अनुपात और समानुपात (Ratio and Proportion)

संख्याओं की तुलना करने से हम यह तय करते हैं कि कौन सी राशि बड़ी है और कौन सी छोटी। इसके लिए दो बुनियादी नियम हैं:

1. अंकों की संख्या का नियम: जिस संख्या में अधिक अंक होते हैं, वह सदैव बड़ी होती है। जैसे: $10,002$ (5 अंक) और $9,998$ (4 अंक) में: $$10,002 > 9,998$$
2. उच्चतम स्थानीय मान का नियम: यदि दोनों संख्याओं में अंकों की संख्या समान हो, तो बाईं ओर से सबसे पहले अंक (उच्चतम स्थानीय मान) की तुलना करते हैं। जिसका बायाँ अंक बड़ा होगा, वह संख्या बड़ी होगी। यदि बायाँ अंक समान हो, तो अगले दाएँ अंक की तुलना करते हैं।
   उदाहरण: $75,642$ और $75,810$ में दस-हजार और हजार के अंक समान हैं। सैकड़े के स्थान पर $6 < 8$, अतः: $$75,810 > 75,642$$

दिए गए अंकों से सबसे बड़ी और सबसे छोटी संख्या बनाना

• सबसे बड़ी संख्या: अंकों को अवरोही क्रम (घटते क्रम) में लिखें।
  दिए गए अंक: $4, 7, 1, 9, 3 \to \mathbf{97,431}$
• सबसे छोटी संख्या: अंकों को आरोही क्रम (बढ़ते क्रम) में लिखें।
  दिए गए अंक: $4, 7, 1, 9, 3 \to \mathbf{13,479}$
• शून्य (0) का विशेष नियम: यदि दिए गए अंकों में शून्य शामिल हो, तो शून्य को कभी भी सबसे बाईं ओर नहीं लिखा जाता, क्योंकि पहले शून्य लगाने से अंकों की संख्या घट जाती है ($0357$ केवल 3 अंकों की संख्या मानी जाएगी)। अतः पहले सबसे छोटा अशून्य अंक लिखें, उसके तुरंत बाद शून्य लिखें।
  दिए गए अंक: $6, 0, 8, 3 \to \text{सबसे छोटी 4 अंकों की संख्या} = \mathbf{3,068}$

जब किसी संख्या के अंकों का स्थान आपस में बदल दिया जाता है, तो उसका मान पूरी तरह बदल जाता है। जैसे $395$ में सैकड़े ($3$) और इकाई ($5$) को बदलने पर संख्या $593$ बन जाती है।

10 के आधार पर संख्या वृद्धि का पैटर्न

किसी भी अंक की सबसे बड़ी संख्या में $1$ जोड़ने पर अगले अंक की सबसे छोटी संख्या प्राप्त होती है:

बड़ी संख्याओं का विस्तारित रूप (Expanded Form)

प्रत्येक संख्या को उसके अंकों और उनके स्थानीय मानों के गुणनफल के योग के रूप में लिखा जाता है:

भारतीय पद्धति में संख्याओं को चार मुख्य आवर्तों (Periods) में बाँटा जाता है: इकाई, हजार, लाख और करोड़।

अल्पविराम (कॉमा) लगाने का नियम

1. पहला अल्पविराम: दाईं ओर से 3 अंकों (सैकड़े) के बाद लगाया जाता है (इकाई आवर्त समाप्त होने पर)।
2. अगले अल्पविराम: इसके बाद प्रत्येक 2 अंकों के बाद अल्पविराम लगाए जाते हैं (हजार, लाख और करोड़ आवर्त)।

अल्पविराम सहित: $54,32,09,816$
शब्दों में: चौवन करोड़ बत्तीस लाख नौ हजार आठ सौ सोलह।

अंतर्राष्ट्रीय पद्धति पूरे विश्व में विज्ञान, व्यापार और तकनीक में प्रयुक्त होती है। इसमें प्रत्येक आवर्त में तीन-तीन स्थान होते हैं: इकाई (Ones), हजार (Thousands), मिलियन (Millions) और बिलियन (Billions)।

अल्पविराम (कॉमा) लगाने का नियम

दाईं ओर से प्रत्येक 3 अंकों के बाद निरंतर अल्पविराम लगाया जाता है।

अल्पविराम सहित: $543,209,816$
शब्दों में: पाँच सौ तैंतालीस मिलियन दो सौ नौ हजार आठ सौ सोलह।

बिहार बोर्ड एवं छात्रवृत्ति परीक्षाओं में भारतीय और अंतर्राष्ट्रीय पद्धतियों के रूपांतरण पर सीधे प्रश्न पूछे जाते हैं:

दैनिक जीवन में वस्तुओं की माप के लिए मीट्रिक इकाइयों का प्रयोग होता है। 10 की घातों पर आधारित मानक उपसर्ग:

• किलो (k): $1,000$ गुना ($10^3$)
• हेक्टो (h): $100$ गुना ($10^2$)
• डेका (da): $10$ गुना ($10^1$)
• डेसी (d): $\frac{1}{10}$ वां भाग ($10^{-1}$)
• सेंटी (c): $\frac{1}{100}$ वां भाग ($10^{-2}$)
• मिली (m): $\frac{1}{1,000}$ वां भाग ($10^{-3}$)

महत्वपूर्ण रूपांतरण सूत्र

रूपांतरण नियम:
• बड़ी इकाई से छोटी इकाई में बदलने के लिए $\to$ गुणा करें (जैसे: $3.5\text{ किमी} = 3.5 \times 1,000 = 3,500\text{ मी}$)।
• छोटी इकाई से बड़ी इकाई में बदलने के लिए $\to$ भाग दें (जैसे: $4,500\text{ ग्राम} = \frac{4500}{1000} = 4.5\text{ किग्रा}$)।

सन्निकटन (Estimation) का अर्थ है किसी संख्या का ऐसा निकटतम अनुमानित मान ज्ञात करना, जिससे मौखिक गणना सरल हो जाए और उत्तर की तर्कसंगतता की जाँच की जा सके।

स्थानीय मान के आधार पर सन्निकटन के नियम

• निकटतम दहाई तक सन्निकटन: इकाई का अंक देखें।
  • यदि इकाई अंक $0, 1, 2, 3, 4$ ($< 5$) है, तो उसे $0$ कर दें (दहाई वही रहेगी)।
  • यदि इकाई अंक $5, 6, 7, 8, 9$ ($\ge 5$) है, तो दहाई में $1$ जोड़ें और इकाई को $0$ करें।
  उदाहरण: $73 \to 70$; $75 \to 80$; $286 \to 290$
• निकटतम सैकड़े तक सन्निकटन: दहाई का अंक देखें।
  • यदि दहाई $< 5$ हो $\to$ सैकड़ा वही रहेगा, दहाई व इकाई $00$ हो जाएंगे।
  • यदि दहाई $\ge 5$ हो $\to$ सैकड़े में $1$ जोड़ें और दहाई व इकाई $00$ करें।
  उदाहरण: $418 \to 400$; $782 \to 800$; $5,350 \to 5,400$
• निकटतम हजार तक सन्निकटन: सैकड़े का अंक देखें।
  उदाहरण: $2,499 \to 2,000$; $2,500 \to 3,000$

आकलन का सामान्य नियम (General Rule)

योग, अंतर या गुणनफल का आकलन करते समय सामान्य नियम कहता है: प्रत्येक संख्या को उसके उच्चतम (सबसे बड़े) स्थानीय मान तक सन्निकटित करें, फिर संक्रिया करें।

उदाहरण: $578 \times 161$ का आकलन करें:
• $578$ का उच्चतम स्थान सैकड़ा है $\to 600$
• $161$ का उच्चतम स्थान सैकड़ा है $\to 200$
• अनुमानित गुणनफल $= 600 \times 200 = \mathbf{1,20,000}$

कोष्ठक (Brackets) गणना में संक्रियाओं की प्राथमिकता स्पष्ट करते हैं। जैसे: $6 \times (10 + 2) = 6 \times 12 = 72$, जबकि $6 \times 10 + 2 = 60 + 2 = 62$।

रोमन संख्यांक के 7 मूलभूत प्रतीक

रोमन संख्यांकों के 4 स्वर्णिम नियम

1. पुनरावृत्ति का नियम: प्रतीक की पुनरावृत्ति होने पर उसका मान जुड़ता है। केवल $\text{I, X, C, M}$ को ही अधिकतम तीन बार लगातार दोहराया जा सकता है (जैसे $\text{XXX} = 30$)। $\mathbf{V, L, D}$ को कभी नहीं दोहराया जाता।
2. जोड़ने का नियम: यदि छोटे मान वाला प्रतीक बड़े मान वाले प्रतीक के दाईं ओर लिखा हो, तो उसे जोड़ा जाता है:
   $\text{VI} = 5 + 1 = 6$; $\text{XII} = 10 + 2 = 12$; $\text{LX} = 50 + 10 = 60$
3. घटाने का नियम: यदि छोटे मान वाला प्रतीक बड़े मान वाले प्रतीक के बाईं ओर लिखा हो, तो उसे घटाया जाता है:
   $\text{IV} = 5 - 1 = 4$; $\text{IX} = 10 - 1 = 9$; $\text{XL} = 50 - 10 = 40$; $\text{XC} = 100 - 10 = 90$; $\text{CD} = 500 - 100 = 400$; $\text{CM} = 1000 - 100 = 900$
4. घटाने की सीमाएँ:
   • $\mathbf{V, L, D}$ को कभी भी घटाया नहीं जाता।
   • प्रतीक $\text{I}$ को केवल $\text{V}$ और $\text{X}$ से घटाया जा सकता है।
   • प्रतीक $\text{X}$ को केवल $\text{L}$ और $\text{C}$ से घटाया जा सकता है।
   • प्रतीक $\text{C}$ को केवल $\text{D}$ और $\text{M}$ से घटाया जा सकता है।