सर्वांगसमता (Congruence)

दोनों त्रिभुजों की तीन भुजाओं की तुलना करें:
• $AB = PQ = 5\text{ cm}$
• $BC = QR = 6\text{ cm}$
• $AC = PR = 7\text{ cm}$
चूंकि तीनों संगत भुजाएँ समान हैं, त्रिभुज SSS (साइड-साइड-साइड) मानदंड के अनुसार सर्वांगसम हैं।
• सर्वांगसमता कथन:

$$\mathbf{\triangle ABC \cong \triangle PQR}$$

।

दिए गए भागों की जांच करें:
• पक्ष $DE = QR = 6\text{ cm}$
• पक्ष $DF = PR = 8\text{ cm}$
• कोण $\angle D$ पक्षों $DE$ और $DF$ (शामिल कोण) के बीच बनता है।
• कोण $\angle R$ पक्षों $QR$ और $PR$ (द) के बीच बनता है शामिल कोण).
• यह देखते हुए कि $\angle D = \angle R = 50^\circ$.
चूंकि एक त्रिभुज की दो भुजाएं और सम्मिलित कोण दूसरे के संगत भागों के बराबर हैं, त्रिकोण एसएएस (साइड-एंगल-साइड) मानदंड के अनुरूप हैं।
• शीर्ष पत्राचार: $D \leftrightarrow R$, $E \leftrightarrow Q$, $F \leftrightarrow P$.
• सर्वांगसमता कथन: $\mathbf{\triangle DEF \cong \triangle RQP}$.

• सर्वांगसमता की परिभाषा: समान आकार और समान आकार दोनों की आवश्यकता है।
• एएए प्रतिउदाहरण: दो समबाहु त्रिभुजों पर विचार करें:
1। $\triangle_1$ भुजा की लंबाई $2\text{ cm}$ के साथ: इसके कोण $60^\circ, 60^\circ, 60^\circ$.
2 हैं। $\triangle_2$ भुजा की लंबाई $8\text{ cm}$ के साथ: इसके कोण भी $60^\circ, 60^\circ, 60^\circ$ हैं।
सभी तीन संगत कोण समान हैं, लेकिन $\triangle_2$ $\triangle_1$ से चार गुना बड़ा है! यदि उन्हें एक-दूसरे के ऊपर रखा जाए, तो वे मेल नहीं खाएंगे।
• निष्कर्ष: एएए केवल यह गारंटी देता है कि आकृतियों का आकार (समानता) समान है, लेकिन हमें उनके आकार के बारे में कुछ नहीं बताता है। इसलिए, एएए सर्वांगसमता सिद्ध नहीं कर सकता।

• (ए) $\triangle AOC \cong \triangle BOD$ का प्रमाण:
$\triangle AOC$ और $\triangle BOD$:
1 में। $AO = BO$ (यह देखते हुए कि $AB$ को $O$ पर विभाजित किया गया है)।
2। $\angle AOC = \angle BOD$ (ऊर्ध्वाधर विपरीत कोण बराबर होते हैं).
3. $CO = DO$ (यह देखते हुए कि $CD$ को $O$ पर विभाजित किया गया है)।
इसलिए, एसएएस सर्वांगसमता मानदंड द्वारा:

$$\mathbf{\triangle AOC \cong \triangle BOD}$$

• (बी) $AC \parallel BD$ का प्रमाण:
चूंकि $\triangle AOC \cong \triangle BOD$, सीपीसीटीसी द्वारा (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग):

$$\angle CAO = \angle DBO$$

ध्यान दें कि $\angle CAO$ और $\angle DBO$ तिर्यक रेखा $AB$ द्वारा काटे गए रेखा खंड $AC$ और $BD$ के संबंध में वैकल्पिक आंतरिक कोण की एक जोड़ी बनाते हैं।
चूंकि वैकल्पिक आंतरिक कोण बराबर होते हैं, रेखाएं समान होती हैं समानांतर होना चाहिए: $\mathbf{AC \parallel BD}$. (साबित!)

समकोण त्रिभुजों $\triangle ABC$ और $\triangle PQR$:
1 की जाँच करें। $\angle B = \angle Q = 90^\circ$ (समकोण मिलान).
2. कर्ण $AC = \text{Hypotenuse } PR = 13\text{ cm}$ (कर्ण मिलान).
3. पैर $AB = \text{Leg } QR = 5\text{ cm}$ (एक पैर मेल खाता है)।
इसलिए, आरएचएस (समकोण-कर्ण-पक्ष) सर्वांगसमता मानदंड:

$$\mathbf{\triangle ABC \cong \triangle PQR}$$

.
सीपीसीटीसी द्वारा, शेष भुजाएं और कोण ($BC = PQ = 12\text{ cm}$) बराबर हैं।

$\triangle ABD$ और $\triangle ACD$ में:
1. $\angle BAD = \angle CAD$ (चूँकि $AD$ $\angle A$ को समद्विभाजित करता है).
2. साइड $AD = AD$ (कॉमन साइड).
3. $\angle ADB = \angle ADC = 90^\circ$ ($AD \perp BC$ से).
इसलिए, ASA (कोण-पक्ष-कोण) सर्वांगसमता मानदंड द्वारा:

$$\triangle ABD \cong \triangle ACD$$

CPCTC द्वारा:

$$AB = AC$$

चूंकि $\triangle ABC$ की दो भुजाएँ बराबर हैं ($AB = AC$), $\triangle ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है। (साबित!)

• संक्षिप्त नाम: Corresponding Parts of Congreent Triangles are Congreent.
• व्यावहारिक महत्व: यह यूक्लिडियन ज्यामितीय प्रमाणों का प्राथमिक इंजन है।
• किन्हीं दो त्रिभुजों में, छह जोड़े भाग (3 भुजाएँ और 3 कोण) होते हैं। एक बार जब हम न्यूनतम 3-भाग मानदंड (जैसे एसएसएस या एसएएस) का उपयोग करके सर्वांगसमता स्थापित कर लेते हैं, तो हमें शेष तीन भागों को मापने की आवश्यकता नहीं होती है: सीपीसीटीसी पूर्ण गणितीय निश्चितता के साथ गारंटी देता है कि शेष सभी संगत पक्ष और कोण समान हैं।

• एसएसए एक मान्य सर्वांगसमता मानदंड नहीं है (यह एक अस्पष्ट मामला है)।
• यदि दो भुजाएं और एक गैर-शामिल कोण दिया गया है, तो समान भुजाओं की लंबाई और गैर-शामिल कोण के साथ दो पूरी तरह से अलग त्रिकोण (एक तीव्र और एक अधिक) का निर्माण करना अक्सर संभव होता है।
• केवल जब गैर-शामिल कोण एक $90^\circ$ हो समकोण (आरएचएस मानदंड) क्या एसएसए विशिष्ट रूप से मान्य हो जाता है।