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CISCE (ICSE & ISC)
Class 7
Mathematics
अध्याय 10: एक चर वाले रैखिक समीकरण (Linear Equations)

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ICSE • कक्षा 7 • Mathematics • अध्याय 10

अनुमानित समय: 45 Mins

प्रगति: अध्ययनरत

एक चर वाले रैखिक समीकरण (Linear Equations)

आईसीएसई कक्षा 7 गणित में, "एक चर में रैखिक समीकरण" डिग्री-एक समीकरणों के समाधान, संतुलन और समस्या-समाधान अनुप्रयोगों का विश्लेषण करने वाला एक आधिकारिक, बीजगणितीय मास्टर अध्ययन गाइड प्रदान करता है। यह व्यापक अध्याय एक समीकरण की अवधारणा (समानता का एक खुला गणितीय कथन जिसमें एक समान चिह्न "$=$", बाईं ओर एक बीजगणितीय अभिव्यक्ति [एलएचएस], और दाईं ओर एक अभिव्यक्ति [आरएचएस]; एक चर में एक रैखिक समीकरण की परिभाषा: चर की उच्चतम शक्ति सख्ती से 1: $ax + b = 0$ $a \neq 0$ के साथ है), एक समाधान / रूट की अवधारणा (चर का एक संख्यात्मक मान) की पड़ताल करता है $\text{LHS} = \text{RHS}$ बनाकर समीकरण को संतुष्ट करता है), समीकरणों को हल करने के नियम (बैलेंस स्केल मॉडल; समानता के चार मौलिक गुण; ट्रांसपोज़िशन की विधि: एक पद को उलटे चिह्न $[+ \leftrightarrow -, \times \leftrightarrow \div]$ के साथ एक तरफ से दूसरे में स्थानांतरित करना; एलसीएम का उपयोग करके हर को साफ़ करना; भिन्नात्मक रैखिक समीकरणों के लिए क्रॉस-गुणन विधि $\frac{ax+b}{cx+d} = \frac{p}{q}$), और रैखिक समीकरणों पर शब्द समस्याएं (वास्तविक दुनिया की स्थितियों को बीजगणितीय समीकरणों में अनुवाद करना: संख्या और अंकों की समस्याएँ, आयु की समस्याएँ [वर्तमान आयु, आयु 6§ वर्ष पहले, आयु $n$ वर्ष बाद], परिधि और ज्यामिति की समस्याएँ, वाणिज्यिक मुद्रा/सिक्का मूल्य की समस्याएँ) 2026-27 सीआईएससीई पाठ्यक्रम के साथ संरेखित।

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प्रस्तावना अध्याय अवधारणाएँ सूत्र एवं सर्वसमिकाएँ अध्याय सारांश स्व-मूल्यांकन अभ्यास टेस्ट दें

एक मकबरे पर प्राचीन यूनानी पहेली ने एकल समीकरण का उपयोग करके "बीजगणित के जनक" के सटीक जीवनकाल को कैसे प्रकट किया?

तीसरी शताब्दी में मिस्र के अलेक्जेंड्रिया में डायोफैंटस नाम का एक प्रतिभाशाली गणितज्ञ रहता था। जब उनकी मृत्यु हुई, तो उनके दुःखी प्रशंसकों ने उनकी संगमरमर की समाधि पर कोई तारीखें नहीं उकेरीं। इसके बजाय, उन्होंने एक आकर्षक गणितीय पहेली उकेरी: "यहाँ डायोफैंटस है। भगवान ने उसे अपने जीवन के छठे भाग के लिए एक लड़का होने की अनुमति दी; बारहवें भाग के बाद, उसके गालों पर दाढ़ी बढ़ गई; सातवें भाग के बाद, उसने शादी की, और पांच साल बाद, एक बेटा पैदा हुआ। अफसोस! बच्चा अपने पिता के जीवन का केवल आधा जीवन जीता था, और अपने बेटे की मृत्यु के चार साल बाद, डायोफैंटस का अंत हो गया। " डायोफैंटस की मृत्यु के समय उसकी उम्र कितनी थी? इस प्राचीन काव्य पहेली को एक एकल एक चर में रैखिक समीकरण—$\frac{x}{6} + \frac{x}{12} + \frac{x}{7} + 5 + \frac{x}{2} + 4 = x$—में अनुवाद करके गणितज्ञों ने इसे मिनटों में हल कर दिया: डायोफैंटस ठीक 84 वर्ष तक जीवित रहे! एक समीकरण एक पूरी तरह से संतुलित वजन पैमाने की तरह है: आप जो भी ऑपरेशन एक तरफ करते हैं, आपको संतुलन बनाए रखने के लिए दूसरी तरफ भी करना होगा। ट्रांसपोज़िशन की विधि क्या है? आप क्रॉस-गुणा का उपयोग करके भिन्नात्मक समीकरणों को कैसे हल करते हैं? आइए रैखिक समीकरणों में महारत हासिल करें।

यह अध्याय क्यों महत्वपूर्ण है

रैखिक समीकरण गणित, भौतिकी (ओम के नियम $V = IR$ के माध्यम से बलों, सर्किट धाराओं की गणना), रसायन विज्ञान (रासायनिक प्रतिक्रियाओं को संतुलित करना), और व्यक्तिगत वित्त (बजट, ऋण भुगतान) में अंतिम समस्या-समाधान इंजन हैं। आईसीएसई परीक्षा और उच्च विश्लेषणात्मक सोच के लिए बीजगणितीय ट्रांसपोज़िशन और शब्द-समस्या अनुवाद में महारत हासिल करना आवश्यक है।

अध्ययन से पूर्व (आवश्यक ज्ञान)

पूर्णांकों और परिमेय संख्याओं पर संक्रियाएँ।
अध्याय 9 से बीजगणितीय अभिव्यक्तियाँ, समान पद और वितरणात्मक नियम।
भिन्नों और एलसीएम के साथ बुनियादी अंकगणित।

इस अध्याय के लक्ष्य

एक चर में एक रैखिक समीकरण को परिभाषित करें और इसे बीजगणितीय अभिव्यक्तियों से अलग करें।
सत्यापित करें कि क्या दिया गया संख्यात्मक मान किसी समीकरण का वैध मूल/समाधान है।
ट्रांसपोज़िशन विधि और कोष्ठक साफ़ करके रैखिक समीकरणों को हल करें।
क्रॉस-गुणन का उपयोग करके भिन्नात्मक रैखिक समीकरणों को हल करें: $\frac{ax+b}{cx+d} = \frac{p}{q}$।
संख्याओं, आयु, ज्यामिति और धन के आधार पर वास्तविक दुनिया की शब्द समस्याएं बनाएं और हल करें।
एलएचएस और आरएचएस में वापस प्रतिस्थापित करके बीजगणितीय समाधानों की जांच और सत्यापन करें।

अध्याय रूपरेखा एवं प्रगति

1 1. एक रेखीय समीकरण और संतुलन मॉडल क...

2 2. स्थानान्तरण की विधि और समानता के...

3 3. भिन्नात्मक रैखिक समीकरणों को हल...

4 4. शब्द समस्याएँ: समीकरणों में अनुव...

सम्पूर्ण सैद्धांतिक एवं वैचारिक अध्ययन

1. एक रेखीय समीकरण और संतुलन मॉडल की अवधारणा

2. स्थानान्तरण की विधि और समानता के सिद्धांत

ट्रांसपोज़िशन नियम

ए. संतुलन मॉडल:

एक समीकरण एक संतुलित पैमाने की तरह है। समानता संरक्षित है यदि आप:

दोनों तरफ समान संख्या जोड़ें या घटाएँ।
दोनों पक्षों को समान गैर-शून्य संख्या से गुणा या विभाजित करें।

बी. स्थानांतरण की विधि:

दोनों पक्षों पर संचालन करने के बजाय, हम उनके संचालन को उलट कर "$=$" चिह्न पर स्थानांतरित (स्थानांतरित) करते हैं:

एक तरफ ऑपरेशन	दूसरी तरफ ट्रांसपोज़्ड ऑपरेशन	उदाहरण
जोड़ ($+$)	घटाव ($-$)	$x + 7 = 15 \implies x = 15 - 7 = 8$
घटाव ($-$)	जोड़ ($+$)	$x - 4 = 9 \implies x = 9 + 4 = 13$
गुणन ($\times$)	भाग ($\div$)	$5x = 35 \implies x = \frac{35}{5} = 7$
भाग ($\div$)	गुणा ($\times$)	$\frac{x}{3} = 8 \implies x = 8 \times 3 = 24$

3. भिन्नात्मक रैखिक समीकरणों को हल करना: क्रॉस-गुणा

4. शब्द समस्याएँ: समीकरणों में अनुवाद

महत्वपूर्ण सूत्र, सर्वसमिकाएँ एवं प्रमेय

मानक रैखिक समीकरण प्रपत्र

$$ax + b = 0 \implies x = -\frac{b}{a} \quad (a \neq 0)$$

एक अनोखा एकल समाधान है.

क्रॉस-गुणा सूत्रीकरण

$$\frac{ax + b}{cx + d} = \frac{p}{q} \iff q(ax + b) = p(cx + d)$$

मान्य प्रदान किया गया cx + d != 0 और q != 0.

रैखिक समीकरण: संतुलन स्केल और स्थानान्तरण नियम

अध्याय का सार संक्षेप एवं 10 मुख्य निष्कर्ष

मुख्य बिंदु 1

एक समीकरण गणितीय समानता का एक बयान है: एलएचएस = आरएचएस।

मुख्य बिंदु 2

एक चर में एक रैखिक समीकरण की डिग्री सख्ती से 1: $ax + b = 0$ ($a \neq 0$) होती है।

मुख्य बिंदु 3

समाधान (रूट) वेरिएबल का संख्यात्मक मान है जो LHS = RHS बनाता है।

मुख्य बिंदु 4

स्थानान्तरण संक्रियाओं ($+ \leftrightarrow -, \times \leftrightarrow \div$) को उलट कर पदों को समान चिह्न पर स्थानांतरित करता है।

मुख्य बिंदु 5

भिन्नात्मक रैखिक समीकरण $\frac{ax+b}{cx+d} = \frac{p}{q}$ को हल करने के लिए, क्रॉस-गुणा करें: $q(ax+b) = p(cx+d)$।

मुख्य बिंदु 6

जब कोष्ठक के पहले ऋण चिह्न हो, तो विस्तार करते समय उसके अंदर प्रत्येक पद का चिह्न बदल दें।

मुख्य बिंदु 7

हमेशा प्राप्त मान को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करके समाधान की जाँच करें।

मुख्य बिंदु 8

आयु समस्याओं में, वर्तमान आयु $x$ है; आयु $n$ वर्ष पहले $x - n$ है; आयु $n$ वर्ष अब $x + n$ है।

मुख्य बिंदु 9

लगातार पूर्णांक समस्याओं में, पूर्णांकों को $x, x+1, x+2$ (या सम/विषम के लिए $x, x+2, x+4$) होने दें।

मुख्य बिंदु 10

ज्यामितीय समस्याओं में, आयत का परिमाप $= 2(l + b)$ जैसे सूत्रों का उपयोग करें।

स्व-मूल्यांकन अभ्यास (Check Your Understanding)

मूल वैचारिक स्पष्टता की जांच के लिए नैदानिक प्रश्न। पहले स्वयं हल करें, फिर उत्तर देखें।

रैखिक समीकरण को हल करें: $\frac{2x - 3}{4} - \frac{x - 1}{2} = \frac{1}{4} - \frac{x + 2}{3}$.

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: चरण 1: सभी हरों का एलसीएम ज्ञात करें ($4, 2, 3$)। $\text{LCM} = 12$.
सभी भिन्नों को साफ़ करने के लिए दोनों पक्षों के प्रत्येक पद को $12$ से गुणा करें:
$$12 \left( \frac{2x - 3}{4} \right) - 12 \left( \frac{x - 1}{2} \right) = 12 \left( \frac{1}{4} \right) - 12 \left( \frac{x + 2}{3} \right)$$
$$3(2x - 3) - 6(x - 1) = 3(1) - 4(x + 2)$$
चरण 2: वितरण नियम का उपयोग करके सभी कोष्ठकों का विस्तार करें:
$$6x - 9 - 6x + 6 = 3 - 4x - 8$$
चरण 3: दोनों पक्षों के समान पदों को संयोजित करें:
• एलएचएस: $(6x - 6x) + (-9 + 6) = 0 - 3 = -3$
• आरएचएस: $-4x + (3 - 8) = -4x - 5$
चरण 4: $x$ के लिए ट्रांसपोज़िशन द्वारा हल करें:
$$-3 = -4x - 5 \implies 4x = -5 + 3 \implies 4x = -2$$
$$x = \frac{-2}{4} = \mathbf{-\frac{1}{2}}$$।
हर को साफ़ करने, कोष्ठक का विस्तार करने और $x$ के लिए हल करने के लिए प्रत्येक पद को LCM (12) से गुणा करें।

क्रॉस-गुणा का उपयोग करके हल करें: $\frac{5x - 7}{3x + 1} = \frac{2}{3}$।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: चरण 1: भिन्नों को क्रॉस-गुणा करें:
$$3(5x - 7) = 2(3x + 1)$$
चरण 2: कोष्ठक का विस्तार करें:
$$15x - 21 = 6x + 2$$
चरण 3: $6x$ को LHS और $-21$ को RHS में स्थानांतरित करें:
$$15x - 6x = 2 + 21$$
$$9x = 23 \implies \mathbf{x = \frac{23}{9} = 2\frac{5}{9}}$$.
जाँचें: $\text{LHS} = \frac{5(23/9) - 7}{3(23/9) + 1} = \frac{115/9 - 63/9}{69/9 + 9/9} = \frac{52/9}{78/9} = \frac{52}{78} = \frac{2}{3} = \text{RHS}$. सत्यापित!
क्रॉस-गुणा: $3(5x - 7) = 2(3x + 1)$. $15x - 21 = 6x + 2$ तक विस्तृत करें. स्थानांतरित करें और हल करें.

$7$ के तीन लगातार गुणजों का योग $357$ है। तीन गुणज ज्ञात कीजिए।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: मान लें कि $7$ के तीन लगातार गुणज $7x$, $7(x+1)$, और $7(x+2)$ (या $y, y+7, y+14$ जहां $y = 7x$) हैं।
समस्या के अनुसार:
$$y + (y + 7) + (y + 14) = 357$$
$$3y + 21 = 357$$
$21$ को स्थानांतरित करें RHS:
$$3y = 357 - 21 = 336$$
$$y = \frac{336}{3} = 112$$
तीन लगातार गुणज हैं:
• पहला गुणज: $y = \mathbf{112}$
• दूसरा गुणज: $y + 7 = 112 + 7 = \mathbf{119}$
• तीसरा गुणज: $y + 14 = 112 + 14 = \mathbf{126}$
जांचें: $112 + 119 + 126 = 357$. सभी 7 के गुणज हैं!
माना गुणज $y, y+7, y+14$ है। उन्हें जोड़ें: $3y + 21 = 357 \implies 3y = 336 \implies y = 112$.

एक पिता अपने बेटे से 30 वर्ष बड़ा है। 12 वर्ष में, पिता की आयु उसके पुत्र की आयु से दोगुनी होगी। उनकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: माना कि पुत्र की वर्तमान आयु $x\text{ years}$.
है, फिर, पिता की वर्तमान आयु $= (x + 30)\text{ years}$.
चरण 1: 12 वर्ष के बाद की आयु ($12\text{ years hence}$):
पुत्र की आयु $= x + 12\text{ years}$
पिता की आयु $= (x + 30) + 12 = x + 42\text{ years}$
चरण 2: दिए गए अनुसार शर्त:
$$\text{Father's age} = 2 \times (\text{Son's age})$$
$$x + 42 = 2(x + 12)$$
$$x + 42 = 2x + 24$$
चरण 3: $x$ को RHS और $24$ को LHS में स्थानांतरित करें:
$$42 - 24 = 2x - x \implies \mathbf{x = 18}$$
• पुत्र की वर्तमान आयु $= \mathbf{18\text{ years}}$
• पिता की वर्तमान आयु $= 18 + 30 = \mathbf{48\text{ years}}$.
चेक: 12 साल में, बेटा 30 का है, पिता 60 का है ($60 = 2 \times 30$)। सही!
मान लीजिए बेटा $x$ है, पिता $x+30$ है। 12 वर्षों के बाद, $x+42 = 2(x+12)$। $x=18$ के लिए हल करें.

एक आयताकार स्विमिंग पूल की परिधि $154\text{ meters}$ है। इसकी लंबाई इसकी चौड़ाई के दोगुने से $2\text{ meters}$ अधिक है। पूल की लंबाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: मान लीजिए कि पूल की चौड़ाई $b\text{ meters}$.
है, फिर, लंबाई $l = (2b + 2)\text{ meters}$.
एक आयत के लिए परिधि सूत्र: $P = 2(l + b)$
$$2(2b + 2 + b) = 154$$
$$2(3b + 2) = 154$$
दोनों पक्षों को विभाजित करें $2$:
$$3b + 2 = 77$$
$$3b = 77 - 2 = 75 \implies b = \frac{75}{3} = \mathbf{25\text{ meters}}$$
$$\text{Length } l = 2(25) + 2 = 50 + 2 = \mathbf{52\text{ meters}}$$.
चेक करें: $2(52 + 25) = 2(77) = 154\text{ m}$. सही!
माना चौड़ाई $b$ और लंबाई $2b+2$ है। परिधि $2(2b+2+b) = 154 \implies 3b+2 = 77 \implies b=25$.

$\text{Rs. } 800$ का योग $\text{Rs. } 10$ और $\text{Rs. } 20$ नोट्स के रूप में है। यदि नोटों की कुल संख्या $50$ है, तो प्रत्येक मूल्य वर्ग के नोटों की संख्या ज्ञात करें।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: माना $\text{Rs. } 10$ नोटों की संख्या $x$ है।
चूंकि नोटों की कुल संख्या $50$ है, $\text{Rs. } 20$ नोटों की संख्या $= (50 - x)$.
चरण 1: कुल मौद्रिक मूल्य को $x$:
$$\text{Value of Rs. 10 notes} = 10x$$
$$\text{Value of Rs. 20 notes} = 20(50 - x) = 1,000 - 20x$$
के संदर्भ में व्यक्त करेंचरण 2: कुल मूल्य $\text{Rs. } 800$ है:
$$10x + 1,000 - 20x = 800$$
$$-10x + 1,000 = 800$$
$1,000$ को आरएचएस में स्थानांतरित करें:
$$-10x = 800 - 1,000 = -200$$
$$x = \frac{-200}{-10} = \mathbf{20}$$
• $\text{Rs. } 10$ नोटों की संख्या $= \mathbf{20}$
• $\text{Rs. } 20$ नोटों की संख्या $= 50 - 20 = \mathbf{30}$.
चेक करें: $(20 \times 10) + (30 \times 20) = 200 + 600 = \text{Rs. } 800$.
माना कि 10 रुपये के नोट $x$ हैं, 20 रुपये के नोट $50-x$ हैं। समीकरण: $10x + 20(50-x) = 800$.

हल करें: $0.25(4x - 3) = 0.05(10x - 9)$.

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: चरण 1: दशमलव को हटाने के लिए दोनों पक्षों को $100$ से गुणा करें:
$$100 \times 0.25(4x - 3) = 100 \times 0.05(10x - 9)$$
$$25(4x - 3) = 5(10x - 9)$$
दोनों पक्षों को $5$ से विभाजित करें:
$$5(4x - 3) = 1(10x - 9)$$
चरण 2: कोष्ठक का विस्तार करें:
$$20x - 15 = 10x - 9$$
चरण 3: स्थानांतरण $10x$ से एलएचएस और $-15$ से आरएचएस:
$$20x - 10x = -9 + 15$$
$$10x = 6 \implies x = \frac{6}{10} = \mathbf{\frac{3}{5} = 0.6}$$।
दशमलव को साफ़ करने के लिए पूरे समीकरण को 100 से गुणा करें, $25(4x - 3) = 5(10x - 9)$ दें।

"बीजगणितीय अभिव्यक्ति" और "बीजगणितीय समीकरण" के बीच अंतर स्पष्ट करें।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर:

• बीजगणितीय अभिव्यक्ति: बिना किसी समानता चिह्न (उदाहरण के लिए, $3x + 5$) के बिना स्थिरांक, चर और गणितीय ऑपरेटरों ($+, -, \times, \div$) का संयोजन। यह समानता का संबंध नहीं बताता है और $x$ के अद्वितीय मूल्य के लिए इसे "हल" नहीं किया जा सकता है; इसे केवल $x$.
के दिए गए मानों के लिए सरलीकृत या मूल्यांकन किया जा सकता है। यह वेरिएबल को विशिष्ट रूट तक सीमित करता है जो समानता को संतुष्ट करता है।

किसी व्यंजक का कोई समान चिह्न नहीं होता और उसे हल नहीं किया जा सकता ($3x+5$); किसी समीकरण का चिह्न बराबर ($3x+5=20$) होता है और उसका मूल अद्वितीय होता है।

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