रचनाएँ (Constructions)

ए. एक रेखा खंड का लंब समद्विभाजक $AB$:

1. 1§ पर कंपास सुई के साथ, कंपास को सख्ती से $AB$ के आधे से अधिक ($r > \frac{1}{2}AB$) त्रिज्या तक खोलें। दो चाप बनाएं, एक ऊपर और एक नीचे $AB$.
2. समान त्रिज्या के साथ, सुई को $B$ पर रखें और दो चाप बनाएं जो पिछले चाप को बिंदु $P$ और $Q$ पर काटते हुए हों।
3. जुड़ें $PQ$. रेखा $PQ$ $AB$ को $90^\circ$ के मध्यबिंदु $M$ पर समद्विभाजित करती है। $PQ$ पर प्रत्येक बिंदु $A$ और $B$ ($PA = PB$) से समान दूरी पर है।

बी. $\angle AOB$ का कोण समद्विभाजक:

1. शीर्ष $O$ को केंद्र मानकर, किसी भी सुविधाजनक त्रिज्या का एक चाप बनाएं जो किरण $OA$ को $P$ पर और किरण $OB$ को $Q$ पर प्रतिच्छेद करता है।
2. $P$ को केंद्र मानकर और त्रिज्या $> \frac{1}{2}PQ$ लेकर, कोण के अंदर एक चाप बनाएं। $Q$ को केंद्र मानकर और समान त्रिज्या लेकर, $R$.
पर प्रतिच्छेद करते हुए एक और चाप बनाएं
3. जुड़ें किरण $OR$. किरण $OR$ $\angle AOB$ को दो बराबर भागों ($\angle AOR = \angle BOR$) में विभाजित करती है।

ए. $60^\circ$ और $120^\circ$:

1. एक किरण बनाएं $OA$. $O$ को केंद्र मानकर, एक बड़ा अर्धवृत्त चाप बनाएं जो $OA$ को $P$ पर काटता है।
2. समान त्रिज्या के साथ (कम्पास की चौड़ाई न बदलें!), सुई को $P$ पर रखें और अर्धवृत्त को $Q$ पर काटते हुए एक चाप बनाएं। कोण $\angle AOQ = \mathbf{60^\circ}$ (समबाहु त्रिभुज सिद्धांत!).
3. 9§ पर सुई और समान त्रिज्या के साथ, $R$ पर दूसरा चाप कटिंग बनाएं। कोण $\angle AOR = \mathbf{120^\circ}$.

बी. $90^\circ$ और $45^\circ$:

• $90^\circ$: $Q$ ($60^\circ$) और $R$ ($120^\circ$) के बीच $60^\circ$ अंतर को समद्विभाजित करें: $60^\circ + \frac{1}{2}(60^\circ) = 60^\circ + 30^\circ = \mathbf{90^\circ}$.
• $45^\circ$: $90^\circ$ कोण को समद्विभाजित करें: $\frac{90^\circ}{2} = \mathbf{45^\circ}$.
• $30^\circ$: $60^\circ$ कोण को समद्विभाजित करें: $\frac{60^\circ}{2} = \mathbf{30^\circ}$.
• $75^\circ$: $60^\circ$ और $90^\circ$ के बीच के कोण को समद्विभाजित करें: $60^\circ + \frac{30^\circ}{2} = \mathbf{75^\circ}$.

किसी बाहरी बिंदु $P$ से गुजरने वाली दी गई रेखा $l$ के समानांतर एक रेखा का निर्माण करना, $l$ पर नहीं:

1. लाइन $l$ पर कोई भी बिंदु $Q$ लें। $P$ और $Q$.
को जोड़ें
2. $Q$ को केंद्र और किसी त्रिज्या के साथ, एक चाप बनाएं जो रेखा $l$ को $C$ पर और रेखा $QP$ को $D$ पर काटती है।
3. $P$ को केंद्र मानकर और बिल्कुल समान त्रिज्या के साथ, अनुप्रस्थ $QP$ के विपरीत दिशा में एक चाप बनाएं, $QP$ को $E$ पर काटते हुए।
4. कॉर्ड की दूरी $CD$ से मेल खाने के लिए कम्पास की चौड़ाई समायोजित करें। $E$ को केंद्र मानकर, एक चाप बनाएं जो $P$ से खींचे गए चाप को बिंदु $F$ पर काटता है।
5. बिंदुओं $P$ और $F$ से होकर गुजरने वाली एक सीधी रेखा खींचिए। चूँकि वैकल्पिक आंतरिक कोण बराबर ($\angle PQ C = \angle QPF$) हैं, रेखा $PF$ रेखा $l$ ($m \parallel l$) के बिल्कुल समानांतर है।

1. 1. एसएसएस (तीन पक्ष दिए गए: $a, b, c$):

   आधार बनाएं $BC = a$. $B$ को केंद्र और त्रिज्या $c$ लेकर एक चाप बनाएं। $C$ को केंद्र और $b$ त्रिज्या लेकर एक चाप बनाएं जो $A$ पर प्रतिच्छेद करता है। $AB$ और $AC$ को जोड़ें. (शर्त: $a+b > c$).

2. 2. एसएएस (दो भुजाएं और शामिल कोण दिया गया: $b, c, \angle A$):

   खंड ड्रा करें $AB = c$. शीर्ष $A$ पर, परकार का उपयोग करके दिए गए कोण $\angle BAX = \theta$ का निर्माण करें। किरण $AX$ से, खंड $AC = b$ काट दें। $BC$.

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3. 3. एएसए (दो कोण और शामिल पक्ष दिया गया: $\angle B, \angle C, a$):

   आधार बनाएं $BC = a$. शीर्ष $B$ पर, किरण बनाने वाला कोण $\angle B$ बनाएं। शीर्ष $C$ पर, किरण बनाने वाला कोण $\angle C$ बनाएं। दो किरणों का प्रतिच्छेदन शीर्ष $A$.

   को परिभाषित करता है
4. 4. आरएचएस (समकोण त्रिभुज: कर्ण $h$, पैर $b$):

   आधार बनाएं $BC = b$. शीर्ष $B$ पर, एक $90^\circ$ लंबवत किरण $BX$ का निर्माण करें। $C$ को केंद्र मानकर और त्रिज्या कर्ण $h$ के बराबर लेकर, $A$ पर एक चाप काटने वाली किरण $BX$ खींचिए। $AC$.

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