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ASSEB • कक्षा 7 • Mathematics • अध्याय 12
अनुमानित समय: 45 Mins
प्रगति: अध्ययनरत

दशमलव का एक और अवलोकन (Another Peek Beyond the Point)

कक्षा 7 गणित में, अध्याय 3 "बिंदु से परे एक झलक" छात्रों को दशमलव भिन्नों की भव्यता से परिचित कराता है। 2026-27 एनसीईआरटी गणित प्रकाश पाठ्यक्रम में निहित, यह मास्टर सामग्री यह बताती है कि सटीक माप के लिए छोटी भिन्नात्मक इकाइयाँ क्यों आवश्यक हैं, दशमलव बिंदु पूर्ण और भिन्न के बीच विभाजक के रूप में कैसे कार्य करता है, दसवें, सौवें और हजारवें तक स्थानीय मान का विस्तार, इकाई रूपांतरण और स्तंभ जोड़ और घटाव।

🔍 क्या आपने कभी सोचा है?

एक बढ़ई पूरे सेंटीमीटर अकेले काम क्यों नहीं कर सकता?

यदि आप एक छोटे स्क्रू या फोन स्क्रीन की मोटाई को केवल पूरे सेंटीमीटर ($1\text{ cm}, 2\text{ cm}, 3\text{ cm}$) का उपयोग करके मापते हैं, तो स्क्रू $2\text{ cm}$ से लंबा है लेकिन $3\text{ cm}$ से छोटा है। बढ़ईगीरी, विज्ञान और घड़ी निर्माण में, "लगभग $2\text{ cm}$" कुर्सी को डगमगा देगा या फोन का शीशा चटक देगा!

क्या होता है जब $1$ पूरे सेंटीमीटर को $10$ बराबर छोटे टुकड़ों में विभाजित किया जाता है? प्रत्येक टुकड़े को दसवां ($0.1\text{ cm}$ या $1\text{ mm}$) कहा जाता है। और जब $1$ मीटर को $100$ बराबर स्लाइस में विभाजित किया जाता है, तो प्रत्येक सौवां ($0.01\text{ m}$ या $1\text{ cm}$) होता है।

दशमलव बिंदु नामक छोटा बिंदु सूक्ष्म सटीकता की इस दुनिया का प्रवेश द्वार है। यह संपूर्ण पूर्ण इकाइयों को आंशिक भागों से अलग करता है, जिससे हमें बहुमूल्य सोने को मिलीग्राम तक वजन करने और ओलंपिक समय को एक सेकंड के सौवें हिस्से तक कम करने की अनुमति मिलती है।

यह अध्याय क्यों महत्वपूर्ण है

कक्षा 7 गणित में, अध्याय 3 "बिंदु से परे एक झलक" छात्रों को दशमलव भिन्नों की भव्यता से परिचित कराता है। 2026-27 एनसीईआरटी गणित प्रकाश पाठ्यक्रम में निहित, यह मास्टर सामग्री यह बताती है कि सटीक माप के लिए छोटी भिन्नात्मक इकाइयाँ क्यों आवश्यक हैं, दशमलव बिंदु पूर्ण और भिन्न के बीच विभाजक के रूप में कैसे कार्य करता है, दसवें, सौवें और हजारवें तक स्थानीय मान का विस्तार, इकाई रूपांतरण और स्तंभ जोड़ और घटाव।

अध्ययन से पूर्व (आवश्यक ज्ञान)

  • बुनियादी अंश: अंश, हर, और $\frac{1}{10}$ और $\frac{1}{100}$ जैसे अंशों को समझना।
  • पूर्ण संख्या का स्थानीय मान: इकाई, दहाई, सैकड़ों.
  • मानक मीट्रिक संबंध: $1\text{ Rupee} = 100\text{ paise}$, $1\text{ cm} = 10\text{ mm}$, $1\text{ m} = 100\text{ cm}$, और $1\text{ kg} = 1000\text{ g}$.

इस अध्याय के लक्ष्य

  • दसवें ($\frac{1}{10}$), सौवें ($\frac{1}{100}$), और हजारवें ($\frac{1}{1000}$) के वैचारिक अर्थ को समझाएं।
  • दशमलव स्थान-मान चार्ट में दशमलव संख्याओं को पढ़ें, लिखें और विस्तारित करें।
  • दशमलव निरूपण का उपयोग करके धन, लंबाई और द्रव्यमान की इकाइयों को परिवर्तित करें।
  • संख्या रेखा पर दशमलव का पता लगाएं और उनके परिमाण की सटीक तुलना करें।
  • दशमलव बिंदुओं को सही ढंग से संरेखित करके दशमलव को लंबवत रूप से जोड़ें और घटाएं।

अध्याय रूपरेखा एवं प्रगति

1 1। छोटी इकाइयों की आवश्यकता: दसवां...
2 2. दशमलव का उपयोग करके माप की इकाइय...
3 3. संख्या रेखा पर दशमलव का पता लगान...
4 4. कॉलम दशमलव का जोड़ और घटाव

सम्पूर्ण सैद्धांतिक एवं वैचारिक अध्ययन

1। छोटी इकाइयों की आवश्यकता: दसवां और सौवां

1. अंतर्ज्ञान

सेब, कुर्सियाँ और किताबें जैसी अलग-अलग वस्तुओं की गिनती के लिए पूर्ण संख्याएँ एकदम सही हैं। लेकिन लंबाई, वजन या तापमान जैसी निरंतर मात्राओं को मापते समय, वास्तविक वस्तुएं शायद ही कभी पूर्ण संख्या चिह्न पर समाप्त होती हैं।

पूर्ण परिशुद्धता के साथ मापने के लिए, हम एक पूरी इकाई को दस बराबर भागों में विभाजित करते हैं। प्रत्येक भाग को एक-दसवां ($\frac{1}{10}$) कहा जाता है। दशमलव के रूप में लिखा गया है: $$0.1$$

यदि हम प्रत्येक दसवें हिस्से को दस और उप-स्लाइसों में काटते हैं, तो पूरी इकाई एक सौ बराबर भागों में विभाजित हो जाती है। प्रत्येक छोटा टुकड़ा एक-सौवां ($\frac{1}{100}$) है, जिसे इस प्रकार लिखा गया है: $$0.01$$

2. दशमलव स्थान मान चार्ट

जैसे ही आप बाईं ओर बढ़ते हैं तो पूर्ण संख्या वाले स्थान $10$ गुना बढ़ जाते हैं, जैसे ही आप दशमलव बिंदु के पार दाईं ओर जाते हैं तो स्थान $\div 10$ कम हो जाते हैं:

सैकड़ों ($100$) दस ($10$) वन्स ($1$) दशमलव बिंदु (.) दशमांश ($\frac{1}{10} = 0.1$) शतकांश ($\frac{1}{100} = 0.01$) हज़ारवां ($\frac{1}{1000} = 0.001$)
$2$ $5$ $4$ . $3$ $8$ $5$

$254.385$ का विस्तारित रूप:

$$254.385 = (2 \times 100) + (5 \times 10) + (4 \times 1) + \left(3 \times \frac{1}{10}\right) + \left(8 \times \frac{1}{100}\right) + \left(5 \times \frac{1}{1000}\right)$$

या दशमलव विस्तार में: $$254.385 = 200 + 50 + 4 + 0.3 + 0.08 + 0.005$$

3. कंक्रीट वर्क उदाहरण

उदाहरण: दशमलव के रूप में लिखें: "सात सौ पांच और छत्तीस सौवां"

पूर्ण संख्या भाग: सात सौ पांच $= 705$

भिन्नात्मक भाग: $36$ सौवां भाग $= \frac{36}{100} = \frac{3}{10} + \frac{6}{100} = 0.36$

पूर्ण दशमलव: $\mathbf{705.36}$

4. ख़तरा और परीक्षक ट्रैप
⚠️ ट्रैप: बिंदु के बाद के अंकों को पूर्ण संख्या के रूप में पढ़ना
$12.35$ को "बारह दशमलव पैंतीस" के रूप में पढ़ना गणितीय रूप से गलत है!
दशमलव बिंदु के बाद के अंकों में दहाई या सैकड़ों मान नहीं होते हैं। $3$ दसवें स्थान पर है और $5$ सौवें स्थान पर है। सही रीडिंग: "बारह दशमलव तीन पांच"।
5. यह जीवन में क्यों मायने रखता है

डिजिटल मेडिकल थर्मामीटर में, $98.6^\circ\text{F}$ का शरीर का तापमान स्वस्थ है, लेकिन $101.4^\circ\text{F}$ तेज बुखार का संकेत देता है। डिग्री का वह दसवां हिस्सा महत्वपूर्ण नैदानिक जानकारी रखता है।

2. दशमलव का उपयोग करके माप की इकाइयों को परिवर्तित करना

1. अंतर्ज्ञान

हम अक्सर छोटी इकाइयों को बड़ी मानक इकाई के भागों के रूप में व्यक्त करते हैं। उदाहरण के लिए, $1$ रुपया $100$ पैसे से बनता है। तो $1$ पैसा एक रुपये का $\frac{1}{100}$ है, जो $\text{Rs. } 0.01$ है। दशमलव हमें एक ही शुद्ध संख्या के साथ मिश्रित मात्राएँ लिखने की अनुमति देता है!

2. मास्टर रूपांतरण तालिका
भौतिक मात्रा रूपांतरण संबंध आंशिक मान दशमलव समतुल्य
पैसा $100\text{ paise} = 1\text{ Rupee}$ $1\text{ paisa} = \frac{1}{100}\text{ Rs.}$ $\mathbf{\text{Rs. } 0.01}$
लंबाई (मिमी से सेमी) $10\text{ mm} = 1\text{ cm}$ $1\text{ mm} = \frac{1}{10}\text{ cm}$ $\mathbf{0.1\text{ cm}}$
लंबाई (सेमी से मी) $100\text{ cm} = 1\text{ m}$ $1\text{ cm} = \frac{1}{100}\text{ m}$ $\mathbf{0.01\text{ m}}$
लंबाई (मीटर से किमी) $1000\text{ m} = 1\text{ km}$ $1\text{ m} = \frac{1}{1000}\text{ km}$ $\mathbf{0.001\text{ km}}$
द्रव्यमान (ग्राम से किग्रा) $1000\text{ g} = 1\text{ kg}$ $1\text{ g} = \frac{1}{1000}\text{ kg}$ $\mathbf{0.001\text{ kg}}$
3. कंक्रीट से बने उदाहरण

उदाहरण 1: $7\text{ m } 8\text{ cm}$ को दशमलव का उपयोग करके मीटर में व्यक्त करें।

चूंकि $1\text{ m} = 100\text{ cm}$, इसलिए $8\text{ cm} = \frac{8}{100}\text{ m} = 0.08\text{ m}$.

कुल $= 7\text{ m} + 0.08\text{ m} = \mathbf{7.08\text{ m}}$ ($7.8\text{ m}$ नहीं).

उदाहरण 2: $4\text{ kg } 25\text{ g}$ को दशमलव का उपयोग करके किलोग्राम में व्यक्त करें।

चूंकि $1\text{ kg} = 1000\text{ g}$, इसलिए $25\text{ g} = \frac{25}{1000}\text{ kg} = 0.025\text{ kg}$.

कुल $= 4\text{ kg} + 0.025\text{ kg} = \mathbf{4.025\text{ kg}}$.

4. ख़तरा और परीक्षक ट्रैप
⚠️ ट्रैप: गुम प्लेस-होल्डर शून्य
$5\text{ paise} = \text{Rs. } 0.5$ लिखना एक गंभीर त्रुटि है! $\text{Rs. } 0.5$, $5$ दसवां हिस्सा ($50$ पैसे) है।
$5$ पैसा $5$ सैकड़ा है: $\frac{5}{100} = \mathbf{\text{Rs. } 0.05}$. अंक से पहले के खाली स्थानों को हमेशा शून्य से भरें।
5. यह जीवन में क्यों मायने रखता है

इलेक्ट्रॉनिक किराना तराजू तुरंत ग्राम को किलोग्राम में बदल देता है (उदाहरण के लिए $650\text{ g} \to 0.650\text{ kg}$) प्रति किलोग्राम कीमत से गुणा करने और आपका सटीक बिल प्रिंट करने के लिए।

3. संख्या रेखा पर दशमलव का पता लगाना और परिमाण की तुलना करना

1. अंतर्ज्ञान

कौन बड़ा है: $0.7$ या $0.65$? कई छात्र $0.65$ का अनुमान लगाते हैं क्योंकि पैंसठ सात से बड़ा है। लेकिन याद रखें: गणित में स्थानीय मान हर चीज़ पर नियम रखता है!

$0.7 = \frac{7}{10} = \frac{70}{100}$. अब सत्तर सौवें ($0.70$) की तुलना पैंसठ सौवें ($0.65$) से करें। जाहिर है, सत्तर सौवां बड़ा है! इसलिए, $\mathbf{0.7 > 0.65}$.

2. 3-चरणीय दशमलव तुलना नियम
  1. चरण 1 (संपूर्ण भागों की तुलना करें): बड़े पूर्णांक वाले भाग वाला दशमलव हमेशा बड़ा होता है ($3.1 > 2.99$).
  2. चरण 2 (दसवें की तुलना करें): यदि पूर्ण भाग बराबर हैं, तो दसवें स्थान के अंकों की तुलना करें ($4.72 > 4.59$ क्योंकि $7 > 5$)।
  3. चरण 3 (सौवें और उससे आगे की तुलना करें): यदि दसवां भी बराबर है, तो सौवें स्थान की तुलना करें ($2.86 > 2.83$)।

अनुगामी शून्य सिद्धांत:
दशमलव के अंतिम दाएँ सिरे पर शून्य जोड़ने से उसका मान नहीं बदलता है: $$0.5 = 0.50 = 0.500$$ इन्हें समतुल्य दशमलव.

कहा जाता है
3. कंक्रीट वर्क उदाहरण

उदाहरण: निम्नलिखित दशमलवों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करें: $0.4, 0.04, 0.44, 0.404$

चरण 1 (सभी संख्याओं में पीछे शून्य के साथ 3 दशमलव स्थान बनाएं):

  • $0.4 = 0.400$
  • $0.04 = 0.040$
  • $0.44 = 0.440$
  • $0.404 = 0.404$

चरण 2 (सीधे हजारवें के रूप में तुलना करें):

$$40 < 400 < 404 < 440 \implies \mathbf{0.04 < 0.4 < 0.404 < 0.44}$$

4. ख़तरा और परीक्षक ट्रैप
⚠️ ट्रैप: अंक गणना द्वारा मूल्य का निर्धारण
पूर्ण संख्याओं में, $123$, $95$ से बड़ा है क्योंकि इसमें अधिक अंक हैं।
दशमलव में, अंकों की गिनती मूल्य तय नहीं करती! $0.095$ में बिंदु के बाद 3 अंक हैं, लेकिन यह $0.5$ (जिसमें केवल 1 अंक है) से बहुत छोटा है। हमेशा स्थान-दर-स्थान की बाएँ से दाएँ तुलना करें!
5. यह जीवन में क्यों मायने रखता है

ओलंपिक तैराकी और स्प्रिंटिंग स्पर्धाओं में, स्वर्ण और रजत पदकों का निर्णय अक्सर $0.01$ सेकेंड से होता है—एक सेकंड का सौवां हिस्सा!

4. कॉलम दशमलव का जोड़ और घटाव

1. अंतर्ज्ञान

आप केवल रुपये को रुपये और पैसे को पैसे में जोड़ सकते हैं। आप कभी भी $50$ पैसे में $5$ रुपये जोड़कर यह नहीं कहेंगे कि आपके पास $55$ रुपये हैं! दशमलव में, दशमलव बिंदु वह एंकर है जो प्रत्येक स्थान मान को पूरी तरह से पंक्तिबद्ध करता है।

2. स्वर्ण संरेखण नियम

दशमलव जोड़ने या घटाने के लिए:

  1. संख्याओं को लंबवत रूप से लिखें ताकि उनके दशमलव बिंदु एक सीधी लंबवत रेखा बनाएं.
  2. दाईं ओर किसी भी खाली स्थान को प्लेसहोल्डर शून्य से भरें ताकि सभी संख्याओं में दशमलव स्थानों की संख्या समान हो।
  3. पूर्ण संख्याओं की तरह जोड़ें या घटाएं, आवश्यकतानुसार स्थानों पर ले जाएं या पुनः समूहित करें।
  4. दशमलव बिंदु को उत्तर में ठीक उसी कॉलम में सीधे नीचे छोड़ें।
3. कंक्रीट से बने उदाहरण

उदाहरण 1 (जोड़): जोड़ें $18.4 + 9.75 + 0.325$

  18.400
+ 09.750
+ 00.325

  28.475

योग $= \mathbf{28.475}$

उदाहरण 2 (पुन:समूहन के साथ घटाव): $12.5$

में से $3.85$ घटाएं
  12.50  (शून्य वाला पैड)
- 03.85

   8.65

अंतर $= \mathbf{8.65}$

4. ख़तरा और परीक्षक ट्रैप
⚠️ ट्रैप: पूर्ण संख्याओं की तरह दाएँ-संरेखण
छात्र अक्सर $12.5 - 3.85$ को दाएँ हाशिये पर संरेखित करते हैं, $5$ को $5$ के नीचे रखते हैं और आँख बंद करके घटा देते हैं।
नियम: दशमलव में दायां किनारा मायने नहीं रखता! दशमलव बिंदु एक ऊर्ध्वाधर रेखा में होने चाहिए। घटाव त्रुटियों से बचने के लिए अनुगामी शून्य वाला पैड।
5. यह जीवन में क्यों मायने रखता है

बैंक खाता बहीखाता और सुपरमार्केट कैश रजिस्टर दशमलव कॉलम का उपयोग करके मुद्रा मूल्यों को पंक्तिबद्ध करते हैं ताकि यह सुनिश्चित किया जा सके कि पैसे और रुपये की गणना कभी भी गलत न हो।

चित्रात्मक व्याख्या एवं मॉडल

Place Value Symmetry Around the Ones Place

The Ones place is the center of symmetry; the decimal point separates whole parts from fractional parts
HUNDREDS
$100$
$10^2$
TENS
$10$
$10^1$
ONES
$1$
$10^0$
.
POINT
TENTHS
$\frac{1}{10}$
$0.1$
HUNDREDTHS
$\frac{1}{100}$
$0.01$
THOUSANDTHS
$\frac{1}{1000}$
$0.001$

अध्याय का सार संक्षेप एवं 10 मुख्य निष्कर्ष

मुख्य बिंदु 1
दशमलव भिन्न: जिन भिन्नों के हर $10, 100, 1000$ होते हैं उन्हें दशमलव भिन्न कहा जाता है और इन्हें दशमलव बिंदु का उपयोग करके लिखा जा सकता है।
मुख्य बिंदु 2
स्थान मान संरचना: दशमलव बिंदु के दाईं ओर के अंक दसवां ($\frac{1}{10}$), सौवां ($\frac{1}{100}$), और हजारवां ($\frac{1}{1000}$) दर्शाते हैं।
मुख्य बिंदु 3
इकाई रूपांतरण: छोटी इकाइयों को बड़ी इकाइयों के दशमलव के रूप में व्यक्त करना: $1\text{ paisa} = \text{Rs. } 0.01$, $1\text{ mm} = 0.1\text{ cm}$, $1\text{ cm} = 0.01\text{ m}$, $1\text{ g} = 0.001\text{ kg}$।
मुख्य बिंदु 4
दशमलव की तुलना करना: पहले पूर्ण भागों की तुलना करें। यदि बराबर है, तो दसवें की तुलना करें, फिर सौवें की। बिंदु के बाद अंकों की गणना परिमाण ($0.7 > 0.65$) निर्धारित नहीं करती है।
मुख्य बिंदु 5
समतुल्य दशमलव: अंतिम दशमलव अंक के दाईं ओर पिछला शून्य जोड़ने से इसका मान ($0.4 = 0.40 = 0.400$) नहीं बदलता है।
मुख्य बिंदु 6
कॉलम संरेखण: जोड़ और घटाव के लिए, दशमलव बिंदुओं को हमेशा लंबवत रूप से संरेखित करें, खाली स्थानों को शून्य से भरें, और दशमलव बिंदु को सीधे उत्तर में छोड़ दें।

स्व-मूल्यांकन अभ्यास (Check Your Understanding)

मूल वैचारिक स्पष्टता की जांच के लिए नैदानिक प्रश्न। पहले स्वयं हल करें, फिर उत्तर देखें।

1
दशमलव अंक के रूप में लिखें: $40 + 7 + \frac{2}{10} + \frac{5}{1000}$
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर: $47.205$
पूरा भाग $47$ है. दसवां भाग $2$ है. सैकड़ावाँ भाग $0$ (लुप्त पद) है। हज़ारवां $5$ है. सौवें स्थान पर शून्य लगाएं.
2
दशमलव का उपयोग करके $6\text{ kg } 8\text{ g}$ को किलोग्राम में व्यक्त करें।
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर: $6.008\text{ kg}$
चूँकि $1\text{ kg} = 1000\text{ g}$, $8\text{ g} = \frac{8}{1000}\text{ kg} = 0.008\text{ kg}$। $6\text{ kg}$ में जोड़ें.
3
कौन सा बड़ा है: $0.8$ या $0.79$? समझाइए क्यों।
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर: $0.8 > 0.79$
दसवें अंक की तुलना करें: $8$ दसवां हिस्सा $7$ दसवें से बड़ा है। ($0.80 > 0.79$).
4
$15.2$ में से $4.86$ घटाएं.
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर: $10.34$
दशमलव बिंदुओं को संरेखित करें: $15.20 - 4.86 = 10.34$.
5
एक दर्जी को शर्ट के लिए $3.25\text{ m}$ कपड़े और पतलून के लिए $2.8\text{ m}$ कपड़े की आवश्यकता होती है। दर्जी ने कुल कितना कपड़ा खरीदा?
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर: $6.05\text{ m}$
$3.25 + 2.80 = 6.05\text{ m}$ जोड़ें। नोटिस $2.8 = 2.80$.
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कक्षा 7 Mathematics के सभी अध्याय

अध्याय 1: हमारे आस-पास की बड़ी संख्याएँ (Large Numbers Around Us) अध्याय 2: अंकगणितीय व्यंजक (Arithmetic Expressions) अध्याय 3: दशमलव से परे (A Peek Beyond the Point) अध्याय 4: अक्षर-संख्याओं का उपयोग करके व्यंजक (Expressions using Letter-Numbers) अध्याय 5: समांतर एवं प्रतिच्छेदी रेखाएं (Parallel and Intersecting Lines) अध्याय 6: संख्याओं का खेल (Number Play) अध्याय 7: तीन प्रतिच्छेदी रेखाओं की कहानी (A Tale of Three Intersecting Lines) अध्याय 8: भिन्नों के साथ कार्य (Working with Fractions) अध्याय 9: ज्यामितीय यमज (सर्वांगसमता) (Geometric Twins) अध्याय 10: पूर्णांकों पर संक्रियाएं (Operations with Integers) अध्याय 11: साझा आधार खोजना (HCF और LCM) (Finding Common Ground) अध्याय 12: दशमलव का एक और अवलोकन (Another Peek Beyond the Point) अध्याय 13: बिंदुओं को जोड़ना (आंकड़ों का प्रबंधन) (Connecting the Dots...) अध्याय 14: रचनाएं एवं टाइलिंग (Constructions and Tilings) अध्याय 15: अज्ञात का पता लगाना (सरल समीकरण) (Finding the Unknown)

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