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ICSE • कक्षा 7 • Mathematics • अध्याय 3

अनुमानित समय: 45 Mins

प्रगति: अध्ययनरत

भिन्न (Fractions)

आईसीएसई कक्षा 7 गणित में, "फ्रैक्शंस" भिन्नात्मक मात्राओं के अंकगणित, गुणों और अनुप्रयोगों का विश्लेषण करने वाला एक आधिकारिक, शैक्षणिक मास्टर अध्ययन गाइड प्रदान करता है। यह व्यापक अध्याय भिन्नों के वर्गीकरण (उचित भिन्नों [अंशांक < denominator], Improper fractions [numerator >= हर], मिश्रित भिन्न, समान बनाम भिन्न भिन्न, इकाई भिन्न और समतुल्य भिन्न), न्यूनतम पदों में कमी (अंश और हर को उनके एचसीएफ द्वारा विभाजित करना), विपरीत भिन्नों की तुलना और क्रम (हर के क्रॉस-गुणन और एलसीएम तरीकों; आरोही और अवरोही क्रम), की पड़ताल करता है। भिन्नों पर संचालन (हर के एलसीएम के माध्यम से जोड़ और घटाव; भिन्नों का गुणन: अंशों के गुणनफल को हरों के गुणनफल से विभाजित किया जाता है, गुणन के रूप में "का" की व्याख्या; भिन्नों का विभाजन: पारस्परिक / गुणक व्युत्क्रम द्वारा गुणा), भिन्न का व्युत्क्रम और शून्य से विभाजन, जटिल भिन्न और सरलीकरण (निरंतर भिन्न, बहु-स्तरीय कोष्ठक), BODMAS का उपयोग करके संचालन का क्रम नियम, और वास्तविक-विश्व अनुप्रयुक्त शब्द समस्याएं (साझा मात्राओं का आंशिक विभाजन, कार्य की दरें, नुस्खा स्केलिंग, क्षेत्र गणना) 2026-27 सीआईएससीई पाठ्यक्रम के साथ संरेखित।

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मिस्र के शास्त्रियों ने केवल एक के अंश वाले भिन्नों का उपयोग करके महान पिरामिडों का निर्माण कैसे किया?

लगभग 4,000 साल पहले, प्राचीन मिस्र में शास्त्री नील नदी के किनारे बैठकर प्रसिद्ध रिहंद गणितीय पेपिरस लिखते थे। फिरौन ने उन्हें गीज़ा के महान पिरामिडों के निर्माण के लिए सटीक रोटी राशन, बीयर आवंटन और पत्थर के ब्लॉक आयामों की गणना करने का आदेश दिया। लेकिन प्राचीन मिस्रवासियों का एक अजीब गणितीय नियम था: उन्होंने 1 से अधिक अंश वाले किसी भी अंश को लिखने से इनकार कर दिया! प्रत्येक अंश को विशेष रूप से विशिष्ट इकाई भिन्न ($1$ के अंश-गणक वाले भिन्न, जैसे $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{7}$) के योग के रूप में व्यक्त किया जाना था। यदि कोई मिस्र का सर्वेक्षणकर्ता $\frac{2}{5}$ लिखना चाहता था, तो वह केवल $\frac{2}{5}$ नहीं लिख सकता था; उसे इसे $\frac{1}{3} + \frac{1}{15}$ में विघटित करना पड़ा! क्या होता है जब आप एक भिन्न को दूसरे भिन्न से विभाजित करते हैं? $\frac{1}{100}$ जैसे छोटे अंश से विभाजित करने पर एक संख्या सौ गुना बड़ी क्यों हो जाती है? आप बहु-स्तरीय जटिल भिन्नों को कैसे सरल बनाते हैं? आइए भिन्नों के अंकगणित में महारत हासिल करें।

यह अध्याय क्यों महत्वपूर्ण है

भिन्न प्राथमिक पूर्ण-संख्या गणना और उन्नत तर्कसंगत बीजगणित के बीच प्राथमिक पुल हैं। भौतिकी (फोकल लंबाई, गतिज ऊर्जा), रसायन विज्ञान (रासायनिक स्टोइकोमेट्री), पाक कला, बढ़ईगीरी, चिकित्सा खुराक और आईसीएसई स्कूल परीक्षाओं में शीर्ष अंक प्राप्त करने में भिन्नात्मक संचालन में महारत आवश्यक है।

अध्ययन से पूर्व (आवश्यक ज्ञान)

गुणन सारणी और बुनियादी पूर्णांक विभाजन।
न्यूनतम समापवर्त्य (एलसीएम) और उच्चतम समापवर्तक (एचसीएफ) ज्ञात करना।
संपूर्ण के एक भाग के रूप में भिन्न की मूल अवधारणा।

इस अध्याय के लक्ष्य

भिन्नों को उचित, अनुचित, मिश्रित, समान, असमान और इकाई भिन्नों में वर्गीकृत करें।
अनुचित भिन्नों को मिश्रित भिन्नों में बदलें और इसके विपरीत।
क्रॉस-गुणा और एलसीएम विधियों का उपयोग करके भिन्न भिन्नों की तुलना करें और क्रमबद्ध करें।
मिश्रित भिन्नों का सटीक जोड़, घटाव, गुणा और भाग करें।
उचित, अनुचित और मिश्रित भिन्नों के व्युत्क्रम की गणना करें।
BODMAS परिपाटी का उपयोग करके जटिल, बहु-स्तरीय भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों को सरल बनाएं।
भिन्नात्मक भागों और दरों से संबंधित बहु-चरणीय वास्तविक दुनिया की शब्द समस्याओं को हल करें।

अध्याय रूपरेखा एवं प्रगति

1 1. भिन्नों का वर्गीकरण एवं रूपांतरण

2 2. भिन्न भिन्नों की तुलना एवं क्रम

3 3. भिन्नों का गुणन एवं विभाजन (व्यु...

4 4. जटिल भिन्न और बोडमास पदानुक्रम

सम्पूर्ण सैद्धांतिक एवं वैचारिक अध्ययन

1. भिन्नों का वर्गीकरण एवं रूपांतरण

2. भिन्न भिन्नों की तुलना एवं क्रम

3. भिन्नों का गुणन एवं विभाजन (व्युत्क्रम)

4. जटिल भिन्न और बोडमास पदानुक्रम

महत्वपूर्ण सूत्र, सर्वसमिकाएँ एवं प्रमेय

भिन्न गुणन नियम

$$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}$$

पहले अंश और हर के बीच सामान्य गुणनखंडों को कम करें।

भिन्न विभाजन (उलटा और गुणा)

$$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}$$

भाजक के व्युत्क्रम से गुणा करें.

भिन्नों का वर्गीकरण और विभाजन पारस्परिक फ्लिप

Proper: N < D • e.g., 3/7 (< 1) • Improper: N ≥ D • e.g., 11/4 (≥ 1) • Mixed: Whole + Proper (2 ¾) • Like: Same denominator (3/8, 7/8) • Unlike: Diff denominators (2/3, 4/5) • Unit Fraction: Numerator = 1 (1/6) • Conversion Formula: a b/c = (a×c + b) / c INVERT & MULTIPLY Dividing by a Fraction: (a/b) ÷ (c/d) ↓ Flip Divisor ↓ (a/b) × (d/c) • "Of" Operator means MULTIPLY: ¾ of 28 = ¾ × 28 = 21 • "Of" evaluated BEFORE ÷ or ×! BODMAS HIERARCHY • 1. B: Innermost brackets first ( ) → { } → [ ] • 2. O: "Of" operations • 3. D / M: Division & Multi (L to R) • 4. A / S: Add & Subtract (L to R) • Complex Fraction Rule: (a/b) / (c/d) = (a×d) / (b×c) • Extremes × Extremes / Means × Means ALWAYS CONVERT MIXED FRACTIONS TO IMPROPER FRACTIONS BEFORE MULTIPLYING OR DIVIDING

अध्याय का सार संक्षेप एवं 10 मुख्य निष्कर्ष

मुख्य बिंदु 1

एक उचित भिन्न 1 से कम मात्रा का प्रतिनिधित्व करता है; एक अनुचित भिन्न एक मात्रा >= 1 को दर्शाता है।

मुख्य बिंदु 2

मिश्रित भिन्न एक पूर्ण संख्या और एक उचित भिन्न को जोड़ते हैं: $a\frac{b}{c} = \frac{ac + b}{c}$।

मुख्य बिंदु 3

अंश और हर को उनके HCF से विभाजित करके भिन्नों को न्यूनतम पदों तक घटाया जाता है।

मुख्य बिंदु 4

भिन्न भिन्नों की तुलना हर के LCM के माध्यम से समतुल्य भिन्नों में परिवर्तित करके की जाती है।

मुख्य बिंदु 5

गणितीय शब्द "of" गुणन को दर्शाता है: $\frac{a}{b} \text{ of } c = \frac{a}{b} \times c$।

मुख्य बिंदु 6

दो भिन्नों का गुणनफल अंशों के गुणनफल को हर के गुणनफल से विभाजित करने पर प्राप्त होता है।

मुख्य बिंदु 7

एक गैर-शून्य भिन्न $\frac{a}{b}$ का व्युत्क्रम $\frac{b}{a}$ है; शून्य का कोई व्युत्क्रम नहीं है.

मुख्य बिंदु 8

किसी भिन्न से भाग देने के लिए, उसके व्युत्क्रम से गुणा करें: $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}$.

मुख्य बिंदु 9

जटिल बहु-स्तरीय भिन्नों का मूल्यांकन $(a/b) / (c/d) = (ad)/(bc)$ के रूप में किया जाता है।

मुख्य बिंदु 10

BODMAS नियम का सख्ती से पालन करें: भाग और गुणा से पहले "का" का मूल्यांकन करें।

स्व-मूल्यांकन अभ्यास (Check Your Understanding)

मूल वैचारिक स्पष्टता की जांच के लिए नैदानिक प्रश्न। पहले स्वयं हल करें, फिर उत्तर देखें।

सरल बनाएं: $3\frac{1}{4} - \left[ 1\frac{1}{4} + \left\{ 1\frac{1}{2} - \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) \right\} \right]$.

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: चरण 1: सभी मिश्रित भिन्नों को अनुचित भिन्नों में बदलें:
$$3\frac{1}{4} = \frac{13}{4}, \quad 1\frac{1}{4} = \frac{5}{4}, \quad 1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$$
चरण 2: गोल कोष्ठकों का मूल्यांकन करें $\left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) = \frac{2 - 1}{4} = \frac{1}{4}$.
चरण 3: घुंघराले ब्रेसिज़ का मूल्यांकन करें $\left\{ \frac{3}{2} - \frac{1}{4} \right\} = \frac{6 - 1}{4} = \frac{5}{4}$.
चरण 4: वर्गाकार कोष्ठकों का मूल्यांकन करें $\left[ \frac{5}{4} + \frac{5}{4} \right] = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$.
चरण 5: अंतिम प्रदर्शन करें घटाव:
$$\frac{13}{4} - \frac{5}{2} = \frac{13 - 10}{4} = \mathbf{\frac{3}{4}}$$.
पहले मिश्रित भिन्नों को अनुचित भिन्नों में बदलें, फिर कोष्ठकों को सबसे अंदर से सबसे बाहर तक हल करें।

भिन्नों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करें: $\frac{2}{3}, \frac{5}{6}, \frac{7}{9}, \frac{11}{18}$.

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: चरण 1: हरों का एलसीएम ज्ञात करें $3, 6, 9, 18$:
$$\text{LCM}(3, 6, 9, 18) = 18$$
चरण 2: प्रत्येक भिन्न को हर के साथ समतुल्य भिन्न में बदलें $18$:
$$\frac{2}{3} = \frac{2 \times 6}{3 \times 6} = \frac{12}{18}$$
$$\frac{5}{6} = \frac{5 \times 3}{6 \times 3} = \frac{15}{18}$$
$$\frac{7}{9} = \frac{7 \times 2}{9 \times 2} = \frac{14}{18}$$
$$\frac{11}{18} = \frac{11}{18}$$
चरण 3: तुलना करें अंश: $11 < 12 < 14 < 15$.
आरोही क्रम: $\mathbf{\frac{11}{18} < \frac{2}{3} < \frac{7}{9} < \frac{5}{6}}$.
हर (18) का एलसीएम ढूंढें, प्रत्येक भिन्न को रूपांतरित करें, और अंशों के अनुसार क्रमबद्ध करें: $11 < 12 < 14 < 15$।

BODMAS का उपयोग करके मूल्यांकन करें: $\frac{4}{5} \text{ of } \left( \frac{3}{8} + \frac{5}{12} \right) \div \frac{19}{24}$।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: चरण 1: कोष्ठक के अंदर सरल बनाएं ($8$ और $12$ का एलसीएम $24$ है):
$$\frac{3}{8} + \frac{5}{12} = \frac{3 \times 3 + 5 \times 2}{24} = \frac{9 + 10}{24} = \frac{19}{24}$$
चरण 2: "का" (गुणा) का मूल्यांकन करें:
$$\frac{4}{5} \text{ of } \frac{19}{24} = \frac{4}{5} \times \frac{19}{24} = \frac{1 \times 19}{5 \times 6} = \frac{19}{30}$$
चरण 3: व्युत्क्रम से गुणा करके विभाजन करें:
$$\frac{19}{30} \div \frac{19}{24} = \frac{19}{30} \times \frac{24}{19} = \frac{24}{30} = \mathbf{\frac{4}{5}}$$।
पहले ब्रैकेट को हल करें ($19/24$), "का" ($19/30$) का मूल्यांकन करें, और फिर व्युत्क्रम ($24/19$) से गुणा करके विभाजित करें।

$14\frac{2}{5}\text{ meters}$ लंबाई की एक रस्सी को प्रत्येक $1\frac{1}{5}\text{ meters}$ लंबाई के बराबर टुकड़ों में काटा जाता है। कितने टुकड़े प्राप्त होते हैं?

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: कुल लंबाई $= 14\frac{2}{5} = \frac{14 \times 5 + 2}{5} = \frac{72}{5}\text{ m}$.
प्रत्येक टुकड़े की लंबाई $= 1\frac{1}{5} = \frac{1 \times 5 + 1}{5} = \frac{6}{5}\text{ m}$.
$$\text{Number of pieces} = \frac{\text{Total Length}}{\text{Length of each piece}} = \frac{72}{5} \div \frac{6}{5}$$
$$= \frac{72}{5} \times \frac{5}{6} = \frac{72}{6} = \mathbf{12 \text{ pieces}}$$।
मिश्रित भिन्नों को अनुचित ($72/5$ और $6/5$) में बदलें, और विभाजित करें: $(72/5) \times (5/6) = 12$।

जटिल भिन्न को सरल बनाएं: $\frac{2 + \frac{1}{3}}{3 - \frac{1}{2}}$.

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: चरण 1: अंश को सरल बनाएं:
$$\text{Numerator} = 2 + \frac{1}{3} = \frac{6 + 1}{3} = \frac{7}{3}$$
चरण 2: हर को सरल बनाएं:
$$\text{Denominator} = 3 - \frac{1}{2} = \frac{6 - 1}{2} = \frac{5}{2}$$
चरण 3: अंश को हर से विभाजित करें:
$$\frac{\frac{7}{3}}{\frac{5}{2}} = \frac{7}{3} \div \frac{5}{2} = \frac{7}{3} \times \frac{2}{5} = \mathbf{\frac{14}{15}}$$.
शीर्ष को $7/3$ तक सरल बनाएं, नीचे को $5/2$ तक सरल बनाएं और विभाजित करें: $(7/3) \times (2/5) = 14/15$।

$\text{Rs. } 45,000$ की आय में से, एक व्यक्ति $\frac{1}{3}$ भोजन पर, $\frac{1}{5}$ किराए पर और $\frac{2}{15}$ शिक्षा पर खर्च करता है। बचत के रूप में कितना पैसा बचा है?

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: चरण 1: खर्च की गई आय का कुल अंश:
$$\text{Fraction Spent} = \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{2}{15}$$
$3, 5, 15$ का एलसीएम $15$ है:
$$= \frac{5 + 3 + 2}{15} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$$
चरण 2: बचाई गई आय का अंश:
$$\text{Fraction Saved} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$$
चरण 3: कुल बचत राशि:
$$\text{Savings} = \frac{1}{3} \times 45,000 = \mathbf{\text{Rs. } 15,000}$$।
खर्च किए गए अंशों का योग करें: $1/3 + 1/5 + 2/15 = 2/3$. शेष अंश $1/3$ है. 45,000 के $1/3$ की गणना करें।

स्पष्ट करें कि उचित भिन्न का व्युत्क्रम सदैव अनुचित भिन्न क्यों होता है, जबकि अनुचित भिन्न का व्युत्क्रम सदैव उचित भिन्न होता है।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर:

• एक उचित भिन्न में $N < D$ होता है। जब हम इसका व्युत्क्रम लेते हैं, तो यह $\frac{D}{N}$ पर आ जाता है। चूँकि नया अंश ($D$) नए हर ($N$) से बिल्कुल बड़ा है, यह अनुचित भिन्न ($> 1$) की परिभाषा को संतुष्ट करता है। (उदाहरण के लिए, $\frac{3}{7}$ का व्युत्क्रम $\frac{7}{3}$ है)।
• एक अनुचित भिन्न में $N > D$ है। इसका व्युत्क्रम $\frac{D}{N}$ पर फ़्लिप हो जाता है, जहां नया अंश ($D$) नए हर ($N$) से छोटा होता है, जो एक उचित भिन्न ($< 1$) होता है। (उदाहरण के लिए, $\frac{5}{2}$ का व्युत्क्रम $\frac{2}{5}$ है)।

पारस्परिक फ़्लिप अंश और हर: यदि $N < D$, फ़्लिपिंग $D/N$ देता है जो 1 से अधिक है।

$4\frac{3}{7}$ का व्युत्क्रम ज्ञात कीजिए।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: चरण 1: मिश्रित भिन्न को अनुचित भिन्न में बदलें:
$$4\frac{3}{7} = \frac{(4 \times 7) + 3}{7} = \frac{28 + 3}{7} = \frac{31}{7}$$
चरण 2: अनुचित भिन्न को उलटा करके उसका व्युत्क्रम ज्ञात करें:
$$\text{Reciprocal} = \mathbf{\frac{7}{31}}$$।
अनुचित भिन्न ($31/7$) में बदलें और इसे पलटें ($7/31$)।

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एडवांस्ड टेस्ट

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