूर्णांक समाधान ढूंढते हैं। हम समावेशन-बहिष्करण के सिद्धांत (पीआईई) का उपयोग करते हैं: मान लीजिए कि सार्वत्रिक समुच्चय $S$ ऊपरी सीमा के बिना सभी गैर-ऋणात्मक पूर्णांक समाधान हैं: $$|S| = \binom{15 + 4 - 1}{4 - 1} = \binom{18}{3} = \frac{18 \times 17 \times 16}{6} = 816$$ मान लीजिए शर्त $A_i$ $x_i \ge 6$ है। सीमा का उल्लंघन करने वाले एक चर के लिए ( $x_1 \ge 6$ ): $x_1 = y_1 + 6$ को $y_1 \ge 0$ से प्रतिस्थापित करें : $$y_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 15 - 6 = 9$$ $$\text{Solutions} = \binom{9 + 4 - 1}{3} = \binom{12}{3} = \frac{12 \times 11 \times 10}{6} = 220$$ $\binom{4}{1} = 4$ ऐसे चर हैं: $$\sum |A_i| = 4 \times 220 = 880$$ सीमाओं का उल्लंघन करने वाले दो चरों के लिए ( $x_1, x_2 \ge 6$ ): $$y_1 + y_2 + x_3 + x_4 = 15 - 12 = 3$$ $$\text{Solutions} = \binom{3 + 4 - 1}{3} = \binom{6}{3} = 20$$ $\binom{4}{2} = 6$ जोड़े हैं: $$\sum |A_i \cap A_j| = 6 \times 20 = 120$$ सीमाओं का उल्लंघन करने वाले तीन या अधिक चरों के लिए $\ge 3 \times 6 = 18 > 15$ की आवश्यकता होगी, जो असंभव है। पीआईई द्वारा: $$N = |S| - \sum |A_i| + \sum |A_i \cap A_j| = 816 - 880 + 120 = 56 \dots \text{Wait!}$$ आइये जाँच करें: रुको, $816 - 880 + 120 = 56$ ! आइए प्रतिस्थापन द्वारा सत्यापित करें: चलो $z_i = 5 - x_i$ . $0 \le x_i \le 5$ के बाद से, हमारे पास $0 \le z_i \le 5$ है। $z_i$ का योग : $z_1 + z_2 + z_3 + z_4 = (5 - x_1) + (5 - x_2) + (5 - x_3) + (5 - x_4) = 20 - 15 = 5$ ! चूँकि योग $5$ है, कोई $z_i$ $5$ से अधिक नहीं हो सकता है! प्रत्येक गैर-नकारात्मक समाधान स्वचालित रूप से $z_i \le 5$ को संतुष्ट करता है! इस प्रकार, समाधानों की संख्या केवल गैर-नकारात्मक पूर्णांक समाधानों की संख्या है: $$z_1 + z_2 + z_3 + z_4 = 5$$ जो है: $$\binom{5 + 4 - 1}{4 - 1} = \binom{8}{3} = \frac{8 \times 7 \times 6}{6} = 56$$ ! क्या भव्य, अद्भुत गणितीय समरूपता है! आइए $56$ को विकल्प बी के रूप में रखें! विकल्प ए: $48$, विकल्प बी: $56$, विकल्प सी: $64$, विकल्प डी: $72$।

अध्याय-वार ऑनलाइन CBT टेस्ट भविष्य की प्रतियोगी परीक्षाओं के लिए सफलता की आदतें कैसे बनाते हैं?

कक्षा 11 और 12 में अध्याय-वार ऑनलाइन टेस्ट देने से विद्यार्थियों में समय प्रबंधन और तार्किक विश्लेषण का अनुशासन बनता है जो CUET, JEE, NEET, NDA और कॉलेज प्रवेश परीक्षाओं में टॉप रैंक दिलाता है।

प्रतियोगी बढ़त

समय प्रबंधन एवं गति नियंत्रण (Clock Awareness)

समय प्रबंधन एवं गति नियंत्रण

विद्यालय परीक्षाओं में छात्र बिना समय सीमा के लिखते हैं, लेकिन राष्ट्रीय प्रतियोगी परीक्षाओं में प्रत्येक प्रश्न के लिए मात्र 45 से 60 सेकंड मिलते हैं। 20 मिनट के टाइमर के साथ नियमित अभ्यास से समय प्रबंधन की स्वाभाविक आदत बनती है।

विकल्प निष्कासन विधि में दक्षता (Elimination Method)

विकल्प निष्कासन विधि में दक्षता

प्रतियोगी परीक्षाओं के टॉपर्स सीधे हल करने के बजाय पहले दो गलत विकल्पों को तुरंत छांट देते हैं। हमारे 4-विकल्पीय प्रश्न छात्रों को भ्रामक विकल्पों में से सही उत्तर पहचानने की तार्किक क्षमता सिखाते हैं।

CBT स्क्रीन स्टेमिना व डिजिटल सहजता (Screen Stamina)

कंप्यूटर आधारित परीक्षा का सहज अभ्यास

आज लगभग सभी राष्ट्रीय परीक्षाएं (CUET, JEE, NEET, SSC, बैंकिंग) कंप्यूटर आधारित (CBT) हैं। केवल कागज पर पढ़ने वाले छात्र स्क्रीन पर घबरा जाते हैं। कम उम्र से ऑनलाइन टेस्ट देने से कंप्यूटर स्क्रीन पर लंबा फोकस बनाने की आदत पड़ती है।

सटीकता और नकारात्मक अंकन से सुरक्षा (Accuracy First)

सटीकता और नकारात्मक अंकन से सुरक्षा

प्रश्नों में "नहीं" या "असत्य" जैसे शब्दों को नजरअंदाज करने से हजारों छात्र अंक गंवाते हैं। वस्तुनिष्ठ टेस्ट देने से प्रत्येक शब्द को ध्यान से पढ़कर सटीक उत्तर लॉक करने का अनुशासन बनता है।

तत्काल परिणाम एवं त्रुटि निवारण (Instant Diagnostic Loop)

तत्काल त्रुटि निवारण एवं आत्म-मूल्यांकन

कागज की जांच में हफ्तों लगते हैं, जिससे छात्र अपनी गलतियां भूल जाते हैं। हमारे प्लेटफॉर्म पर टेस्ट सबमिट होते ही तुरंत स्कोरकार्ड और 20 प्रश्नों की व्याख्या मिल जाती है, जिससे कमजोर बिंदु तुरंत दुरुस्त हो जाते हैं।

कक्षा से ही प्रतियोगी परीक्षाओं में सफलता की नींव रखें

20 मिनट के अध्याय-वार टेस्ट से गति, सटीकता और ऑनलाइन परीक्षा का आत्मविश्वास बढ़ाएं।

इस अध्याय में जांची जाने वाली मुख्य दक्षताएं

नवीनतम पाठ्यक्रम के अनुसार इस टेस्ट में निम्नलिखित मुख्य बिंदुओं का मूल्यांकन किया जाता है:

अध्याय के मूल सिद्धांत, मानक परिभाषाएं एवं मुख्य अवधारणाएं।
चरण-दर-चरण गणना एवं तार्किक समस्या समाधान क्षमता।
मानक सूत्रों एवं सैद्धांतिक नियमों का व्यावहारिक अनुप्रयोग।
परीक्षा में सामान्य गलतियों और भ्रामक विकल्पों की पहचान।
बोर्ड परीक्षा में श्रेष्ठ प्रदर्शन हेतु उच्च स्तरीय चिंतन (HOTS) प्रश्न।
20 मिनट की समय सीमा में शत-प्रतिशत सटीकता व गति का अभ्यास।

परीक्षा नियम एवं ऑनलाइन टेस्ट निर्देश

कुल प्रश्न: इस टेस्ट में ठीक 20 वस्तुनिष्ठ बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQs) सम्मिलित हैं।
निर्धारित समय: टेस्ट प्रारंभ होते ही 20 मिनट का उलटी गिनती टाइमर शुरू हो जाएगा।
अंकन प्रणाली: प्रत्येक सही उत्तर के लिए +1.0 अंक प्रदान किया जाएगा।
शून्य नकारात्मक अंकन: गलत उत्तर के लिए कोई अंक (0.0) नहीं काटा जाएगा।
प्रश्न नेविगेशन: आप किसी भी प्रश्न पर जाने के लिए प्रश्न पैलेट और रिव्यू फ्लैग का उपयोग कर सकते हैं।
समीक्षा व व्याख्या: टेस्ट सबमिट करने के बाद सभी 20 प्रश्नों की विस्तृत व्याख्या देखें।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQs)

हाँ! राष्ट्रीय मुक्त विद्यालयी शिक्षा संस्थान (NIOS) कक्षा 12 गणित (Mathematics) के पाठ 'Permutations and Combinations' का सेट ०१ (आधार स्तर) सभी विद्यार्थियों के लिए 100% निःशुल्क है। विद्यार्थी बिना किसी शुल्क के सीधे ऑनलाइन टेस्ट का अभ्यास कर सकते हैं।

हाँ, यह टेस्ट पूर्णतः नवीनतम आधिकारिक पाठ्यक्रम के अनुरूप तैयार किया गया है और इसमें बुनियादी अवधारणाओं से लेकर उच्च स्तरीय विश्लेषणात्मक प्रश्न शामिल हैं।

इस ऑनलाइन टेस्ट में कुल 20 बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQs) हैं और 20 मिनट की समय सीमा निर्धारित है। प्रत्येक सही उत्तर के लिए +1.0 अंक मिलता है तथा कोई नकारात्मक अंकन (No Negative Marking) नहीं है।

हाँ! टेस्ट सबमिट करते ही आपको तुरंत आपका कुल प्राप्तांक, सही व गलत उत्तरों का विश्लेषण और सभी 20 प्रश्नों की चरण-दर-चरण व्याख्या प्राप्त होगी।

ऑनलाइन CBT टेस्ट देने से विद्यार्थियों की गति, सटीकता, स्क्रीन पर एकाग्रता और समय प्रबंधन में जबरदस्त सुधार होता है, जो वार्षिक बोर्ड परीक्षा के साथ-साथ भविष्य की प्रतियोगी परीक्षाओं के लिए मजबूत आधार तैयार करता है।

🎯 परीक्षा की तैयारी शुरू करें

20 मिनट के इस अभ्यास सेट से अपनी तैयारी की जांच करें और वार्षिक परीक्षा में सर्वोच्च अंक प्राप्त करें।

क्रमचय और संचय (Permutations & Combinations) (सेट ०२ (उन्नत स्तर))

20 प्रश्न • 20 मिनट • 100% निःशुल्क टेस्ट

अध्याय अध्ययन गाइड एवं त्वरित रिवीजन नोट्स

पाठ का सारांश एवं केंद्रीय भाव: क्रमचय और संचय (Permutations & Combinations)