Home
School Syllabus
CISCE (ICSE & ISC)
Class 7
Mathematics
अध्याय 18: आँकड़ों का प्रबंधन (Data Handling)

माध्यम चुनें / Select Medium:

ICSE • कक्षा 7 • Mathematics • अध्याय 18

अनुमानित समय: 45 Mins

प्रगति: अध्ययनरत

आँकड़ों का प्रबंधन (Data Handling)

आईसीएसई कक्षा 7 गणित में, "डेटा हैंडलिंग" संग्रह, संगठन, केंद्रीय प्रवृत्तियों और असतत डेटा के ग्राफिकल प्रतिनिधित्व का विश्लेषण करने वाला एक आधिकारिक सांख्यिकीय मास्टर अध्ययन गाइड प्रदान करता है। यह व्यापक अध्याय डेटा संगठन (कच्चा डेटा, सारणीबद्ध डेटा, आवृत्ति, मिलान अंक तालिका, असतत आवृत्ति वितरण), केंद्रीय प्रवृत्ति के माप (1. अंकगणितीय माध्य: अवर्गीकृत डेटा के लिए $\bar{x} = \frac{\sum x}{N}$ और आवृत्ति वितरण के लिए $\bar{x} = \frac{\sum fx}{\sum f}$, 2. माध्यिका: एक क्रमबद्ध सरणी का सबसे मध्य अवलोकन; विषम $n \to (\frac{n+1}{2})\text{th}$ पद; सम $n \to \text{mean of } (\frac{n}{2})\text{th}$ और $(\frac{n}{2}+1)\text{th}$ पद, 3. मोड: द) की पड़ताल करता है। अधिकतम आवृत्ति के साथ अवलोकन; यूनिमॉडल बनाम बिमोडल वितरण), फैलाव का माप: रेंज (अधिकतम और न्यूनतम अवलोकनों के बीच अंतर: $\text{Range} = X_{\max} - X_{\min}$), ग्राफिकल प्रतिनिधित्व: बार ग्राफ़ और डबल बार ग्राफ़ (एक समान पैमाने का चयन करना, समान रिक्ति के साथ समान चौड़ाई वाली बार खींचना, तुलनात्मक डबल बार ग्राफ़ की व्याख्या करना), और संभाव्यता अवधारणाएं (प्रयोग, परिणाम, समान रूप से संभावित घटनाएं, संभावना $P(E) = \frac{\text{Favourable Outcomes}}{\text{Total Outcomes}}$) के साथ संरेखित 2026-27 सीआईएससीई पाठ्यक्रम।

अध्याय CBT ऑनलाइन टेस्ट दें सभी अध्याय देखें

प्रस्तावना अध्याय अवधारणाएँ सूत्र एवं सर्वसमिकाएँ अध्याय सारांश स्व-मूल्यांकन अभ्यास टेस्ट दें

1854 में एक घातक हैजा महामारी को रोकने के लिए लंदन के एक चिकित्सक ने सड़क मानचित्र पर मौतों के एक सरल टैली चार्ट का उपयोग कैसे किया?

1854 की चिलचिलाती गर्मी में, लंदन के भीड़-भाड़ वाले सोहो इलाके में हैजा का भयावह प्रकोप फैल गया, जिससे कुछ ही दिनों में सैकड़ों निवासियों की मौत हो गई। डॉक्टरों ने दावा किया कि हैजा "मियास्मा" से फैला था - सड़ते सीवेज से उठने वाली जहरीली खराब हवा। लेकिन डॉ. नामक एक अकेला, संशयवादी चिकित्सक। जॉन स्नो को अन्यथा संदेह हुआ। उसने पड़ोस का एक नक्शा लिया और डेटा रिकॉर्ड करना शुरू किया: उसने हैजा से होने वाली हर मौत को सीधे सड़क ग्रिड पर एक काली पट्टी से चिह्नित किया! जब डॉ. स्नो ने परिणामी आवृत्ति वितरण की जांच की, तो एक अचूक सांख्यिकीय पैटर्न सामने आया: लगभग हर मौत ब्रॉड स्ट्रीट पर एक ही सार्वजनिक जल पंप के आसपास कसकर जमा हो गई थी! डॉ. स्नो पंप के पास गए, उसके पीतल के हैंडल को हटा दिया, और महामारी अपने रास्ते पर रुक गई! यह आधुनिक डेटा एनालिटिक्स का जन्म था! श्रमिकों के एक कमरे में एक अरबपति द्वारा माध्य (औसत) को आसानी से विकृत क्यों किया जाता है? मध्य धन का अधिक भरोसेमंद माप क्यों है? डबल बार ग्राफ़ बहु-वर्षीय रुझानों की तुलना कैसे करते हैं? आइए डेटा प्रबंधन में महारत हासिल करें।

यह अध्याय क्यों महत्वपूर्ण है

डेटा हैंडलिंग डेटा साइंस, आर्टिफिशियल इंटेलिजेंस एल्गोरिदम, क्लिनिकल मेडिसिन, स्पोर्ट्स एनालिटिक्स (बल्लेबाजी औसत, स्ट्राइक रेट) और आर्थिक जनगणना योजना की नींव है। आईसीएसई परीक्षाओं और सूचना-संचालित दुनिया में नेविगेट करने के लिए फ़्रीक्वेंसी टेबल, माध्य, माध्य, मोड और बार ग्राफ़ में महारत हासिल करना एक आवश्यक कौशल है।

अध्ययन से पूर्व (आवश्यक ज्ञान)

बुनियादी अंकगणित: जोड़, गुणा और भाग।
भिन्नों और दशमलवों को परिवर्तित करना।
ग्रिड पेपर पर ग्राफ प्लॉटिंग।

इस अध्याय के लक्ष्य

मिलान चिह्नों का उपयोग करके कच्चे संख्यात्मक डेटा को संरचित आवृत्ति वितरण तालिकाओं में व्यवस्थित करें।
किसी दिए गए डेटासेट की रेंज ($X_{\max} - X_{\min}$) की गणना करें।
अवर्गीकृत और समूहीकृत आवृत्ति वितरण के लिए अंकगणितीय माध्य की गणना करें।
डेटा को व्यवस्थित करने के बाद विषम और सम दोनों संख्याओं के लिए माध्यिका ज्ञात करें।
आवृत्ति वितरण से डेटासेट के मोड की पहचान करें।
उचित स्केलिंग के साथ सिंगल और डबल बार ग्राफ़ का निर्माण और व्याख्या करें।
बुनियादी अनुभवजन्य संभावनाओं की गणना करें: $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)}$।

अध्याय रूपरेखा एवं प्रगति

1 1. डेटा संगठन और रेंज

2 2. केंद्रीय प्रवृत्ति के माप: माध्य...

3 3. ग्राफ़िकल प्रतिनिधित्व: बार ग्रा...

4 4. प्राथमिक संभाव्यता

सम्पूर्ण सैद्धांतिक एवं वैचारिक अध्ययन

1. डेटा संगठन और रेंज

2. केंद्रीय प्रवृत्ति के माप: माध्य, माध्यिका और मोड

3. ग्राफ़िकल प्रतिनिधित्व: बार ग्राफ़ और डबल बार ग्राफ़

4. प्राथमिक संभाव्यता

महत्वपूर्ण सूत्र, सर्वसमिकाएँ एवं प्रमेय

अंकगणित माध्य निरूपण

$$\bar{x} = \frac{\sum x_i}{N} \quad \text{or} \quad \bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$$

केंद्रीय स्थान का प्राथमिक माप.

सम प्रेक्षणों के लिए माध्यिका निरूपण

$$M = \frac{1}{2} \left[ X_{n/2} + X_{(n/2)+1} \right]$$

दो केंद्रीय पदों का औसत.

केंद्रीय प्रवृत्तियाँ एवं तुलनात्मक दोहरा बार ग्राफ़

अध्याय का सार संक्षेप एवं 10 मुख्य निष्कर्ष

मुख्य बिंदु 1

कच्चा डेटा असंगठित डेटा है; एक सारणी आरोही या अवरोही क्रम में क्रमबद्ध डेटा है।

मुख्य बिंदु 2

रेंज अधिकतम और न्यूनतम अवलोकनों के बीच का अंतर है: $X_{\max} - X_{\min}$।

मुख्य बिंदु 3

अंकगणितीय माध्य कुल गणना से विभाजित अवलोकनों का योग है: $\bar{x} = \frac{\sum x}{N}$।

मुख्य बिंदु 4

माध्यिका ज्ञात करने के लिए, डेटा को हमेशा पहले आरोही संख्यात्मक क्रम में व्यवस्थित करें!

मुख्य बिंदु 5

यदि $n$ विषम है, तो माध्यिका $(\frac{n+1}{2})$वाँ पद है; यदि $n$ सम है, तो माध्यिका $(\frac{n}{2})$वें और $(\frac{n}{2}+1)$वें पदों का औसत है।

मुख्य बिंदु 6

मोड उच्चतम आवृत्ति के साथ होने वाला अवलोकन है।

मुख्य बिंदु 7

बार ग्राफ़ में समान रिक्त स्थान के साथ समान चौड़ाई वाले बार होते हैं; ऊँचाई आवृत्ति के समानुपाती होती है।

मुख्य बिंदु 8

डबल बार ग्राफ़ दो संबंधित डेटासेट की एक साथ तत्काल दृश्य तुलना की अनुमति देते हैं।

मुख्य बिंदु 9

संभाव्यता किसी घटना के घटित होने की संभावना को मापती है: $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)}$।

मुख्य बिंदु 10

एक निश्चित घटना की प्रायिकता 1 है; एक असंभव घटना की प्रायिकता 0 है.

स्व-मूल्यांकन अभ्यास (Check Your Understanding)

मूल वैचारिक स्पष्टता की जांच के लिए नैदानिक प्रश्न। पहले स्वयं हल करें, फिर उत्तर देखें।

गणित की परीक्षा में 50 में से 10 छात्रों द्वारा प्राप्त अंक हैं: $34, 45, 28, 45, 39, 45, 23, 17, 48, 36$। खोजें: (ए) रेंज, (बी) माध्य, (सी) माध्यिका, (डी) मोड।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर:

चरण 1: डेटा को आरोही संख्यात्मक क्रम में व्यवस्थित करें:

$$17, 23, 28, 34, 36, 39, 45, 45, 45, 48$$

• (ए) रेंज: अधिकतम मूल्य $-$ न्यूनतम मूल्य $= 48 - 17 = \mathbf{31}$.
• (बी) माध्य ($\bar{x}$): सभी अवलोकनों का योग विभाजित 10:

$$\text{Sum} = 17 + 23 + 28 + 34 + 36 + 39 + 45 + 45 + 45 + 48 = 360$$

$$\bar{x} = \frac{360}{10} = \mathbf{36}$$

.
• (सी) माध्यिका: यहां $n = 10$ (सम)। दो मध्य अवलोकन $5^{\text{th}}$ ($36$) और $6^{\text{th}}$ ($39$) पद हैं:

$$\text{Median} = \frac{36 + 39}{2} = \frac{75}{2} = \mathbf{37.5}$$

.
• (डी) मोड: चिह्न $45$ सबसे अधिक बार (3 बार):

$$\text{Mode} = \mathbf{45}$$

होता है।

डेटा को पहले क्रमबद्ध करें: रेंज $= 48 - 17 = 31$; मतलब $= 360/10 = 36$; माध्यिका $= (36+39)/2 = 37.5$; मोड $= 45$.

पाँच संख्याओं का माध्य $27$ है। यदि एक संख्या हटा दी जाए, तो उनका माध्य $25$ हो जाता है। बहिष्कृत संख्या ज्ञात कीजिए।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: चरण 1: मूल पाँच संख्याओं के कुल योग की गणना करें:
$$\text{Total Sum} = \text{Mean} \times N = 27 \times 5 = 135$$
चरण 2: जब एक संख्या हटा दी जाती है, $N = 4$ और नया माध्य $= 25$:
$$\text{New Sum of 4 numbers} = 25 \times 4 = 100$$
चरण 3: निकाली गई संख्या ज्ञात करें:
$$\text{Excluded Number} = 135 - 100 = \mathbf{35}$$।
मूल योग $= 27 \times 5 = 135$. नया योग $= 25 \times 4 = 100$. अपवर्जित संख्या $135 - 100 = 35$ है.

निम्नलिखित असतत आवृत्ति वितरण का माध्य ज्ञात कीजिए:
चर ($x$): $10, 15, 20, 25, 30$
आवृत्ति ($f$): $4, 6, 8, 7, 5$।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: $\sum f$ और $\sum (f \cdot x)$ की गणना करें:
• $10 \times 4 = 40$
• $15 \times 6 = 90$
• $20 \times 8 = 160$
• $25 \times 7 = 175$
• $30 \times 5 = 150$
$$\sum f = 4 + 6 + 8 + 7 + 5 = 30$$
$$\sum (f \cdot x) = 40 + 90 + 160 + 175 + 150 = 615$$
$$\text{Mean } \bar{x} = \frac{\sum fx}{\sum f} = \frac{615}{30} = \mathbf{20.5}$$।
प्रत्येक पंक्ति के लिए $f \times x$ की गणना करें, उनका योग 615 प्राप्त करें, और कुल आवृत्ति $\sum f = 30$ से विभाजित करें।

एक मानक निष्पक्ष छह-तरफा पासा एक बार फेंका जाता है। प्राप्त होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए: (ए) एक अभाज्य संख्या, (बी) 4 से बड़ी संख्या, (सी) 3 से विभाज्य संख्या।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर:

नमूना स्थान $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \implies n(S) = 6$.
• (a) अभाज्य संख्या: अभाज्य परिणाम हैं $\{2, 3, 5\} \implies n(E) = 3$:

$$P(\text{prime}) = \frac{3}{6} = \mathbf{\frac{1}{2}}$$

.
• (b) संख्या 4 से बड़ी: परिणाम हैं $\{5, 6\} \implies n(E) = 2$:

$$P(> 4) = \frac{2}{6} = \mathbf{\frac{1}{3}}$$

.
• (c) संख्या 3 से विभाज्य: परिणाम हैं $\{3, 6\} \implies n(E) = 2$:

$$P(\text{div by 3}) = \frac{2}{6} = \mathbf{\frac{1}{3}}$$

कुल परिणाम $n(S) = 6$. अभाज्य संख्याएँ $\{2,3,5\}$ ($3/6 = 1/2$) हैं। संख्याएँ $>4$ $\{5,6\}$ ($2/6 = 1/3$) हैं।

एक बैग में 5 लाल, 8 सफेद और 7 हरी गेंदें हैं। एक गेंद यादृच्छिक रूप से निकाली जाती है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निकाली गई गेंद है: (ए) सफेद, (बी) लाल नहीं।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर:

कुल गेंदें $n(S) = 5 + 8 + 7 = 20$.
• (ए) सफेद गेंद: सफेद गेंदों की संख्या $n(W) = 8$:

$$P(W) = \frac{8}{20} = \mathbf{\frac{2}{5} = 0.4}$$

.
• (बी) लाल गेंद नहीं: गेंदें जो लाल (सफेद या हरी) नहीं हैं $= 8 + 7 = 15$ (या $20 - 5 = 15$):

$$P(\text{not red}) = \frac{15}{20} = \mathbf{\frac{3}{4} = 0.75}$$

कुल गेंदें $= 20$. सफ़ेद $8/20 = 2/5$ है. लाल नहीं $(8+7)/20 = 15/20 = 3/4$ है.

घरेलू आय का विश्लेषण करते समय "माध्यिका" को अक्सर "माध्य" की तुलना में केंद्रीय प्रवृत्ति का बेहतर माप क्यों माना जाता है?

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर:

• माध्य अत्यधिक मूल्यों (आउटलेर्स) से गंभीर रूप से विकृत है। यदि 9 कर्मचारी $\text{Rs. } 20,000$ कमाते हैं और एक सीईओ $\text{Rs. } 50,00,000$ कमाता है, तो अंकगणितीय माध्य $\text{Rs. } 5,00,000$ से अधिक है, जो सामान्य आय का भ्रामक प्रतिनिधित्व देता है।
• माध्यिका वास्तविक मध्य अवलोकन का प्रतिनिधित्व करता है। यह अत्यधिक संपत्ति के बाहरी कारकों से पूरी तरह अप्रभावित है, जो सटीक रूप से दर्शाता है कि समाज के बीच का सामान्य नागरिक क्या कमाता है।

माध्य अत्यधिक उच्च आउटलेर्स (अरबपतियों) द्वारा विकृत है; माध्यिका सटीक रूप से मध्य नागरिक को दर्शाती है।

निम्नलिखित प्रेक्षणों के समूह का माध्य ज्ञात कीजिए: $15, 6, 11, 23, 8, 19, 14, 21, 9$।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर:

चरण 1: आरोही क्रम में व्यवस्थित करें:

$$6, 8, 9, 11, 14, 15, 19, 21, 23$$

चरण 2: प्रेक्षणों की संख्या गिनें: $n = 9$ (विषम).
चरण 3: विषम मध्य सूत्र लागू करें:

$$\text{Median} = \left( \frac{n + 1}{2} \right)^{\text{th}} \text{ observation} = \left( \frac{9 + 1}{2} \right)^{\text{th}} = 5^{\text{th}} \text{ observation}$$

सरणी में $5^{\text{th}}$ पद है $14$.

$$\text{Median} = \mathbf{14}$$

डेटा क्रमबद्ध करें: $6, 8, 9, 11, 14, 15, 19, 21, 23$. 5वाँ पद 14 है।

"डबल बार ग्राफ़" का उद्देश्य क्या है? इसका उपयोग कहां किया जाता है इसका वास्तविक दुनिया का उदाहरण दें।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर:

• उद्देश्य: एक डबल बार ग्राफ़ डेटा के दो संबंधित सेटों को एक साथ प्रदर्शित करता है एक सामान्य पैमाने और अलग-अलग रंगों/हैचिंग के साथ युग्मित अगल-बगल ऊर्ध्वाधर या क्षैतिज पट्टियों का उपयोग करता है।
• वास्तविक दुनिया उपयोगिता: यह समय या समूहों में दो श्रेणियों के बीच तत्काल दृश्य तुलना को सक्षम बनाता है।
उदाहरण: टर्म 1 बनाम टर्म 2 में छात्रों के शैक्षणिक परीक्षण स्कोर की तुलना करना विषय, या 12 महीनों में दो अलग-अलग शहरों में वार्षिक वर्षा की तुलना करना।

तत्काल तुलनात्मक दृश्य विश्लेषण के लिए एक ही ग्राफ पर दो संबंधित डेटासेट को एक साथ प्रदर्शित करता है।

अध्याय का अध्ययन पूर्ण हुआ?

अभ्यास के लिए तैयार?

ऑनलाइन CBT टेस्ट देकर तैयारी का मूल्यांकन करें

झारखण्ड बोर्ड परीक्षा पैटर्न पर आधारित बहुविकल्पीय प्रश्नों का ऑनलाइन टेस्ट दें। तुरंत परिणाम, समय विश्लेषण और प्रत्येक प्रश्न का विस्तृत हल प्राप्त करें।

फाउंडेशन टेस्ट

15 MCQs • मूल अवधारणाएँ

एडवांस्ड टेस्ट

15 MCQs • HOTS और ट्रैप्स