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Class 7
Mathematics
अध्याय 9: बीजीय व्यंजक (Algebraic Expressions)

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ICSE • कक्षा 7 • Mathematics • अध्याय 9

अनुमानित समय: 45 Mins

प्रगति: अध्ययनरत

बीजीय व्यंजक (Algebraic Expressions)

आईसीएसई कक्षा 7 गणित में, "बीजगणितीय अभिव्यक्तियाँ" प्रतीकों और संचालन के सामान्यीकृत अंकगणित का विश्लेषण करने वाला एक आधिकारिक, बीजगणितीय मास्टर अध्ययन गाइड प्रदान करता है। यह व्यापक अध्याय बुनियादी अवधारणाओं (स्थिरांक, चर/शाब्दिक, बीजगणितीय पद, बीजगणितीय अभिव्यक्ति), पद गणना द्वारा बहुपदों का वर्गीकरण (एकपदी [1 पद], द्विपद [2 पद], त्रिपद [3 पद], बहुपद/बहुपद), गुणनखंड और गुणांक (संख्यात्मक गुणांक बनाम शाब्दिक गुणांक/चर कारक), समान पद बनाम असमान पद (समान पदों का संयोजन), डिग्री की पड़ताल करता है। एक बीजगणितीय अभिव्यक्ति (एकल-चर बहुपद में उच्चतम घातांक; बहु-चर शब्दों में चर के घातांक का योग), बीजगणितीय अभिव्यक्तियों पर संचालन (चिह्न उत्क्रमण के साथ क्षैतिज और स्तंभ / ऊर्ध्वाधर तरीकों का उपयोग करके जोड़ और घटाव; गुणन: घातांक उत्पाद नियम का उपयोग करके एकपदी द्वारा एकपदी, वितरण कानून का उपयोग करके बहुपद द्वारा एकपदी, और द्विपद द्वारा द्विपद), नेस्टेड ग्रुपिंग का उपयोग करके कोष्ठक को हटाना, और 2026-27 सीआईएससीई पाठ्यक्रम के साथ संरेखित संख्यात्मक प्रतिस्थापन द्वारा बीजगणितीय अभिव्यक्तियों का मूल्यांकन करना।

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प्रस्तावना अध्याय अवधारणाएँ सूत्र एवं सर्वसमिकाएँ अध्याय सारांश स्व-मूल्यांकन अभ्यास टेस्ट दें

8वीं सदी के बगदाद खगोलशास्त्री ने असंभव समीकरणों को हल करने के लिए गुप्त संख्याओं को वर्णमाला के अक्षरों से कैसे बदल दिया?

9वीं शताब्दी की शुरुआत में बगदाद के प्रसिद्ध हाउस ऑफ विजडम में, फारसी गणितज्ञ मुहम्मद इब्न मूसा अल-ख्वारिज्मी ने व्यापारी विवादों, विरासत की गणना और ज्योतिषीय ग्रह तालिकाओं को देखा। हजारों वर्षों से, प्राचीन गणितज्ञों ने शब्दाडंबरपूर्ण, जटिल गद्य का उपयोग करके समस्याओं को हल किया था। अल-ख्वारिज्मी को एक क्रांतिकारी सफलता मिली: उन्होंने महसूस किया कि आप एक अमूर्त प्रतीक - एक चर का उपयोग करके किसी भी अज्ञात संख्या का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं! उन्होंने इस विज्ञान को अल-जबर नाम दिया (जिससे हमें बीजगणित शब्द मिलता है), जिसका अर्थ है "टूटे हुए हिस्सों का पुनर्मिलन"! बीजगणित में, अक्षर $x$ केवल एक वर्णमाला अक्षर नहीं है; यह एक गिरगिट है जिसके पास संख्याओं का अनंत ब्रह्मांड है! आप $8x$ प्राप्त करने के लिए $5x$ और $3x$ क्यों जोड़ सकते हैं, लेकिन $5x$ और $3y$ जोड़ने का प्रयास करने पर आप $5x + 3y$ पर अटक जाते हैं? तीन चर ($4x^2 y^3 z$) वाले बहुपद की डिग्री क्या है? वितरणात्मक कानून अभिव्यक्ति का विस्तार कैसे करता है? आइए बीजीय व्यंजकों में महारत हासिल करें।

यह अध्याय क्यों महत्वपूर्ण है

बीजगणित सभी उच्च गणित, भौतिकी समीकरणों, कंप्यूटर प्रोग्रामिंग कार्यों और वित्तीय मॉडलिंग एल्गोरिदम की मूलभूत भाषा है। आईसीएसई स्कूल परीक्षाओं में 100% स्कोर करने और भविष्य में एसटीईएम सफलता के लिए बहुपद शब्दों, गुणांकों, समान-पद संग्रह और बहुपद विस्तार में महारत हासिल करना आवश्यक है।

अध्ययन से पूर्व (आवश्यक ज्ञान)

अध्याय 1 से पूर्णांकों पर संक्रियाएँ (जोड़ने और गुणा करने के नियम पर हस्ताक्षर करें)।
अध्याय 4 से घातांक के नियम ($a^m \times a^n = a^{m+n}$)।
संचालन का क्रम (BODMAS)।

इस अध्याय के लक्ष्य

अचर, चर, पद और बीजगणितीय अभिव्यक्तियों के बीच अंतर करें।
व्यंजकों को एकपद, द्विपद, त्रिपद और बहुपद में वर्गीकृत करें।
संख्यात्मक और शाब्दिक गुणांकों को पहचानें और एक अभिव्यक्ति की डिग्री निर्धारित करें।
समान पदों को असमान पदों से अलग करें और समान पदों को मिलाकर सरल बनाएं।
क्षैतिज और स्तंभ दोनों विधियों का उपयोग करके बहुपदों को जोड़ें और घटाएँ।
एकपदी को एकपदी से, एकपदी को बहुपद से और द्विपद को द्विपद से गुणा करें।
प्रतिस्थापन द्वारा बहु-चर बीजगणितीय अभिव्यक्तियों के संख्यात्मक मान का मूल्यांकन करें।

अध्याय रूपरेखा एवं प्रगति

1 1. बीजगणितीय अभिव्यक्ति की शारीरिक...

2 2. बहुपद और डिग्री का वर्गीकरण

3 3. बहुपदों का जोड़, घटाव और गुणा

4 4. प्रतिस्थापन द्वारा भावों का मूल्...

सम्पूर्ण सैद्धांतिक एवं वैचारिक अध्ययन

1. बीजगणितीय अभिव्यक्ति की शारीरिक रचना: स्थिरांक और गुणांक

2. बहुपद और डिग्री का वर्गीकरण

3. बहुपदों का जोड़, घटाव और गुणा

4. प्रतिस्थापन द्वारा भावों का मूल्यांकन

महत्वपूर्ण सूत्र, सर्वसमिकाएँ एवं प्रमेय

बहु-परिवर्तनीय पद की डिग्री

$$\deg(c \cdot x^p y^q z^r) = p + q + r$$

पद में सभी परिवर्तनशील कारकों के घातांकों का योग।

द्विपद गुणन वितरणात्मक विस्तार

(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

पहला, बाहरी, भीतरी, अंतिम (एफओआईएल) विस्तार।

बीजगणितीय शरीर रचना, बहुपद डिग्री और गुणन ग्रिड

²y • -7: Numerical Coefficient • x²y: Literal Factor (Variable) • Like Terms: Same variables & powers (e.g., 3x²y and -5x²y ⇒ Can Add!) • Unlike Terms: Cannot combine! (e.g., 3x²y and 3xy² ⇒ Unaltered) POLYNOMIAL DEGREE • Classification by Terms: Monomial (1) • Binomial (2) • Trinomial (3) • Degree (Highest Power): Single Variable: 5x⁴ - 3x + 2 ⇒ Degree = 4 Multi-Variable: 4x²y³ + 8xy Term 1 sum = 2 + 3 = 5 ⇒ Degree = 5 • Constant non-zero term has degree 0 OPERATIONS & EVALUATION • Subtraction Rule: REVERSE ALL SIGNS of lower expression! • Distributive Multiplication: a(b + c) = ab + ac (a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd • Evaluation by Substitution: Replace letters with given numbers Use brackets around negatives: (-2)²=4 • Follow BODMAS hierarchy strictly ONLY LIKE TERMS CAN BE ADDED OR SUBTRACTED • EXPONENTS ADD IN MULTIPLICATION (x^m × xⁿ = x^m+n)

अध्याय का सार संक्षेप एवं 10 मुख्य निष्कर्ष

मुख्य बिंदु 1

जोड़, घटाव, गुणा और भाग का उपयोग करके स्थिरांक और चर को मिलाकर एक बीजगणितीय अभिव्यक्ति बनाई जाती है।

मुख्य बिंदु 2

एक शब्द कारकों का एक उत्पाद है; $-7xy$ में, $-7$ संख्यात्मक गुणांक है और $xy$ शाब्दिक गुणांक है।

मुख्य बिंदु 3

समान पदों में समान घातांक वाले समान चर गुणनखंड होते हैं; केवल समान पद ही जोड़े या घटाए जा सकते हैं।

मुख्य बिंदु 4

बहुपदों को पद गणना के आधार पर वर्गीकृत किया जाता है: एकपद (1), द्विपद (2), त्रिपद (3)।

मुख्य बिंदु 5

एकल-चर बहुपद की घात चर की उच्चतम घात होती है।

मुख्य बिंदु 6

एक बहु-चर पद की डिग्री उस पद के सभी चरों की शक्तियों का योग है।

मुख्य बिंदु 7

बहुपदों को घटाते समय, घटाए जाने वाले व्यंजक में प्रत्येक पद के चिह्न को उलट दें।

मुख्य बिंदु 8

एकपदी को गुणा करते समय, संख्यात्मक गुणांक को गुणा करें और मिलान करने वाले चर की शक्तियां जोड़ें।

मुख्य बिंदु 9

बहुपदों का गुणन वितरण नियम पर निर्भर करता है: $a(b + c) = ab + ac$।

मुख्य बिंदु 10

किसी अभिव्यक्ति का मूल्यांकन करने के लिए, सुरक्षात्मक कोष्ठकों के अंदर संख्यात्मक मान रखें और BODMAS का पालन करें।

स्व-मूल्यांकन अभ्यास (Check Your Understanding)

मूल वैचारिक स्पष्टता की जांच के लिए नैदानिक प्रश्न। पहले स्वयं हल करें, फिर उत्तर देखें।

बीजीय व्यंजक जोड़ें: $3x^2 - 4xy + 5y^2$, $2y^2 - x^2 + 6xy$, और $5xy - 2y^2 - 2x^2$.

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: चरण 1: समान पदों को एक साथ समूहित करें:
• $x^2$ पद: $3x^2 - x^2 - 2x^2 = (3 - 1 - 2)x^2 = 0x^2 = 0$.
• $xy$ पद: $-4xy + 6xy + 5xy = (-4 + 6 + 5)xy = 7xy$.
• $y^2$ पद: $5y^2 + 2y^2 - 2y^2 = (5 + 2 - 2)y^2 = 5y^2$.
चरण 2: गैर-शून्य पदों को संयोजित करें:
$$\text{Sum} = \mathbf{7xy + 5y^2}$$।
$x^2$, $xy$, और $y^2$ शब्दों को अलग-अलग समूहित करें। ध्यान दें कि $x^2$ शर्तें 0 पर रद्द हो जाती हैं।

$(5x^3 - 2x^2 - 8x + 7)$ में से $(2x^3 - 4x^2 + 3x - 5)$ घटाएं.

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: चरण 1: घटाव सेट करें और घटाए जाने वाले व्यंजक के सभी चिह्नों को उलट दें:
$$(5x^3 - 2x^2 - 8x + 7) - (2x^3 - 4x^2 + 3x - 5)$$
$$= 5x^3 - 2x^2 - 8x + 7 - 2x^3 + 4x^2 - 3x + 5$$
चरण 2: समान पद एकत्रित करें:
• $x^3$: $5x^3 - 2x^3 = 3x^3$
• $x^2$: $-2x^2 + 4x^2 = +2x^2$
• $x$: $-8x - 3x = -11x$
• स्थिरांक: $7 + 5 = +12$
परिणाम: $\mathbf{3x^3 + 2x^2 - 11x + 12}$.
प्रत्येक चिह्न को $(2x^3 - 4x^2 + 3x - 5)$ से $(-2x^3 + 4x^2 - 3x + 5)$ तक पलटना याद रखें, फिर संयोजित करें।

द्विपदों को गुणा करें: $(3x - 5y)(2x + 7y)$.

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: वितरण विस्तार लागू करें $(a + b)(c + d) = a(c + d) + b(c + d)$:
$$(3x - 5y)(2x + 7y) = 3x(2x + 7y) - 5y(2x + 7y)$$
$$= (3x \times 2x) + (3x \times 7y) - (5y \times 2x) - (5y \times 7y)$$
$$= 6x^2 + 21xy - 10xy - 35y^2$$
मध्यम समान पदों को संयोजित करें ($+21xy - 10xy = +11xy$):
$$= \mathbf{6x^2 + 11xy - 35y^2}$$।
पहले द्विपद के प्रत्येक पद को दूसरे द्विपद के प्रत्येक पद से गुणा करें: $6x^2 + 21xy - 10xy - 35y^2$।

बहुपद की डिग्री ज्ञात करें: $5x^3 y^2 - 8x^4 y^3 z + 2x^2 y^5 - 11$।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर:

उस पद के सभी चरों की घातों का योग करके प्रत्येक व्यक्तिगत पद की डिग्री ज्ञात करें:
• पद 1 ($5x^3 y^2$): $3 + 2 = 5$
• पद 2 ($-8x^4 y^3 z^1$): $4 + 3 + 1 = 8$
• पद 3 ($2x^2 y^5$): $2 + 5 = 7$
• पद 4 ($-11$): $0$ (स्थिर) पद)
बहुपद की घात उच्चतम पद घात है, जो $8$ है।

प्रत्येक पद के लिए चर घातांक का योग: $3+2=5$, $4+3+1=8$, $2+5=7$। उच्चतम 8 है.

यदि $a = 2$, $b = -3$, और $c = 1$, तो इसके संख्यात्मक मान का मूल्यांकन करें: $3a^2 b - 2ab^2 + 4abc - c^3$।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: कोष्ठक के अंदर $a = 2$, $b = -3$, और $c = 1$ रखें:
$$3(2)^2(-3) - 2(2)(-3)^2 + 4(2)(-3)(1) - (1)^3$$
चरण 1: शक्तियों की गणना करें:
$(2)^2 = 4, \quad (-3)^2 = 9, \quad (1)^3 = 1$
चरण 2: गणना करें गुणन:
$$3(4)(-3) = 3 \times (-12) = -36$$
$$-2(2)(9) = -4 \times 9 = -36$$
$$4(2)(-3)(1) = 8 \times (-3) = -24$$
$$-(1)^3 = -1$$
चरण 3: सभी पदों को संयोजित करें:
$$-36 - 36 - 24 - 1 = -(36 + 36 + 24 + 1) = \mathbf{-97}$$।
वर्ग $a$ ($4$) और $b$ ($9$) पहले. नकारात्मक संकेत देखें: $-36 - 36 - 24 - 1 = -97$.

कोष्ठक हटाकर अभिव्यक्ति को सरल बनाएं: $4a - [2b - \{3a - (2b - 3a)\}]$।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: चरण 1: गोल कोष्ठक हटाएं $(2b - 3a)$:
$$-\{3a - 2b + 3a\} = -\{6a - 2b\}$$
चरण 2: घुंघराले ब्रेसिज़ हटाएं:
$$[2b - 6a + 2b] = [4b - 6a]$$
चरण 3: वर्गाकार कोष्ठक हटाएं और ऋणात्मक चिह्न वितरित करें:
$$4a - (4b - 6a) = 4a - 4b + 6a$$
चरण 4: समान पदों को संयोजित करें:
$$(4a + 6a) - 4b = \mathbf{10a - 4b}$$।
गोल कोष्ठकों को हल करें: $3a - 2b + 3a = 6a - 2b$. फिर घुंघराले ब्रेसिज़ और अंत में वर्गाकार ब्रैकेट को हल करें।

$4a^2 - 7ab - 4b^2 + 1$ प्राप्त करने के लिए $3a^2 - 6ab - 3b^2 - 1$ में से क्या घटाया जाना चाहिए?

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: माना आवश्यक अभिव्यक्ति घटाई जानी है $E$.
$$(3a^2 - 6ab - 3b^2 - 1) - E = (4a^2 - 7ab - 4b^2 + 1)$$
$$E = (3a^2 - 6ab - 3b^2 - 1) - (4a^2 - 7ab - 4b^2 + 1)$$
दूसरे अभिव्यक्ति के संकेत बदलें और समान पदों को संयोजित करें:
$$E = 3a^2 - 6ab - 3b^2 - 1 - 4a^2 + 7ab + 4b^2 - 1$$
• $a^2$: $3a^2 - 4a^2 = -a^2$
• $ab$: $-6ab + 7ab = +ab$
• $b^2$: $-3b^2 + 4b^2 = +b^2$
• स्थिरांक: $-1 - 1 = -2$
परिणाम: $\mathbf{-a^2 + ab + b^2 - 2}$.
प्रारंभिक अभिव्यक्ति से लक्ष्य घटाएँ: $(3a^2 - 6ab - 3b^2 - 1) - (4a^2 - 7ab - 4b^2 + 1)$।

$3x^2 + \frac{5}{x} - 7$ एक बहुपद क्यों नहीं है?

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर:

• बहुपद की परिभाषा: बहुपद एक बीजगणितीय अभिव्यक्ति है जिसमें सभी चर पदों के घातांक गैर-नकारात्मक पूर्णांक (यानी, पूर्ण संख्या $\{0, 1, 2, 3, \dots\}$) होने चाहिए।
• अभिव्यक्ति $3x^2 + \frac{5}{x} - 7$ में, मध्य पद $\frac{5}{x}$ को घातांकीय रूप में $5x^{-1}$.
• के रूप में लिखा जा सकता है। चूँकि घातांक $-1$ (एक ऋणात्मक पूर्णांक) है, यह गैर-ऋणात्मक पूर्णांक स्थिति का उल्लंघन करता है। इसलिए, यह एक बीजगणितीय अभिव्यक्ति है, लेकिन बहुपद नहीं।

शब्द $5/x = 5x^{-1}$ में एक नकारात्मक घातांक ($-1$) शामिल है; बहुपद केवल गैर-ऋणात्मक पूर्णांक घातों की अनुमति देते हैं।

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एडवांस्ड टेस्ट

15 MCQs • HOTS और ट्रैप्स