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ICSE • कक्षा 7 • Computer Science • अध्याय 2
अनुमानित समय: 45 Mins
प्रगति: अध्ययनरत

संख्या प्रणाली - एक परिचय (Number System - An Introduction)

आईसीएसई कक्षा 7 के कंप्यूटर अध्ययन में, "संख्या प्रणाली - एक परिचय" एक आधिकारिक, गणितीय रूप से कठोर मास्टर अध्ययन मार्गदर्शिका प्रदान करता है जो कंप्यूटिंग में उपयोग की जाने वाली स्थितीय संख्या प्रणालियों की जांच करती है: दशमलव (बेस 10), बाइनरी (बेस 2), ऑक्टल (बेस 8), और हेक्साडेसिमल (बेस 16), अंतर-आधार रूपांतरण और बाइनरी अंकगणितीय संचालन के साथ।

अध्याय CBT ऑनलाइन टेस्ट दें सभी अध्याय देखें
प्रस्तावना अध्याय अवधारणाएँ सिंटेक्स एवं प्रमुख कमांड अध्याय सारांश स्व-मूल्यांकन अभ्यास टेस्ट दें

एक अरब डॉलर वाला सुपर कंप्यूटर ही क्यों होता है संख्या समाप्त होने से पहले एक तक गिनें?

अपने सामने कीबोर्ड को देखें: इसमें दस अंक, छब्बीस अक्षर, विराम चिह्न, इमोजी और प्रतीक हैं। फिर भी आपके कंप्यूटर के सूक्ष्म सिलिकॉन चिप्स के अंदर, पृथ्वी पर सबसे शक्तिशाली प्रोसेसर मौलिक रूप से दो को छोड़कर हर संख्या के प्रति अंधा है: शून्य और एक! डिजिटल कंप्यूटर बाइनरी नंबर सिस्टम (बेस 2) का उपयोग करते हैं क्योंकि इलेक्ट्रॉनिक सूक्ष्म ट्रांजिस्टर भौतिक बाइनरी स्विच हैं - वे केवल खुले या बंद हो सकते हैं! कंप्यूटर इंजीनियर अपना दिमाग खोए बिना 11111111 जैसी स्ट्रिंग कैसे पढ़ते हैं? उन्होंने हेक्साडेसिमल (बेस 16) का आविष्कार किया, जिसमें चार बाइनरी अंकों को एक ही वर्ण में संघनित किया गया! आइए संख्या प्रणालियों में महारत हासिल करें।

यह अध्याय क्यों महत्वपूर्ण है

बाइनरी अंकगणित सभी डिजिटल माइक्रोप्रोसेसरों, नेटवर्क आईपी पते और क्रिप्टोग्राफी एल्गोरिदम का मूल तर्क है। आईसीएसई कंप्यूटर विज्ञान के लिए आधार रूपांतरण में महारत हासिल करना आवश्यक है।

अध्ययन से पूर्व (आवश्यक ज्ञान)

  • दशमलव अंकगणित में स्थान मान और विस्तारित रूप।
  • शेषों के साथ मूल विभाजन।
  • संख्याओं की शक्तियां (2^0, 2^1, 2^2, 2^3...).

इस अध्याय के लक्ष्य

  • एक स्थितीय संख्या प्रणाली को परिभाषित करें और आधार का महत्व बताएं (मूलांक).
  • दशमलव, बाइनरी, ऑक्टल और हेक्साडेसिमल संख्या प्रणालियों की तुलना करें.
  • क्रमिक विभाजन विधि का उपयोग करके दशमलव संख्याओं को बाइनरी में बदलें.
  • स्थितीय शक्ति विस्तार का उपयोग करके बाइनरी संख्याओं को दशमलव में बदलें.
  • बहु-अंकीय बाइनरी जोड़ ($1+1=10$) और बाइनरी निष्पादित करें घटाव.
  • दशमलव और हेक्साडेसिमल प्रणालियों के बीच कनवर्ट करें.

अध्याय रूपरेखा एवं प्रगति

1 1. स्थितीय संख्या प्रणाली एवं आधार...
2 2. अंतर-आधार संख्या रूपांतरण
3 3. ऑक्टल और हेक्साडेसिमल रूपांतरण
4 4. बाइनरी अंकगणित: जोड़ और घटाव

सम्पूर्ण सैद्धांतिक एवं वैचारिक अध्ययन

1. स्थितीय संख्या प्रणाली एवं आधार (मूलांक)

समझें
चार कोर कंप्यूटिंग सिस्टम:
  • दशमलव (आधार 10): अंक 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. मानक मानव गिनती।
  • बाइनरी (बेस 2): अंक 0 और 1 (बिट्स)। कंप्यूटर की मशीनी भाषा.
  • ऑक्टल (बेस 8): अंक 0 से 7. 3-बिट बाइनरी समूहों के लिए आशुलिपि।
  • हेक्साडेसिमल (बेस 16): अंक 0-9 और अक्षर ए-एफ (ए=10, बी=11, सी=12, डी=13, ई=14, एफ=15)। मेमोरी एड्रेसिंग और वेब हेक्स कलर कोड (#FFFFFF) में उपयोग किया जाता है।

2. अंतर-आधार संख्या रूपांतरण

Conversions
ए. दशमलव से बाइनरी (2 से क्रमिक विभाजन):

दशमलव संख्या को बार-बार 2 से विभाजित करें, शेषफल (0 या 1) रिकॉर्ड करें, और शेषफल को नीचे से ऊपर (एमएसबी से एलएसबी) तक पढ़ें।
उदाहरण: (25)§78§ = (11001)2.

बी. Binary to Decimal:

दाईं ओर से प्रारंभ करते हुए प्रत्येक बिट को उसकी 2 की स्थितीय शक्ति से गुणा करें (20, 21, 22...):
(11001)2 = (1 × 16) + (1 × 8) + (0 × 4) + (0 × 2) + (1 × 1) = (25)10.

3. ऑक्टल और हेक्साडेसिमल रूपांतरण

ऑक्टल और हेक्स
ए. दशमलव से हेक्साडेसिमल:

क्रमिक रूप से 16 से विभाजित करें। उदाहरण: (92)§6

7§ ÷ 16 = 5 शेषफल 12 के साथ (C) → (5C)§89§.

बी. हेक्साडेसिमल से दशमलव:

(3बी)§1415§ = (3 × 161) + (11 × 160) = 48 + 11 = (59)10.

4. बाइनरी अंकगणित: जोड़ और घटाव

बाइनरी अंकगणित
ए. बाइनरी जोड़:
  • 0 + 0 = 0
  • 0 + 1 = 1
  • 1 + 0 = 1
  • 1 + 1 = 10 (1 कैरी के साथ 0)
  • 1 + 1 + 1 = 11 (1 कैरी 1 के साथ)

उदाहरण: (1011)2 + (1101)2 = (11000)2 (11 + 13 = 24).

बी. बाइनरी घटाव:

0 - 0 = 0; 1 - 0 = 1; 1 - 1 = 0; 0 - 1 = 1 (अगले बिट से 1 उधार लेकर).
उदाहरण: (1101)2 - (1010)2 = (0011)2 (13 - 10 = 3).

प्रोग्रामिंग सिंटेक्स, स्टेटमेंट्स एवं भाषा अनुवादक नियम

बाइनरी पोजिशनल वैल्यू फॉर्मूला
$$N_{10} = \sum_{i=0}^{n-1} d_i \times 2^i$$
बाइनरी अनुक्रम को बेस-10 दशमलव में परिवर्तित करता है।
बाइनरी एडिशन कैरी नियम
$$1_2 + 1_2 = 10_2 \quad (\text{Sum } 0, \text{ Carry } 1)$$
फंडामेंटल डिजिटल लॉजिक नियम।

डिजिटल लॉजिक: चार नंबर सिस्टम और बाइनरी एडिशन मैकेनिक्स

Computer Science: Number Systems & Binary Arithmetic THE FOUR NUMBER SYSTEMS • Decimal (Base 10): 0 to 9 Standard human counting system • Binary (Base 2): 0 and 1 (Bits) Machine language of computer transistors (Off/On) • Octal (Base 8): 0 to 7 (3-bit groups) • Hexadecimal (Base 16): 0-9 & A-F A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15 Memory addresses & Web color hex codes (#FFFFFF) • Radix / Base defines count of unique symbols BINARY ARITHMETIC RULES • Addition Rules: 0 + 0 = 0 • 0 + 1 = 1 • 1 + 0 = 1 1 + 1 = 10 (Sum 0, Carry 1!) 1 + 1 + 1 = 11 (Sum 1, Carry 1!) • Conversion Algorithm: Decimal → Binary: Successive division by 2 Read remainders from BOTTOM TO TOP (MSB to LSB) Binary → Decimal: Multiply by powers of 2 (20, 21...) Example: (25)10 = (11001)2 (16 + 8 + 1 = 25) BASE 2 = TRANSISTOR SWITCHES (0/1) • 1 + 1 = 10 (CARRY 1) • HEX USES A TO F

अध्याय का सार संक्षेप एवं 10 मुख्य निष्कर्ष

मुख्य बिंदु 1
एक संख्या प्रणाली एक गणितीय कोड है जिसका उपयोग किया जाता है प्रतीकों का एक समूह जिसका मान स्थितीय भार पर निर्भर करता है।
मुख्य बिंदु 2
बेस (रेडिक्स) उपयोग किए गए अद्वितीय प्रतीकों की कुल संख्या है: दशमलव (10), बाइनरी (2), ऑक्टल (8), हेक्स (16)।
मुख्य बिंदु 3
कंप्यूटर बाइनरी सिस्टम (0 और 1) का उपयोग करते हैं क्योंकि इलेक्ट्रॉनिक ट्रांजिस्टर बाइनरी ऑन/ऑफ स्विच के रूप में काम करते हैं।
मुख्य बिंदु 4
हेक्साडेसिमल अंक 0-9 और अक्षर ए-एफ का उपयोग करता है (जहां ए = 10, बी = 11, C=12, D=13, E=14, F=15).
मुख्य बिंदु 5
दशमलव से बाइनरी रूपांतरण 2 से क्रमिक विभाजन का उपयोग करता है, शेष को नीचे से ऊपर तक एकत्रित करता है।
मुख्य बिंदु 6
बाइनरी से दशमलव रूपांतरण 2 (2^0, 2^1, 2^2...) की आरोही शक्तियों से गुणा करके अंकों का विस्तार करता है।
मुख्य बिंदु 7
बाइनरी जोड़ नियम: 0+0=0, 0+1=1, 1+0=1, 1+1=10 (0 कैरी 1 के साथ), 1+1+1=11 (1 कैरी 1 के साथ)।
मुख्य बिंदु 8
बाइनरी घटाव में, अगले कॉलम से 1 उधार लेने पर बाइनरी में 10 मिलता है (जो दशमलव में 2 के बराबर होता है)।
मुख्य बिंदु 9
ऑक्टल समूह 3 बाइनरी बिट्स को एक अंक में (2^3 =) 8); हेक्साडेसिमल समूह 4 बिट्स (2^4 = 16).
मुख्य बिंदु 10
हेक्साडेसिमल संख्याएं मेमोरी एड्रेस और HTML वेब कलर कोड के लिए कंप्यूटिंग में व्यापक रूप से उपयोग की जाती हैं।

स्व-मूल्यांकन अभ्यास (Check Your Understanding)

मूल वैचारिक स्पष्टता की जांच के लिए नैदानिक प्रश्न। पहले स्वयं हल करें, फिर उत्तर देखें।

1
क्रमिक विभाजन विधि का उपयोग करके दशमलव संख्या (53)10 को इसके समकक्ष बाइनरी प्रतिनिधित्व में परिवर्तित करें।
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर: 53 को क्रमिक रूप से 2 से विभाजित करें:
• 53 / 2 = 26, शेष 1 (LSB)
• 26 / 2 = 13, शेष 0
• 13 / 2 = 6, शेष 1
• 6 / 2 = 3, शेष 0
• 3 / 2 = 1, शेष 1
• 1 / 2 = 0, शेष 1 (MSB)
नीचे से ऊपर तक शेषफल पढ़ने पर प्राप्त होता है: (110101)2.
2 से बार-बार विभाजित करें: नीचे से ऊपर तक शेषफल 110101 दें। जाँच करें: 32 + 16 + 4 + 1 = 53.
2
बाइनरी संख्या (110110)2 को उसके समतुल्य दशमलव मान में बदलें।
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर: 2 की शक्तियों का उपयोग करके दाएं से बाएं तक विस्तार करें:
(110110)2 = (1 * 32) + (1 * 16) + (0 * 8) + (1 * 4) + (1 * 2) + (0 * 1)
= 32 + 16 + 0 + 4 + 2 + 0 = (54)10.
2 की कुल घातें: 32 + 16 + 4 + 2 = 54.
3
बाइनरी जोड़ निष्पादित करें: (11011)2 + (10110)2.
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर: कैरी के साथ दाएं से बाएं कॉलम दर कॉलम जोड़ना:
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10 (0, कैरी 1)
1 + 0 + 1 = 10 (0, कैरी 1)
1 + 1 + 0 = 10 (0, कैरी 1)
1 + 1 + 1 = 11 (1, कैरी 1)
परिणाम: (110001)2 [27 + 22 = 49]।
परिणाम बाइनरी में 110001 है। दशमलव में: 27 + 22 = 49.
4
कंप्यूटर मानव दशमलव संख्या प्रणाली के बजाय बाइनरी संख्या प्रणाली का उपयोग क्यों करते हैं?
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर: • डिजिटल कंप्यूटर अरबों सूक्ष्म इलेक्ट्रॉनिक स्विच (ट्रांजिस्टर) से बनाए जाते हैं।
• एक इलेक्ट्रॉनिक सर्किट विश्वसनीय और स्पष्ट रूप से केवल दो अलग-अलग वोल्टेज स्थितियों का पता लगा सकता है: चालू / उच्च वोल्टेज (1) और बंद / कम वोल्टेज (0)।
• दशमलव अंकों के लिए 10 अलग-अलग वोल्टेज स्तरों को अलग करने के लिए सर्किट डिजाइन करने से अत्यधिक शोर संवेदनशीलता और गणना त्रुटियां होंगी।
ट्रांजिस्टर दो-राज्य इलेक्ट्रॉनिक हैं स्विच (चालू/बंद)। 2 अवस्थाओं में अंतर करना सरल और त्रुटि रहित है।
5
दशमलव संख्या (92)10 को उसके हेक्साडेसिमल समकक्ष में बदलें।
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर: 92 को क्रमिक रूप से 16 से विभाजित करें:
• 92 / 16 = 5, शेष 12 (हेक्साडेसिमल में अक्षर C द्वारा दर्शाया गया)।
• 5 / 16 = 0, शेषफल 5.
नीचे से ऊपर तक शेषफल पढ़ने पर प्राप्त होता है: (5C)16.
जाँचें: (5 * 16) + 12 = 80 + 12 = 92.
92 / 16 = 5 शेषफल 12 (सी) के साथ। परिणाम है (5C)16.
6
हेक्साडेसिमल संख्या (3B)16 को दशमलव में बदलें।
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर: हेक्साडेसिमल में, B = 11.
(3B)16 = (3 * 16) + (11 * 1) = 48 + 11 = (59)10.
(3 * 16) + (11 * 1) = 48 + 11 = 59.
7
बाइनरी घटाव करें: (1101)2 - (1010)2.
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर: बिट दर बिट घटाना:
1 - 0 = 1
0 - 1 = 1 (अगले कॉलम से 1 उधार लेकर)
0 - 0 = 0
1 - 1 = 0
परिणाम: (0011)2 = (11)2 [13 - 10 = 3]।
1101 (13) - 1010 (10) = 0011 (3).
8
हेक्साडेसिमल संख्या प्रणाली में प्रयुक्त अल्फ़ान्यूमेरिक प्रतीक क्या हैं? अक्षर A से F तक क्या दर्शाता है?
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर: • हेक्साडेसिमल संख्या प्रणाली 16 अद्वितीय अल्फ़ान्यूमेरिक प्रतीकों का उपयोग करती है: अंक 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 और छह अक्षर A, B, C, D, E, F.
• संख्यात्मक समकक्ष: A = 10, B = 11, C = 12, डी = 13, ई = 14, एफ = 15.
अंक 0-9 और अक्षर ए से एफ तक का उपयोग करता है जो 10 से 15 तक संख्यात्मक मान दर्शाता है।
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