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Class 7
Mathematics
अध्याय 2: अंकगणितीय व्यंजक (Arithmetic Expressions)

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ASSEB • कक्षा 7 • Mathematics • अध्याय 2

अनुमानित समय: 45 Mins

प्रगति: अध्ययनरत

अंकगणितीय व्यंजक (Arithmetic Expressions)

कक्षा 7 गणित में, अध्याय 2 "अंकगणितीय व्यंजक" छात्रों को यांत्रिक गणना से संरचनात्मक बीजगणितीय सोच में परिवर्तित करता है। 2026-27 एनसीईआरटी गणित प्रकाश पाठ्यक्रम में निहित, यह मास्टर सामग्री यह पता लगाती है कि गणितीय वाक्यांश शब्दों से कैसे बनाए जाते हैं, संचालन का क्रम शब्द संरचना द्वारा क्यों नियंत्रित होता है, कोष्ठक गणितीय विराम चिह्न के रूप में कैसे कार्य करते हैं, और वितरण संपत्ति कैसे शक्तिशाली मानसिक अंकगणित शॉर्टकट को अनलॉक करती है।

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🤔 क्या आपने कभी सोचा है?

$30 + 5 \times 4$ तर्क-वितर्क का कारण क्यों बनता है?

यदि आप दो अलग-अलग छात्रों को $30 + 5 \times 4$ की गणना देते हैं, तो एक $(30 + 5) \times 4 = 35 \times 4 = \mathbf{140}$ की गणना कर सकता है, जबकि दूसरा $30 + (5 \times 4) = 30 + 20 = \mathbf{50}$ की गणना कर सकता है। बिल्कुल एक ही गणितीय वाक्य के दो पूर्णतः भिन्न उत्तर कैसे हो सकते हैं?

एक कैंटीन बिल की कल्पना करें: आपने 1 रुपये में इडली की 1 प्लेट का ऑर्डर दिया। 30 रुपये में 4 कप चाय. 5 प्रत्येक. आप पर दुकानदार का कितना बकाया है? जाहिर है, $30 + (5 \times 4) = \text{Rs. } 50$, रुपये नहीं। 140!

गणितीय वाक्य बोले गए वाक्यों की तरह ही होते हैं। अंग्रेजी में अल्पविराम और पूर्ण विराम जैसे विराम चिह्न भ्रम की स्थिति को रोकते हैं। गणित में, अंकगणितीय अभिव्यक्तियाँ, कोष्ठक, और पद यह सुनिश्चित करते हैं कि दुनिया भर में हर कोई समस्या की व्याख्या बिल्कुल उसी तार्किक क्रम में करता है।

यह अध्याय क्यों महत्वपूर्ण है

अध्ययन से पूर्व (आवश्यक ज्ञान)

बुनियादी अंकगणितीय ऑपरेशन: जोड़ ($+$), घटाव ($-$), गुणा ($\times$), और भाग ($\div$).
पूर्णांकों को समझना: धनात्मक संख्याएं, ऋणात्मक संख्याएं, और योगात्मक व्युत्क्रम ($a + (-a) = 0$).
समानता ($=$) और असमानता प्रतीकों ($<, >$) के साथ बुनियादी परिचितता.

इस अध्याय के लक्ष्य

अंकगणितीय अभिव्यक्तियों को पहचानें और उनके अद्वितीय संख्यात्मक मान निर्धारित करें।
तार्किक रूप से उपयोग करके अभिव्यक्तियों की तुलना करें लंबी मैन्युअल गणनाओं के बिना संबंधपरक सोच।
किसी अभिव्यक्ति के शब्दों को पहचानें और स्वैपिंग और ग्रुपिंग सिद्धांत लागू करें।
जब जोड़ या घटाव के चिह्न पहले हों तो कोष्ठक को सही ढंग से हटा दें।
गणनाओं को मानसिक रूप से हल करने के लिए जोड़ और घटाव पर गुणन की वितरणात्मक संपत्ति को लागू करें।
वास्तविक दुनिया की शब्द कहानियों का सटीक गणितीय अभिव्यक्तियों में अनुवाद करें।

अध्याय रूपरेखा एवं प्रगति

1 1। अंकगणितीय अभिव्यक्ति क्या है? और...

2 2. अभिव्यक्ति में शर्तें और स्वैपिं...

3 3. कोष्ठक हटाना - I: जोड़ और घटाव च...

4 4. कोष्ठक हटाना - II: वितरणात्मक सं...

सम्पूर्ण सैद्धांतिक एवं वैचारिक अध्ययन

1। अंकगणितीय अभिव्यक्ति क्या है? और संबंधपरक सोच

1. अंतर्ज्ञान

An अंकगणितीय अभिव्यक्ति संख्याओं और संक्रियाओं (जैसे $+ , -, \times, \div$) से बना एक सार्थक गणितीय वाक्यांश है। अंग्रेजी में एक शब्द वाक्यांश ("एक उज्ज्वल धूप वाली सुबह") की तरह, एक अभिव्यक्ति एक बार मूल्यांकन किए जाने पर एकल मूल्य का प्रतिनिधित्व करती है।

उदाहरण के लिए, $13 + 2$ एक अंकगणितीय अभिव्यक्ति है, और इसका मान $15$ है। हम इस संबंध को समानता चिह्न का उपयोग करके लिखते हैं: $$13 + 2 = 15$$

2. संबंधपरक सोच: गणना किए बिना तुलना

कक्षा 7 में, आपको यह तय करने के लिए कि कौन सा व्यंजक बड़ा है, हमेशा बड़ी संख्याओं की हाथ से गणना करने की आवश्यकता नहीं होती है। आप भावों की तुलना उनके संबंधों को देखकर (संबंधपरक सोच):

द्वारा कर सकते हैं

देखें: $245 + 289$ बनाम $246 + 285$

पहले अंकों की तुलना करें: $246$, $245$ ($+1$) से $1$ अधिक है।
दूसरे नंबरों की तुलना करें: $285$, $289$ ($-4$) से $4$ कम है।
समग्र प्रभाव: $1$ प्राप्त करना लेकिन $4$ खोना इसका मतलब है कि दूसरी अभिव्यक्ति $3$ छोटी है!
इसलिए: $\mathbf{245 + 289 > 246 + 285}$ बिना कोई दो कॉलम जोड़े।

इसी प्रकार, घटाव के लिए: $207 - 68$ बनाम $210 - 71$। चूँकि दोनों संख्याओं में ठीक $3$ की वृद्धि हुई, उनके बीच की दूरी समान रहती है! इस प्रकार, $207 - 68 = 210 - 71$.

3. कंक्रीट वर्क उदाहरण

उदाहरण: पूर्ण मानों की गणना किए बिना समानता को सत्य बनाने के लिए रिक्त स्थान भरें:

$$342 + 189 = 340 + \underline{\quad}$$

तर्क: दोनों पक्षों के पहले पद को देखें। $342$ को $2$ घटाकर $340$ कर दिया गया।

कुल योग को संतुलित और बराबर रखने के लिए, दूसरे पद को 2 बढ़ाया जाना चाहिए।

$$189 + 2 = 191 \implies \mathbf{342 + 189 = 340 + 191}$$

4. ख़तरा और परीक्षक ट्रैप

⚠️ ट्रैप: संतुलन में घटाव को जोड़ की तरह समझना
$150 - 48 = 152 - \underline{\quad}$ में, छात्र अक्सर सोचते हैं: "150 में 2 की वृद्धि हुई, इसलिए 48 में 2 से 46 की कमी होनी चाहिए।"
गलत! घटाने में, यदि प्रारंभिक मात्रा 2 से बढ़ जाती है, तो समान अंतर बनाए रखने के लिए आपको 2 और घटाना होगा। सही: $152 - 50 = 102$.

5. यह जीवन में क्यों मायने रखता है

कैशियर और अकाउंटेंट परिवर्तन देते समय हर दिन रिलेशनल मुआवजे का उपयोग करते हैं (उदाहरण के लिए, लंबे कॉलम घटाव करने के बजाय 68 रुपये से 100 रुपये तक की गिनती)।

2. अभिव्यक्ति में शर्तें और स्वैपिंग-ग्रुपिंग सिद्धांत

1. अंतर्ज्ञान

जब आप स्कूल बैग में किताबें, पेन और पानी की बोतल पैक करते हैं, तो इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप उन्हें किस क्रम में बैग में रखते हैं - बैग में बिल्कुल वही चीजें होती हैं। गणित में, जोड़ के साथ संख्याएँ एक थैले में रखी वस्तुओं की तरह व्यवहार करती हैं: आप उन्हें स्वैप कर सकते हैं और उन्हें अपने पसंदीदा क्रम में समूहित कर सकते हैं!

2. वास्तव में "शब्द" क्या है?

एनसीईआरटी गणित प्रकाश ढांचे में:
शब्द एक अंकगणितीय अभिव्यक्ति के भाग हैं जो '$+' चिह्न द्वारा अलग किए जाते हैं।

घटाव के बारे में क्या? प्रत्येक घटाव को एक ऋणात्मक संख्या (योगात्मक व्युत्क्रम) के योग के रूप में फिर से लिखा जा सकता है:

$$13 - 2 + 6 = 13 + (-2) + 6$$

इस अभिव्यक्ति की शर्तें हैं: $13$, $-2$, और $6$.

प्रदत्त अभिव्यक्ति	शर्तों के योग के रूप में लिखा गया	व्यक्तिगत शर्तें
$18 - 5 + 9$	$18 + (-5) + 9$	$18$, $-5$, $9$
$30 + 5 \times 4$	$30 + (5 \times 4)$	$30$, $5 \times 4$
$24 - 3 \times 6 + 8$	$24 + (-3 \times 6) + 8$	$24$, $-3 \times 6$, $8$

स्वैपिंग और ग्रुपिंग सिद्धांत:
क्योंकि शब्द जोड़ से जुड़ते हैं, आप शब्दों को किसी भी क्रम में पुनर्व्यवस्थित (स्वैप) और समूहित कर सकते हैं जिससे गणना आसान हो जाती है! उदाहरण के लिए:

$$47 + 88 + 53 = (47 + 53) + 88 = 100 + 88 = \mathbf{188}$$

3. कंक्रीट वर्क उदाहरण

उदाहरण: अभिव्यक्ति का मूल्यांकन चतुराई से उसके शब्दों की अदला-बदली और समूहीकरण द्वारा करें: $$125 + 74 - 25 + 26$$

चरण 1: सभी पदों को योग के रूप में पहचानें: $125 + 74 + (-25) + 26$

चरण 2: अनुकूल संख्याओं को जोड़ने के लिए शब्दों की अदला-बदली करें: $(125 - 25) + (74 + 26)$

चरण 3: समूहीकृत शब्दों का मूल्यांकन करें: $100 + 100$

मूल्य: $\mathbf{200}$ (आपके दिमाग में सहजता से गणना की गई!)।

4. ख़तरा और परीक्षक ट्रैप

⚠️ ट्रैप: साइन को पीछे छोड़ते हुए नंबरों की अदला-बदली
$20 - 15 + 5$ में, यदि कोई छात्र $15$ और $5$ को लापरवाही से $20 - 5 + 15$ के रूप में बदल देता है, तो उन्हें सही मान $10$ के बजाय $30$ मिलता है।
नियम: किसी संख्या के ठीक सामने का चिन्ह उस संख्या का होता है! शब्द $-15$ है, $+15$ नहीं। सही ढंग से स्वैप करने पर $20 + 5 - 15 = 25 - 15 = 10$ मिलता है।

5. यह जीवन में क्यों मायने रखता है

बैंक विवरण शर्तों का उपयोग करके आपके खाते को ट्रैक करते हैं: जमा सकारात्मक शर्तें हैं ($+ \text{salary}$), जबकि निकासी नकारात्मक शर्तें हैं ($- \text{rent}$)। लेन-देन आदेश की परवाह किए बिना, अंतिम शेष सभी शर्तों का योग है।

3. कोष्ठक हटाना - I: जोड़ और घटाव चिह्न

1. अंतर्ज्ञान

मान लीजिए आपके पास रु. आपकी जेब में 200. आप एक किताब की दुकान पर जाते हैं और रु. में एक नोटबुक खरीदते हैं। 40 रुपये में एक पेन. 3. आपके पास कितना पैसा बचा है?

$$200 - (40 + 3)$$

आप या तो पहले कुल बिल ढूंढ सकते हैं ($40 + 3 = 43$) और इसे 200 ($200 - 43 = 157$) से घटा सकते हैं, या आप पहले रुपये का भुगतान कर सकते हैं। नोटबुक के लिए 40 ($200 - 40 = 160$) और फिर रुपये का भुगतान करें। पेन के लिए 3 ($160 - 3 = 157$)। दोनों तरीके बिल्कुल एक ही परिणाम देते हैं!

$$200 - (40 + 3) = 200 - 40 - 3 = \mathbf{157}$$

2. ब्रैकेट हटाने के सुनहरे नियम

जब आप कोष्ठक हटाते हैं, तो कोष्ठक के ठीक सामने वाला चिह्न यह निर्धारित करता है कि अंदर प्रत्येक पद का क्या होगा:

नियम ए: जब किसी ब्रैकेट के पहले '+' चिह्न हो

ब्रैकेट के अंदर सभी चिह्न पूरी तरह से अपरिवर्तित रहते हैं:

$a + (b + c) = a + b + c$
$a + (b - c) = a + b - c$

नियम बी: जब किसी ब्रैकेट के पहले '-' चिह्न आता है

ब्रैकेट के अंदर प्रत्येक चिह्न इसके विपरीत दिशा में फ़्लिप करता है ($+ \to -$ और $- \to +$):

$a - (b + c) = a - b - c$
$a - (b - c) = a - b + c$

$a - (b - c) = a - b + c$ क्यों? यदि आप $b$ घटाते हैं, तो आपने $c$ बहुत अधिक घटा दिया है! इसलिए, आपको संतुलन बहाल करने के लिए $c$ वापस जोड़ना होगा। (उदाहरण: $100 - (50 - 10) = 100 - 40 = 60$. कोष्ठक हटाना: $100 - 50 + 10 = 50 + 10 = 60$).

3. कंक्रीट वर्क उदाहरण

उदाहरण: कोष्ठक हटाकर अभिव्यक्ति को सरल बनाएं: $$450 - (150 - 75 + 25)$$

चरण 1 (ब्रैकेट के अंदर सभी चिह्नों को पलटें):

• $+150$ बन जाता है $-150$

• $-75$ $+75$

बन जाता है

• $+25$ बन जाता है $-25$

चरण 2 (अभिव्यक्ति पुनः लिखें): $450 - 150 + 75 - 25$

चरण 3 (समूह शब्द): $(450 - 150) + (75 - 25) = 300 + 50$

मूल्य: $\mathbf{350}$.

4. ख़तरा और परीक्षक ट्रैप

⚠️ जाल: दूसरा पद पलटना भूल जाना
$50 - (20 - 5)$ में, छात्र अक्सर $50 - 20 - 5 = 25$.
लिखते हैं वास्तविकता जांच: ब्रैकेट के अंदर, $20 - 5 = 15$। तो $50 - 15 = 35$!
कोष्ठक हटाते समय, ऋण चिह्न दोनों शब्दों पर लागू होता है: $50 - 20 + 5 = 35$।

5. यह जीवन में क्यों मायने रखता है

छूट और कैशबैक कूपन के साथ खरीदारी करते समय, शुद्ध लागत की गणना में कोष्ठक हटाना शामिल है: $\text{Price} - (\text{Discount} - \text{Fee}) = \text{Price} - \text{Discount} + \text{Fee}$.

4. कोष्ठक हटाना - II: वितरणात्मक संपत्ति और मानसिक गणित

1. अंतर्ज्ञान

राजू और उसकी दोस्त सुनीता एक रेस्तरां में जाते हैं। उनमें से प्रत्येक ने रु. में 1 प्लेट नूडल्स का ऑर्डर दिया। 60 रुपये और 1 फल का जूस. 30. उनका कुल बिल कितना है?

इसकी गणना करने के दो प्राकृतिक तरीके हैं:

विधि 1: पहले 1 व्यक्ति के लिए लागत ज्ञात करें: $60 + 30 = 90$। फिर इसे 2 लोगों के लिए दोगुना करें: $2 \times 90 = \mathbf{180}$। → $2 \times (60 + 30)$
विधि 2: दोनों नूडल प्लेट ($2 \times 60 = 120$) और दोनों जूस ($2 \times 30 = 60$) के लिए भुगतान करें: $120 + 60 = \mathbf{180}$। → $2 \times 60 + 2 \times 30$

दोनों विधियाँ बिल्कुल समान कुल देती हैं! इस मौलिक संपत्ति को जोड़ पर गुणन की वितरणात्मक संपत्ति.

कहा जाता है

2. वितरणात्मक संपत्ति ढाँचा

गुणा जोड़ और घटाव दोनों पर "वितरित" करता है:

$$a \times (b + c) = a \times b + a \times c$$

$$a \times (b - c) = a \times b - a \times c$$

रिवर्स वितरण (सामान्य कारकों को बाहर निकालना):
यदि आप पहचान को दाएं से बाएं पढ़ते हैं, तो आप सामान्य गुणक निकाल सकते हैं:

$$a \times b + a \times c = a \times (b + c)$$

यह बिजली की तेजी से मानसिक गणित के लिए गुप्त हथियार है!

3. कंक्रीट से बने उदाहरण

उदाहरण 1 (वितरण का उपयोग करके मानसिक गुणन): स्तंभ गुणन के बिना $98 \times 7$ की गणना करें।

चरण 1: $98$ को एक अनुकूल अंतर के रूप में फिर से लिखें: $(100 - 2)$

चरण 2: गुणक वितरित करें $7$: $(100 - 2) \times 7 = 100 \times 7 - 2 \times 7$

चरण 3: मानसिक रूप से गणना करें: $700 - 14 = \mathbf{686}$.

उदाहरण 2 (सामान्य कारक शॉर्टकट): मूल्यांकन करें $73 \times 64 + 73 \times 36$.

अवलोकन: दोनों पदों में सामान्य गुणक $73$ पर ध्यान दें!

चरण 1: बाहर निकालें $73$: $73 \times (64 + 36)$

चरण 2: अंदर कोष्ठक जोड़ें: $64 + 36 = 100$

मूल्य: $73 \times 100 = \mathbf{7,300}$ (5 सेकंड में पूरा हो गया!)।

4. ख़तरा और परीक्षक ट्रैप

⚠️ ट्रैप: गुणा पर गुणा बांटना
एक छात्र लिखता है: $2 \times (3 \times 4) = (2 \times 3) \times (2 \times 4) = 6 \times 8 = 48$.
गलत! गुणन गुणन पर वितरित नहीं होता! $(3 \times 4) = 12$, और $2 \times 12 = 24$. वितरण केवल जोड़ या घटाव पर लागू होता है।

5. यह जीवन में क्यों मायने रखता है

कुल फर्श क्षेत्र का पता लगाने वाले वास्तुकारों ने अनियमित एल-आकार के कमरों को दो आयतों में विभाजित किया और वितरण लागू किया: $\text{Length} \times (\text{Width}_1 + \text{Width}_2) = \text{Area}_1 + \text{Area}_2$.

चित्रात्मक व्याख्या एवं मॉडल

Geometric Area Model: The Distributive Property

Total Area of a Rectangle of width $a$ and combined length $(b + c)$

Region 1

$a \times b$

Length = $b$

Region 2

$a \times c$

Length = $c$

$$\text{Total Area} = a \times (b + c) = a \times b + a \times c$$

अध्याय का सार संक्षेप एवं 10 मुख्य निष्कर्ष

मुख्य बिंदु 1

अंकगणितीय अभिव्यक्ति: संख्याओं और संक्रियाओं से युक्त एक गणितीय वाक्यांश ($+, -, \times, \div$) जो एकल संख्यात्मक मान का मूल्यांकन करता है।

मुख्य बिंदु 2

संबंधपरक सोच: मैन्युअल गणना करने के बजाय मूल्यों में परिवर्तन देखकर अभिव्यक्तियों की तुलना और संतुलन करना।

मुख्य बिंदु 3

शर्तें: के भाग एक अभिव्यक्ति '+' चिह्नों द्वारा अलग की गई। घटाव को ऋणात्मक मात्रा जोड़ने के रूप में माना जाता है: $a - b = a + (-b)$.

मुख्य बिंदु 4

स्वैपिंग और समूहीकरण: क्योंकि शब्द जोड़ द्वारा संयुक्त होते हैं, उनके क्रम को अनुकूल संख्याओं को जोड़ने के लिए स्वतंत्र रूप से पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है।

मुख्य बिंदु 5

कोष्ठक हटाना (+ / -): पूर्ववर्ती '+' आंतरिक संकेतों को अपरिवर्तित छोड़ देता है। पूर्ववर्ती '-' प्रत्येक आंतरिक चिह्न को इसके विपरीत में फ़्लिप करता है।

मुख्य बिंदु 6

वितरण गुण: गुणन जोड़ और घटाव पर वितरित होता है: $a \times (b \pm c) = a \times b \pm a \times c$। रिवर्स वितरण तीव्र मानसिक अंकगणित के लिए सामान्य कारकों को निकालता है।

स्व-मूल्यांकन अभ्यास (Check Your Understanding)

मूल वैचारिक स्पष्टता की जांच के लिए नैदानिक प्रश्न। पहले स्वयं हल करें, फिर उत्तर देखें।

अभिव्यक्ति में सभी व्यक्तिगत शब्दों को पहचानें: $48 - 7 \times 5 + 19 - 4$

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: शब्द हैं: $48$, $-7 \times 5$, $19$, और $-4$।
घटाव को नकारात्मक मात्राओं के योग के रूप में फिर से लिखें: $48 + (-7 \times 5) + 19 + (-4)$। पद '+' चिह्नों द्वारा अलग किए गए भाग हैं।

पूर्ण गणना के बिना संबंधपरक सोच का उपयोग करके रिक्त स्थान भरें: $516 + 284 = 520 + \underline{\quad}$

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: $280$
$516$ को $4$ बढ़ाकर $520$ तक पहुँचाया गया। योग को बराबर रखने के लिए, $284$ को $4$ ($284 - 4 = 280$) से घटाया जाना चाहिए।

कोष्ठक हटाएं और सरल बनाएं: $180 - (80 - 25)$

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: $180 - 80 + 25 = 100 + 25 = 125$
ऋण चिह्न से पहले वाले कोष्ठक को हटाते समय, प्रत्येक चिह्न को अंदर पलटें: $-25$ अंदर $+25$ हो जाता है।

वितरण गुण का उपयोग करके मानसिक रूप से गणना करें: $105 \times 8$

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: $(100 + 5) \times 8 = 100 \times 8 + 5 \times 8 = 800 + 40 = 840$
$105$ को अनुकूल भागों में विभाजित करें: $100 + 5$, फिर प्रत्येक भाग को $8$ से गुणा करें।

सबसे तेज़ तरीके से मूल्यांकन करें: $43 \times 78 + 43 \times 22$

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: $43 \times (78 + 22) = 43 \times 100 = 4,300$
ध्यान दें कि $43$ है दोनों शर्तों में एक सामान्य कारक। विपरीत वितरण का उपयोग करके $43$ निकालें।

अध्याय का अध्ययन पूर्ण हुआ?

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झारखण्ड बोर्ड परीक्षा पैटर्न पर आधारित बहुविकल्पीय प्रश्नों का ऑनलाइन टेस्ट दें। तुरंत परिणाम, समय विश्लेषण और प्रत्येक प्रश्न का विस्तृत हल प्राप्त करें।

फाउंडेशन टेस्ट

15 MCQs • मूल अवधारणाएँ

एडवांस्ड टेस्ट

15 MCQs • HOTS और ट्रैप्स