गतिकी (Kinematics)

निरंतर त्वरण के लिए गतिज समीकरणों की कठोर व्युत्पत्ति:

शास्त्रीय यांत्रिकी में, निरंतर त्वरण के साथ एक सीधी रेखा के साथ गति $a$ को अंतर और अभिन्न कलन का उपयोग करके सुंदर ढंग से तैयार किया जा सकता है:

1. वेग-समय संबंध ($v = u + at$):

परिभाषा के अनुसार, तात्कालिक त्वरण $a = \frac{dv}{dt} \implies dv = a\, dt$ है। दोनों पक्षों को $t = 0$ (वेग $u$) से समय $t$ (वेग $v$) तक एकीकृत करना: $$\int_{u}^{v} dv = a \int_{0}^{t} dt \implies [v]_{u}^{v} = a [t]_{0}^{t} \implies v - u = at \implies \mathbf{v = u + at}$$

2. विस्थापन-समय संबंध ($s = ut + \frac{1}{2}at^2$):

परिभाषा के अनुसार, तात्कालिक वेग $v = \frac{ds}{dt} \implies ds = v\, dt = (u + at)\, dt$ है। $t = 0$ ($s = 0$) से समय $t$ (विस्थापन $s$) तक एकीकृत करना: $$\int_{0}^{s} ds = \int_{0}^{t} (u + at)\, dt \implies s = u\int_{0}^{t} dt + a\int_{0}^{t} t\, dt \implies \mathbf{s = ut + \frac{1}{2}at^2}$$

3. वेग-विस्थापन संबंध ($v^2 = u^2 + 2as$):

चेन नियम का उपयोग करना: $a = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{ds} \cdot \frac{ds}{dt} = v \frac{dv}{ds} \implies a\, ds = v\, dv$. एकीकृत करना: $$\int_{0}^{s} a\, ds = \int_{u}^{v} v\, dv \implies a[s]_{0}^{s} = \left[\frac{v^2}{2}\right]_{u}^{v} \implies as = \frac{v^2 - u^2}{2} \implies \mathbf{v^2 = u^2 + 2as}$$

4. $n^{\text{th}}$ सेकंड ($s_n$) में तय की गई दूरी:

$n^{\text{th}}$ सेकंड के दौरान विस्थापन, $t = n$ और $t = n-1$ पर विस्थापन के बीच का अंतर है: $$s_n = s(n) - s(n-1) = \left[un + \frac{1}{2}an^2\right] - \left[u(n-1) + \frac{1}{2}a(n-1)^2\right]$$ $$s_n = u + \frac{1}{2}a [n^2 - (n^2 - 2n + 1)] \implies \mathbf{s_n = u + \frac{a}{2}(2n - 1)}$$

डिकोडिंग मोशन ग्राफ़:

वेक्टर विश्लेषणात्मक आधार:

एक सदिश राशि में परिमाण और दिशा दोनों होते हैं और यह योग के सदिश नियमों का पालन करता है। कार्टेशियन निर्देशांक में, एक 3D वेक्टर को ऑर्थोगोनल यूनिट वैक्टर $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$:

वेक्टर जोड़ का समांतर चतुर्भुज नियम:

यदि दो सदिश $\vec{A}$ और $\vec{B}$ को एक सामान्य बिंदु से खींचे गए समांतर चतुर्भुज की दो आसन्न भुजाओं द्वारा परिमाण और दिशा में दर्शाया जाता है, तो उनका परिणाम $\vec{R} = \vec{A} + \vec{B}$ विकर्ण द्वारा दिया जाता है:

जहां $\theta$ $\vec{A}$ और $\vec{B}$ के बीच का कोण है, और $\alpha$ $\vec{A}$ के संबंध में $\vec{R}$ का झुकाव है।

वेक्टर गुणन का तुलनात्मक मैट्रिक्स:

ऑब्लिक प्रोजेक्टाइल मोशन के लिए पूर्ण विश्लेषणात्मक व्युत्पत्तियाँ:

प्रारंभिक वेग $u$ के साथ ऊंचाई कोण $\theta$ पर मूल $(0,0)$ से लॉन्च किया गया एक प्रक्षेप्य शून्य क्षैतिज त्वरण ($a_x = 0$) और नीचे की ओर गुरुत्वाकर्षण त्वरण ($a_y = -g$) का अनुभव करता है:

• $u_x = u\cos\theta, \quad v_x(t) = u\cos\theta$
• $u_y = u\sin\theta, \quad v_y(t) = u\sin\theta - gt$
• $x(t) = (u\cos\theta)t \implies t = \frac{x}{u\cos\theta}$
• $y(t) = (u\sin\theta)t - \frac{1}{2}gt^2$

1. प्रक्षेपवक्र का समीकरण (परवलयिक पथ):

$t = \frac{x}{u\cos\theta}$ को $y(t)$ में प्रतिस्थापित करना: $$y = (u\sin\theta)\left(\frac{x}{u\cos\theta}\right) - \frac{1}{2}g\left(\frac{x}{u\cos\theta}\right)^2 \implies \mathbf{y = x\tan\theta - \frac{g}{2u^2\cos^2\theta}x^2}$$ चूँकि यह मानक द्विघात रूप $y = Ax - Bx^2$ से मेल खाता है, प्रक्षेपवक्र सख्ती से परवलय.

2. उड़ान का समय ($T$):

लैंडिंग पर, ऊर्ध्वाधर विस्थापन $y = 0$: $$(u\sin\theta)T - \frac{1}{2}gT^2 = 0 \implies \mathbf{T = \frac{2u\sin\theta}{g}}$$

3. अधिकतम ऊंचाई ($H$):

शीर्ष पर, ऊर्ध्वाधर वेग $v_y = 0$. $v_y^2 = u_y^2 - 2gH$ का उपयोग करना: $$0 = (u\sin\theta)^2 - 2gH \implies \mathbf{H = \frac{u^2\sin^2\theta}{2g}}$$

4. क्षैतिज सीमा ($R$) और दो प्रक्षेपण कोण:

समय में तय की गई क्षैतिज दूरी $T$: $$R = u_x \cdot T = (u\cos\theta)\left(\frac{2u\sin\theta}{g}\right) = \frac{u^2(2\sin\theta\cos\theta)}{g} \implies \mathbf{R = \frac{u^2\sin 2\theta}{g}}$$

• अधिकतम सीमा $\sin 2\theta = 1 \implies 2\theta = 90^\circ \implies \mathbf{\theta = 45^\circ}$ पर होती है, जो $R_{\max} = \frac{u^2}{g} = 4H_{\max}$ देती है।
• पूरक कोणों के लिए $\theta$ और $90^\circ - \theta$: $\sin[2(90^\circ - \theta)] = \sin(180^\circ - 2\theta) = \sin 2\theta$. इसलिए, पूरक कोणों के लिए सीमा समान है!

सर्कुलर मोशन की गतिकी:

जब एक कण स्थिर गति $v$ पर त्रिज्या $r$ के गोलाकार पथ पर यात्रा करता है, तो इसकी दिशा लगातार बदलती रहती है, जिससे अंदर की ओर निर्देशित त्वरण उत्पन्न होता है।

• कोणीय वेग ($\omega$): कोणीय विस्थापन के परिवर्तन की दर: $\omega = \frac{d\theta}{dt} = \frac{2\pi}{T} = 2\pi\nu$.
• रैखिक-कोणीय संबंध: चूंकि चाप की लंबाई $s = r\theta$ है, विभेदित उपज $v = \frac{ds}{dt} = r\frac{d\theta}{dt} \implies \mathbf{v = \omega r}$.

सेंट्रिपेटल त्वरण की वेक्टर व्युत्पत्ति:

माना स्थिति वेक्टर $\vec{r} = r\cos(\omega t)\hat{i} + r\sin(\omega t)\hat{j}$.

वेग पहली बार व्युत्पन्न है: $$\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = -\omega r\sin(\omega t)\hat{i} + \omega r\cos(\omega t)\hat{j}$$

त्वरण दूसरी बार व्युत्पन्न है: $$\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = -\omega^2 r\cos(\omega t)\hat{i} - \omega^2 r\sin(\omega t)\hat{j} = -\omega^2 \vec{r}$$ नकारात्मक चिह्न साबित करता है कि त्वरण वेक्टर स्थिति वेक्टर $\vec{r}$ के विपरीत दिशा में इंगित करता है, यानी, केंद्र की ओर रेडियल रूप से अंदर की ओर। इसका परिमाण है: $$\mathbf{a_c = \omega^2 r = \frac{v^2}{r} = \frac{4\pi^2 r}{T^2}}$$

सापेक्ष वेग यांत्रिकी:

किसी पिंड का सापेक्ष वेग $A$ दूसरे पिंड के संबंध में $B$ वह वेग है जिसके साथ $A$ गति करता हुआ प्रतीत होता है जैसा कि $B$:

क्लासिक द्वि-आयामी अनुप्रयोग:

• वर्षा-मानव समस्याएँ: यदि वर्षा $\vec{v}_r = -v_r\hat{j}$ वेग के साथ लंबवत गिरती है और एक व्यक्ति $\vec{v}_m = v_m\hat{i}$ के साथ क्षैतिज रूप से चलता है, तो मनुष्य के संबंध में बारिश का सापेक्ष वेग है: $$\vec{v}_{rm} = \vec{v}_r - \vec{v}_m = -v_m\hat{i} - v_r\hat{j}$$ बारिश से बचने के लिए, आदमी को छाते को ऊर्ध्वाधर के साथ $\theta$ के कोण पर पकड़ना चाहिए: $$\tan\theta = \frac{v_m}{v_r}$$
• नदी-नाव क्रॉसिंग: गति $v_b$ की नाव के लिए गति $v_r$ और चौड़ाई $d$ की नदी पार करने के लिए:
  • सबसे छोटा रास्ता (लंबवत क्रॉसिंग): नाव को धारा के विपरीत कोण $\theta$ पर चलना चाहिए जहां $\sin\theta = \frac{v_r}{v_b}$; समय $t = \frac{d}{\sqrt{v_b^2 - v_r^2}}$.
  • सबसे कम समय: नाव सीधे पार चलती है ($\theta = 0$ किनारे के सापेक्ष); न्यूनतम समय $t_{\min} = \frac{d}{v_b}$; डाउनस्ट्रीम बहाव $x = v_r \cdot t_{\min} = \frac{v_r d}{v_b}$.

व्यापक समस्या-समाधान पूर्वाभ्यास: