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ICSE • कक्षा 7 • Mathematics • अध्याय 4

अनुमानित समय: 45 Mins

प्रगति: अध्ययनरत

घातांक (Exponents)

आईसीएसई कक्षा 7 गणित में, "एक्सपोनेंट्स" शक्तियों, सूचकांक संकेतन, घातीय कानूनों और वैज्ञानिक वैज्ञानिक संकेतन पर एक आधिकारिक, बीजगणितीय मास्टर अध्ययन मार्गदर्शिका प्रदान करता है। यह व्यापक अध्याय घातीय संकेतन (आधार $a$, घातांक/सूचकांक/शक्ति $n$; बार-बार गुणन $a^n = a \times a \times \dots \times a$ [$n$ बार]; नकारात्मक आधार: $(-1)^{\text{even}} = +1$, $(-1)^{\text{odd}} = -1$), घातांक के मौलिक नियम (1. समान आधार के साथ उत्पाद कानून: $a^m \times a^n = a^{m+n}$, 2. समान आधार के साथ भागफल कानून: $a^m \div a^n = a^{m-n}$,) की खोज करता है। 3. शक्ति नियम की शक्ति: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, 4. उत्पाद की शक्ति: $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$, 5. भागफल की शक्ति: $(a/b)^n = a^n / b^n$, 6. शून्य घातांक नियम: किसी भी गैर-शून्य $a \neq 0$ के लिए $a^0 = 1$, 7. नकारात्मक घातांक कानून: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ और $(a/b)^{-n} = (b/a)^n$), प्रधान गुणनखंड और बड़े का घातीय विस्तार पूर्णांक, मानक रूप में संख्याओं को व्यक्त करना / वैज्ञानिक संकेतन ($k \times 10^n$ जहां $1 \le k < 10$ और $n \in \mathbb{Z}$), और 2026-27 सीआईएससीई पाठ्यक्रम के साथ संरेखित खगोलीय और सूक्ष्म परिमाण की तुलना करना।

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क्या आप चंद्रमा की सतह तक पहुंचने के लिए कागज की एक मानक शीट को 42 बार आधा मोड़ सकते हैं?

प्रिंटर पेपर का एक साधारण टुकड़ा लें। यह लगभग 0.1 मिलीमीटर ($10^{-4}\text{ m}$) मोटा है। इसे एक बार आधा मोड़ें—यह 0.2 मिमी मोटा है। इसे दूसरी बार आधा मोड़ें—यह 0.4 मिमी मोटा है। इसे तीसरी बार मोड़ें - 0.8 मिमी मोटा। यह छोटा और हानिरहित लगता है, है ना? लेकिन घातीय वृद्धि ब्रह्मांड में सबसे भयानक, विस्फोटक शक्तियों में से एक है! हर एक तह मोटाई को दोगुना कर देती है: $2^n$! गुना संख्या 10 से, कागज एक किताब ($10\text{ cm}$) जितना मोटा होता है। गुना संख्या 30 द्वारा, यह समताप मंडल के माध्यम से बाहरी अंतरिक्ष ($107\text{ km}$) में प्रवेश करता है। और यदि आप कागज की उस एक शीट को केवल 42 बार आधा मोड़ सकें, तो इसकी मोटाई $2^{42} \times 0.1\text{ mm} \approx \mathbf{439,804\text{ kilometers}}$ होगी—पृथ्वी से चंद्रमा तक की दूरी को पार कर जाएगी! यह घातांक की शक्ति है! वैज्ञानिक पृथ्वी के द्रव्यमान ($5.972 \times 10^{24}\text{ kg}$) या एक इलेक्ट्रॉन के द्रव्यमान ($9.109 \times 10^{-31}\text{ kg}$) को स्वच्छ, पठनीय आशुलिपि में कैसे लिखते हैं? किसी भी गैर-शून्य संख्या को घात शून्य तक बढ़ाने पर वह एक ($a^0 = 1$) के बराबर क्यों हो जाती है? आइए घातांकों में महारत हासिल करें।

यह अध्याय क्यों महत्वपूर्ण है

प्रतिपादक भौतिकी (प्रकाश की गति $3 \times 10^8\text{ m/s}$, गुरुत्वाकर्षण), कंप्यूटर विज्ञान (बाइनरी बिट्स $2^n$, गीगाबाइट्स $2^{30}$ बाइट्स), खगोल विज्ञान, रसायन विज्ञान (एवोगैड्रो की संख्या $6.022 \times 10^{23}$), और वित्तीय चक्रवृद्धि ब्याज की सार्वभौमिक भाषा हैं। उच्च गणित और आईसीएसई बोर्ड परीक्षाओं के लिए प्रतिपादक कानूनों में महारत हासिल करना आवश्यक है।

अध्ययन से पूर्व (आवश्यक ज्ञान)

पूर्णांकों और परिमेय संख्याओं का गुणन।
कारक वृक्षों का उपयोग करके प्राकृतिक संख्याओं का अभाज्य गुणनखंडन।
संचालन का मूल क्रम (BODMAS)।

इस अध्याय के लक्ष्य

घातीय अभिव्यक्तियों में आधार और घातांक को पहचानें और शक्तियों की गणना करें।
उत्पाद कानून ($a^m \times a^n = a^{m+n}$) और भागफल कानून ($a^m \div a^n = a^{m-n}$) लागू करें।
पावर ऑफ़ ए पावर लॉ ($(a^m)^n = a^{mn}$) का उपयोग करके नेस्टेड शक्तियों को सरल बनाएं।
शून्य घातांक नियम ($a^0 = 1$) और ऋणात्मक घातांक नियम ($a^{-n} = 1/a^n$) को सिद्ध करें और लागू करें।
बड़ी समग्र संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडित घातीय अंकन में व्यक्त करें।
मानक वैज्ञानिक संकेतन ($k \times 10^n$) और विस्तारित दशमलव संकेतन के बीच कनवर्ट करें।
घातांक का उपयोग करके खगोलीय दूरियों और सूक्ष्म राशियों की तुलना करें।

अध्याय रूपरेखा एवं प्रगति

1 1. संकेतों के लिए घातीय संकेतन और श...

2 2. घातांक के मौलिक नियम

3 3. $a^0 = 1$ क्यों है? गणितीय प्रमा...

4 4. मानक प्रपत्र (वैज्ञानिक संकेतन)

सम्पूर्ण सैद्धांतिक एवं वैचारिक अध्ययन

1. संकेतों के लिए घातीय संकेतन और शक्ति नियम

2. घातांक के मौलिक नियम

सूचकांक के नियम

किसी भी गैर-शून्य तर्कसंगत आधार के लिए $a, b \neq 0$ और पूर्णांक $m, n$:

कानून	गणितीय सूत्र	संख्यात्मक उदाहरण
1. उत्पाद कानून	$a^m \times a^n = a^{m+n}$	$3^4 \times 3^5 = 3^{4+5} = 3^9$
2. भागफल कानून	$a^m \div a^n = a^{m-n}$	$7^8 \div 7^3 = 7^{8-3} = 7^5$
3. एक शक्ति की शक्ति	$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$	$(2^3)^4 = 2^{3 \times 4} = 2^{12}$
4. उत्पाद की शक्ति	$(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$	$(2 \times 5)^3 = 2^3 \times 5^3 = 8 \times 125 = 1,000$
5. भागफल की शक्ति	$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$	$\left(\frac{3}{4}\right)^3 = \frac{3^3}{4^3} = \frac{27}{64}$
6. शून्य घातांक नियम	$a^0 = 1 \quad (a \neq 0)$	$(-15)^0 = 1, \quad (2,500)^0 = 1$
7. ऋणात्मक घातांक नियम	$a^{-n} = \frac{1}{a^n}, \quad \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n$	$5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}, \quad \left(\frac{2}{3}\right)^{-3} = \left(\frac{3}{2}\right)^3 = \frac{27}{8}$

3. $a^0 = 1$ क्यों है? गणितीय प्रमाण

4. मानक प्रपत्र (वैज्ञानिक संकेतन)

महत्वपूर्ण सूत्र, सर्वसमिकाएँ एवं प्रमेय

घातांक के नियम सुइट

$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}, \quad \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}, \quad (a^m)^n = a^{mn}$$

समान आधारों के लिए प्राथमिक कम्प्यूटेशनल कानून।

मानक प्रपत्र निरूपण

$$N = k \times 10^n \quad (1 \le k < 10, \, n \in \mathbb{Z})$$

वैज्ञानिक संकेतन प्रतिनिधित्व.

घातांक के नियम और वैज्ञानिक संकेतन ढांचा

^m × aⁿ = a^m+n • Quotient Law: a^m ÷ aⁿ = a^m-n • Power of a Power: (a^m)ⁿ = a^m×n • Power of a Product: (ab)ⁿ = aⁿ × bⁿ • Bases must match for Product/Quotient ZERO & NEGATIVE POWERS • Zero Exponent Law: a⁰ = 1 (a ≠ 0) Proof: a^m/a^m = a^m-m = 1 • Negative Exponent Law: a^-n = 1 / aⁿ (a/b)^-n = (b/a)ⁿ e.g., (2/3)^-3 = (3/2)³ = 27/8 • Invert fraction to make power positive STANDARD FORM k × 10ⁿ (1 ≤ k < 10) • Speed of Light: 300,000,000 = 3.0 × 10⁸ m/s • Distance Earth-Sun: 149,600,000 = 1.496 × 10⁸ km • Signs for -1: (-1)^even = +1 • (-1)^odd = -1 • Moves decimal n places a^m × aⁿ = a^m+n • a⁰ = 1 • a^-n = 1/aⁿ • SCIENTIFIC NOTATION: k × 10ⁿ

अध्याय का सार संक्षेप एवं 10 मुख्य निष्कर्ष

मुख्य बिंदु 1

एक घातांक बार-बार गुणा का प्रतिनिधित्व करता है: $a^n = a \times a \times \dots \times a$ ($n$ बार)।

मुख्य बिंदु 2

$(-1)^{\text{even}} = +1$ और $(-1)^{\text{odd}} = -1$; एक सम घात तक उठाया गया नकारात्मक आधार सकारात्मक होता है।

मुख्य बिंदु 3

उत्पाद कानून: $a^m \times a^n = a^{m+n}$ (मिलान आधारों को गुणा करते समय शक्तियां जोड़ें)।

मुख्य बिंदु 4

भागफल नियम: $a^m \div a^n = a^{m-n}$ (मिलान आधारों को विभाजित करते समय घात घटाएं)।

मुख्य बिंदु 5

शक्ति कानून की शक्ति: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ (नेस्टेड शक्तियों को गुणा करें)।

मुख्य बिंदु 6

उत्पाद की शक्ति: $(ab)^n = a^n \cdot b^n$; भागफल की शक्ति: $(a/b)^n = a^n / b^n$.

मुख्य बिंदु 7

शून्य घातांक नियम: किसी भी गैर-शून्य आधार को घात 0 तक बढ़ाने पर 1 ($a^0 = 1$) के बराबर होता है।

मुख्य बिंदु 8

नकारात्मक घातांक कानून: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ और $(a/b)^{-n} = (b/a)^n$।

मुख्य बिंदु 9

मानक प्रपत्र संख्याओं को $k \times 10^n$ के रूप में व्यक्त करता है जहां $1 \le k < 10$ और $n \in \mathbb{Z}$।

मुख्य बिंदु 10

संख्याओं को विभिन्न आधारों से गुणा या विभाजित करने के लिए, पहले आधारों को उनके अभाज्य गुणनखंडों के रूप में व्यक्त करें।

स्व-मूल्यांकन अभ्यास (Check Your Understanding)

मूल वैचारिक स्पष्टता की जांच के लिए नैदानिक प्रश्न। पहले स्वयं हल करें, फिर उत्तर देखें।

घातांक कानूनों का उपयोग करके सरल बनाएं और घातांकीय रूप में व्यक्त करें: $\frac{2^3 \times 3^4 \times 4}{3 \times 32}$।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: चरण 1: सभी मिश्रित संख्याओं ($4$ और $32$) को अभाज्य आधार की घातों के रूप में व्यक्त करें $2$:
$$4 = 2^2, \quad 32 = 2^5$$§
चरण 2: अभिव्यक्ति को फिर से लिखें:
$$\frac{2^3 \times 3^4 \times 2^2}{3^1 \times 2^5}$$
चरण 3: आधार $2$ की शक्तियों को अंश में संयोजित करें: $2^3 \times 2^2 = 2^{3+2} = 2^5$:
$$\frac{2^5 \times 3^4}{2^5 \times 3^1}$$
चरण 4: भागफल नियम लागू करें $a^m \div a^n = a^{m-n}$:
$$2^{5-5} \times 3^{4-1} = 2^0 \times 3^3 = 1 \times 3^3 = \mathbf{3^3 = 27}$$।
4 को $2^2$ और 32 को $2^5$ में बदलें, $a^m \times a^n = a^{m+n}$ का उपयोग करके घातों को संयोजित करें और सरल बनाएं।

मूल्यांकन करें: $\left( \frac{2}{3} \right)^{-2} \times \left( \frac{-3}{4} \right)^{-3}$.

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: चरण 1: ऋणात्मक घातांक नियम लागू करें $(a/b)^{-n} = (b/a)^n$:
$$\left( \frac{2}{3} \right)^{-2} = \left( \frac{3}{2} \right)^2 = \frac{9}{4}$$
$$\left( \frac{-3}{4} \right)^{-3} = \left( \frac{4}{-3} \right)^3 = \frac{64}{-27} = \frac{-64}{27}$$
चरण 2: दो परिणामों को गुणा करें:
$$\frac{9}{4} \times \left( \frac{-64}{27} \right)$$
सामान्य गुणनखंडों को रद्द करें: $9$ और $27$ को $1$ और $3$ पर रद्द करें; $4$ और $-64$ को $1$ और $-16$:
$$= \frac{1 \times (-16)}{1 \times 3} = \mathbf{\frac{-16}{3} = -5\frac{1}{3}}$$ तक रद्द करें।
घातों को सकारात्मक बनाने के लिए दोनों भिन्नों को उलटा करें: $(3/2)^2 = 9/4$ और $(-4/3)^3 = -64/27$। गुणा करें.

यदि $2^{x-3} \times 4^{2x+1} = 32$ है तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: चरण 1: सभी पदों को सामान्य आधार के साथ व्यक्त करें $2$:
$$4 = 2^2 \implies 4^{2x+1} = (2^2)^{2x+1} = 2^{2(2x+1)} = 2^{4x+2}$$
$$32 = 2^5$$
चरण 2: उत्पाद कानून को LHS पर लागू करें:
$$2^{x-3} \times 2^{4x+2} = 2^{(x-3) + (4x+2)} = 2^{5x-1}$$
चरण 3: LHS और RHS को समान करें:
$$2^{5x-1} = 2^5$$
चूंकि आधार बराबर हैं ($2 = 2$), घातांक को समान करें:
$$5x - 1 = 5 \implies 5x = 6 \implies \mathbf{x = \frac{6}{5} = 1.2}$$।
सभी शब्दों को आधार 2: $4^{2x+1} = 2^{4x+2}$ और $32 = 2^5$ में बदलें। समान शक्तियां: $5x - 1 = 5$.

निम्नलिखित संख्याओं को मानक रूप (वैज्ञानिक संकेतन) में व्यक्त करें: (ए) $149,600,000,000\text{ m}$, (बी) $0.0000075\text{ m}$।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर:

• (ए) बड़ी संख्या ($149,600,000,000\text{ m}$):
1 और 10 के बीच की संख्या प्राप्त करने के लिए दशमलव बिंदु को 11 स्थान बाईं ओर ले जाएं ($1.496$):

$$149,600,000,000 = \mathbf{1.496 \times 10^{11}\text{ m}}$$

.
• (बी) लघु दशमलव ($0.0000075\text{ m}$):
प्राप्त करने के लिए दशमलव बिंदु को 6 स्थान दाईं ओर ले जाएं $7.5$:

$$0.0000075 = \mathbf{7.5 \times 10^{-6}\text{ m}}$$

दशमलव को $1 \le k < 10$ पर शिफ्ट करें: बड़ी संख्याओं में 10 की सकारात्मक शक्तियाँ होती हैं; छोटे दशमलव में नकारात्मक शक्तियाँ होती हैं।

सरल बनाएं: $\frac{(3^2)^3 \times (-2)^5 \times (-1)^{17}}{(-6)^3}$.

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: चरण 1: पदों को सरल बनाएं:
$(3^2)^3 = 3^{2 \times 3} = 3^6$
$(-2)^5 = -32$
$(-1)^{17} = -1$ (चूंकि 17 विषम है)
अंश $= 3^6 \times (-32) \times (-1) = 3^6 \times 32 = 3^6 \times 2^5$.
चरण 2: हर को सरल बनाएं $(-6)^3$:
$(-6)^3 = (-1 \times 2 \times 3)^3 = (-1)^3 \times 2^3 \times 3^3 = -(2^3 \times 3^3)$.
चरण 3: विभाजित करें:
$$\frac{3^6 \times 2^5}{-(3^3 \times 2^3)} = - (3^{6-3} \times 2^{5-3}) = - (3^3 \times 2^2) = - (27 \times 4) = \mathbf{-108}$$.
6 को $2 \times 3$ में तोड़ें, चिह्नों को सरल बनाएं ($(-1)^{17} = -1$), घातांक घटाव नियम लागू करें और मूल्यांकन करें।

किसी भी गैर-शून्य वास्तविक संख्या $a$ के लिए साबित करें कि $a^0 = 1$।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: चलो $a \neq 0$. विभाजन की मूल परिभाषा के अनुसार, किसी भी गैर-शून्य संख्या को अपने आप से विभाजित करने पर बराबर होती है $1$:
$$\frac{a^m}{a^m} = 1$$
घातांक के भागफल नियम के अनुसार ($a^m \div a^n = a^{m-n}$):
$$\frac{a^m}{a^m} = a^{m-m} = a^0$$
दो भावों को बराबर करने पर मिलता है:
$$a^0 = \mathbf{1}$$।
1 को $a^m / a^m$ के रूप में व्यक्त करें और घातांक $a^{m-m} = a^0$ का भागफल नियम लागू करें।

संख्याओं की तुलना करें: $A = 3.5 \times 10^8$ और $B = 8.2 \times 10^7$। कौन सा बड़ा है और कितने गुना?

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर:

चरण 1: दोनों को 10 ($10^8$):

$$A = 3.5 \times 10^8$$

$$B = 8.2 \times 10^7 = 0.82 \times 10^8$$

की समान शक्ति में परिवर्तित करें क्योंकि $3.5 > 0.82$, $A$ $B$ से बड़ा है।
चरण 2: अनुपात $\frac{A}{B}$:

$$\frac{A}{B} = \frac{3.5 \times 10^8}{8.2 \times 10^7} = \frac{35 \times 10^7}{8.2 \times 10^7} = \frac{35}{8.2} \approx \mathbf{4.27 \text{ times}}$$

की गणना करें।

$8.2 \times 10^7$ को $0.82 \times 10^8$ के रूप में लिखें. $3.5$ की तुलना $0.82$ से करें।

पूर्णांक $1,080$ का अभाज्य गुणनखंडित घातांकीय रूप ज्ञात कीजिए।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: 1,080 का अभाज्य गुणनखंड निष्पादित करें:
$$1080 = 2 \times 540$$
$$540 = 2 \times 270$$
$$270 = 2 \times 135$$
$$135 = 3 \times 45$$
$$45 = 3 \times 15$$
$$15 = 3 \times 5$$
$$5 = 5 \times 1$$
गणना कारक: तीन 2s, तीन 3s, एक 5:
$$1,080 = \mathbf{2^3 \times 3^3 \times 5^1}$$.
अभाज्य संख्याओं से विभाजित करें: $1080 = 2^3 \times 3^3 \times 5$.

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15 MCQs • मूल अवधारणाएँ

एडवांस्ड टेस्ट

15 MCQs • HOTS और ट्रैप्स