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CISCE (ICSE & ISC)
Class 7
Mathematics
अध्याय 19: रैखिक असमिकाएँ (Linear Inequations)

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ICSE • कक्षा 7 • Mathematics • अध्याय 19

अनुमानित समय: 45 Mins

प्रगति: अध्ययनरत

रैखिक असमिकाएँ (Linear Inequations)

आईसीएसई कक्षा 7 गणित में, "रैखिक असमानताएं" गणितीय असमानता संबंधों के समाधान और ग्राफिकल प्रतिनिधित्व का विश्लेषण करने वाला एक आधिकारिक, बीजगणितीय मास्टर अध्ययन गाइड प्रदान करता है। यह व्यापक अध्याय एक असमानता की अवधारणा की पड़ताल करता है (असमानता प्रतीकों को शामिल करने वाले कथन: $, \ge$; प्रपत्र $ax + b < c$ के एक चर में रैखिक असमानता), प्रतिस्थापन सेट / डोमेन ($\mathbb{N}$ [प्राकृतिक संख्याएं], $\mathbb{W}$ [पूर्ण संख्याएं], $\mathbb{Z}$ [पूर्णांक], $\mathbb{R}$ [वास्तविक संख्याएं]), समाधान सेट (प्रतिस्थापन सेट का सबसेट जिसके तत्व असमानता को संतुष्ट करें), असमानता के मौलिक नियम (नियम 1: दोनों पक्षों में समान संख्या जोड़ने या घटाने से असमानता चिह्न संरक्षित रहता है; नियम 2: किसी धनात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता चिह्न सुरक्षित रहता है; महत्वपूर्ण नियम 3: किसी ऋणात्मक संख्या से दोनों पक्षों को गुणा या विभाजित करने पर असमानता चिह्न उलट जाता है: $a < b \implies -a > -b$), स्थानान्तरण द्वारा असमानताओं को हल करना, और ग्राफ़ समाधान सेट चालू एक वास्तविक संख्या रेखा ($\mathbb{N}, \mathbb{W}, \mathbb{Z}$ के लिए बोल्ड सॉलिड डॉट्स $\bullet$ का उपयोग करके असतत तत्वों का प्रतिनिधित्व; $\mathbb{R}$ पर सख्त असमानताओं के लिए खुला सर्कल $\circ$, समावेशी असमानताओं के लिए बंद सर्कल $\bullet$, और छायांकित बोल्ड किरणें) 2026-27 सीआईएससीई पाठ्यक्रम के साथ संरेखित।

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प्रस्तावना अध्याय अवधारणाएँ सूत्र एवं सर्वसमिकाएँ अध्याय सारांश स्व-मूल्यांकन अभ्यास टेस्ट दें

असमानता के दोनों पक्षों को माइनस वन से गुणा करने पर दुनिया की दिशा जादुई दर्पण की तरह क्यों पलट जाती है?

दो सरल संख्याओं पर विचार करें: $3$ और $5$। हर कोई जानता है कि $3 < 5$। लेकिन अब, दोनों पक्षों को $-1$ से गुणा करें: क्या $-3$ $-5$ से कम रहता है? पूर्णांक संख्या रेखा को देखें: $-3$, $-5$ के दाईं ओर स्थित है, जिसका अर्थ है $-3 > -5$! असमानता का चिन्ह पूरी तरह से पलट गया! यह पूरे बीजगणित में सबसे खतरनाक, घातक जाल है: जब भी आप किसी असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या विभाजित करते हैं, तो असमानता का चिह्न उल्टा होना चाहिए! जबकि एक रैखिक समीकरण ($2x = 6$) में केवल एक अद्वितीय मूल ($x = 3$) होता है, एक रैखिक समीकरण ($2x < 6$) समाधानों का एक असीम ब्रह्मांड खोलता है! लेकिन आपका अंतिम उत्तर पूरी तरह से आपके "प्रतिस्थापन सेट" पर निर्भर करता है: यदि आप प्राकृतिक संख्याओं ($\mathbb{N}$) के दायरे में शिकार कर रहे हैं, तो समाधान $\{1, 2\}$ हैं; यदि आप पूर्णांकों ($\mathbb{Z}$) में हैं, तो वे $\{\dots, -2, -1, 0, 1, 2\}$ हैं; और यदि आप वास्तविक संख्याओं ($\mathbb{R}$) में हैं, तो एक संख्या रेखा पर छायांकित तीर से अंकित अनंत संख्याएँ होती हैं! किसी संख्या रेखा पर खुले वृत्त ($\circ$) और ठोस बिंदु ($\bullet$) के बीच क्या अंतर है? आइए रैखिक असमिकाओं में महारत हासिल करें।

यह अध्याय क्यों महत्वपूर्ण है

कंप्यूटर प्रोग्रामिंग (सशर्त आईएफ स्टेटमेंट, लूप सीमा), व्यवसाय संचालन अनुसंधान (बजट बाधाओं के तहत लाभ को अधिकतम करना), गति सीमा, क्रेडिट सीमा और इंजीनियरिंग सुरक्षा मार्जिन में असमानताएं आवश्यक हैं। असमानता चिह्न उत्क्रमण और संख्या-रेखा आलेखन में महारत हासिल करना आईसीएसई गणित की एक अनिवार्य आवश्यकता है।

अध्ययन से पूर्व (आवश्यक ज्ञान)

अध्याय 1 से पूर्णांकों और चिह्न नियमों पर संक्रियाएँ।
अध्याय 10 से स्थानान्तरण द्वारा रैखिक समीकरणों को हल करना।
संख्या रेखा पर संख्याओं को आलेखित करना।

इस अध्याय के लक्ष्य

एक असमानता को परिभाषित करें और असमानता प्रतीकों ($<, \le, >, \ge$) की पहचान करें।
प्रतिस्थापन सेट (डोमेन) और समाधान सेट के बीच अंतर करें।
ऋणात्मक संख्याओं से गुणा या भाग करते समय असमानता उलटने का सुनहरा नियम लागू करें।
व्यवस्थित ट्रांसपोज़िशन का उपयोग करके एक चर में रैखिक असमिकाओं को हल करें।
ग्राफ़ समाधान खुले/ठोस बिंदुओं का उपयोग करके $\mathbb{N}, \mathbb{W}, \mathbb{Z}$ और $\mathbb{R}$ के लिए संख्या रेखा पर सेट करता है।
दोहरी असमानताओं ($a < x \le b$) के साथ बहु-चरण भिन्नात्मक रैखिक असमानताओं को हल करें।

अध्याय रूपरेखा एवं प्रगति

1 1. एक असमानता की अवधारणा और चार असम...

2 2. असमानता के मौलिक सिद्धांत (उलट न...

3 3. स्थानान्तरण द्वारा असमिकाओं को ह...

4 4. संख्या रेखा पर रेखांकन समाधान से...

सम्पूर्ण सैद्धांतिक एवं वैचारिक अध्ययन

1. एक असमानता की अवधारणा और चार असमानता प्रतीक

2. असमानता के मौलिक सिद्धांत (उलट नियम)

3. स्थानान्तरण द्वारा असमिकाओं को हल करना

4. संख्या रेखा पर रेखांकन समाधान सेट

महत्वपूर्ण सूत्र, सर्वसमिकाएँ एवं प्रमेय

स्वर्ण असमानता उत्क्रमण कानून

$$a < b \iff -a > -b \quad (\text{Multiplying or dividing by } -1)$$

असमानता का चिन्ह ऋणात्मक गुणन/विभाजन पर उलट जाता है।

प्रतिस्थापन-समाधान सेट समावेशन

$$\text{Solution Set} \subseteq \text{Replacement Set}$$

समाधान निर्दिष्ट डोमेन के तत्व होने चाहिए.

रैखिक असमानताएँ: उत्क्रमण नियम और संख्या रेखा ग्राफ़

अध्याय का सार संक्षेप एवं 10 मुख्य निष्कर्ष

मुख्य बिंदु 1

एक असमानता में असमानता संबंध प्रतीक होते हैं: $<, \le, >, \ge$।

मुख्य बिंदु 2

रिप्लेसमेंट सेट (डोमेन) वह ब्रह्मांड है जिसमें से वेरिएबल को चुना जा सकता है।

मुख्य बिंदु 3

समाधान सेट प्रतिस्थापन सेट से तत्वों का संग्रह है जो असमानता को संतुष्ट करता है।

मुख्य बिंदु 4

दोनों ओर समान संख्या जोड़ने या घटाने पर असमानता चिह्न सुरक्षित रहता है।

मुख्य बिंदु 5

किसी धनात्मक संख्या से गुणा या भाग देने पर असमानता का चिह्न सुरक्षित रहता है।

मुख्य बिंदु 6

गंभीर: किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता चिह्न ($a < b \implies -a > -b$) उलट जाता है।

मुख्य बिंदु 7

असतत डोमेन ($\mathbb{N}, \mathbb{W}, \mathbb{Z}$) के लिए, संख्या रेखा पर पृथक ठोस बिंदु $\bullet$ प्लॉट करें।

मुख्य बिंदु 8

निरंतर डोमेन ($\mathbb{R}$) के लिए, सख्त असमानता ($<, >$) के लिए एक खुले सर्कल $\circ$ और समावेशी ($\le, \ge$) के लिए बंद बिंदु $\bullet$ का उपयोग करें।

मुख्य बिंदु 9

एक दोहरा असमानता $a \le x < b$ $a$ और $b$ के बीच एक साथ बंधे तत्वों को दर्शाता है।

मुख्य बिंदु 10

समस्या में दिए गए विशिष्ट प्रतिस्थापन सेट के माध्यम से हमेशा अंतिम बीजगणितीय असमानता को फ़िल्टर करें।

स्व-मूल्यांकन अभ्यास (Check Your Understanding)

मूल वैचारिक स्पष्टता की जांच के लिए नैदानिक प्रश्न। पहले स्वयं हल करें, फिर उत्तर देखें।

असमानता को हल करें: $3 - 2x \ge x - 12$, जहां प्रतिस्थापन सेट $x \in \mathbb{W}$ (पूर्ण संख्याएं) है। समाधान सेट लिखें.

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर:

चरण 1: $x$ को LHS और $3$ को RHS में स्थानांतरित करें:

$$3 - 2x \ge x - 12$$

$$-2x - x \ge -12 - 3$$

$$-3x \ge -15$$

चरण 2: दोनों पक्षों को $-3$ से विभाजित करें। असमानता चिह्न को उल्टा करें $\ge$ से $\le$:

$$x \le \frac{-15}{-3} \implies \mathbf{x \le 5}$$

चरण 3: प्रतिस्थापन सेट द्वारा फ़िल्टर करें $\mathbb{W} = \{0, 1, 2, 3, \dots\}$:

$$\text{Solution Set} = \mathbf{\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}}$$

।

$-3x \ge -15$ प्राप्त करने के लिए स्थानांतरण करें। $-3$ से विभाजित करने पर चिह्न $x \le 5$ पर उलट जाता है। पूर्ण संख्याएँ $\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ हैं।

हल करें: $\frac{x}{2} - 5 < \frac{x}{3} - 4$, यह देखते हुए कि $x \in \mathbb{Z}$ (पूर्णांक)। $x$ का सबसे बड़ा पूर्णांक मान क्या है?

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर:

चरण 1: सभी पदों को हर के एलसीएम ($2, 3$) से गुणा करें, जो $6$:

$$6 \left( \frac{x}{2} \right) - 6(5) < 6 \left( \frac{x}{3} \right) - 6(4)$$

$$3x - 30 < 2x - 24$$

है। चरण 2: $2x$ को एलएचएस में और $-30$ को एलएचएस में स्थानांतरित करें। आरएचएस:

$$3x - 2x < -24 + 30$$

$$\mathbf{x < 6}$$

चरण 3: $x \in \mathbb{Z}$ के बाद से, समाधान सेट $\{\dots, 2, 3, 4, 5\}$ है।
• $x$ का सबसे बड़ा पूर्णांक मान $5$ है।

$3x - 30 < 2x - 24 \implies x < 6$ प्राप्त करने के लिए 6 से गुणा करें। 6 से छोटा सबसे बड़ा पूर्णांक 5 है।

दोहरी असमिका को हल करें: $-3 \le 2x - 1 < 5$, दिया गया $x \in \mathbb{R}$ (वास्तविक संख्याएँ)। समाधान सेट को संख्या रेखा पर निरूपित करें।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर:

चरण 1: असमानता के सभी तीन भागों में $1$ जोड़ें:

$$-3 + 1 \le 2x - 1 + 1 < 5 + 1$$

$$-2 \le 2x < 6$$

चरण 2: सभी भागों को $2$ से विभाजित करें (सकारात्मक, चिह्न अपरिवर्तित):

$$\frac{-2}{2} \le \frac{2x}{2} < \frac{6}{2}$$

$$\mathbf{-1 \le x < 3}$$

चरण 3: संख्या रेखा प्रतिनिधित्व:
• $-1$ (शामिल) पर एक ठोस बंद वृत्त ($\\bullet$) बनाएं।
• $3$ (शामिल नहीं) पर एक खुला वृत्त ($\\circ$) बनाएं।
• $-1$ को $3$ से जोड़ने वाला एक मोटा, बोल्ड छायांकित रेखा खंड बनाएं।

सभी पक्षों में 1 जोड़ें ($-2 \le 2x < 6$), 2 से विभाजित करें ($-1 \le x < 3$)। ठोस बिंदु को -1 पर प्लॉट करें, वृत्त को 3 पर खोलें।

यदि प्रतिस्थापन सेट $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, \dots\}$ है, तो इसका समाधान सेट खोजें: $4(x - 1) \le 3(x + 1) + 2$।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: चरण 1: वितरण कानून का उपयोग करके कोष्ठक का विस्तार करें:
$$4x - 4 \le 3x + 3 + 2$$
$$4x - 4 \le 3x + 5$$
चरण 2: $3x$ को एलएचएस और $-4$ को आरएचएस में स्थानांतरित करें:
$$4x - 3x \le 5 + 4$$
$$\mathbf{x \le 9}$$
चरण 3: प्रतिस्थापन सेट द्वारा फ़िल्टर $\mathbb{N}$ (प्राकृतिक संख्याएँ $1$ से शुरू होती हैं):
$$\text{Solution Set} = \mathbf{\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}}$$।
$4x - 4 \le 3x + 5 \implies x \le 9$ तक विस्तृत करें. प्राकृतिक संख्याएँ 1 से शुरू होती हैं, इसलिए समाधान $\{1, 2, \dots, 9\}$ है।

गणितीय प्रमाण के साथ स्पष्ट करें कि किसी असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा करने पर असमानता का प्रतीक क्यों उलट जाता है।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर:

• मान लें कि $a$ और $b$ वास्तविक संख्याएँ हैं जैसे कि $a < b$.
• दोनों तरफ से $b$ घटाएँ:

$$a - b < 0$$

• दोनों तरफ से $a$ घटाएँ:

$$-b < -a \implies \mathbf{-a > -b}$$

ध्यान दें कि $a < b$ से शुरू करके, हम यहाँ पहुँचे हैं $-a > -b$.
इसलिए, दोनों पक्षों को $-1$ से गुणा करने पर असमानता प्रतीक $<$ से $>$ तक उलट जाता है।

दोनों ओर से $(a+b)$ घटाएँ: $a - (a+b) < b - (a+b) \implies -b < -a \implies -a > -b$।

हल करें: $7 - 3x > -2$, यह देखते हुए कि $x \in \mathbb{Z}^+$ (सकारात्मक पूर्णांक)।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर:

चरण 1: $7$ को आरएचएस में स्थानांतरित करें:

$$-3x > -2 - 7$$

$$-3x > -9$$

चरण 2: $-3$ से विभाजित करें और असमानता चिह्न को उल्टा करें:

$$x < \frac{-9}{-3} \implies \mathbf{x < 3}$$

चरण 3: प्रतिस्थापन सेट द्वारा फ़िल्टर करें $\mathbb{Z}^+ = \{1, 2, 3, \dots\}$:

$$\text{Solution Set} = \mathbf{\{1, 2\}}$$

।

$-3x > -9 \implies x < 3$. 3 से बिल्कुल कम धनात्मक पूर्णांक $\{1, 2\}$ हैं।

एक संख्या रेखा पर, वास्तविक संख्या $\mathbb{R}$ के सेट पर $x > 4$ और $x \ge 4$ का प्रतिनिधित्व करने के बीच ग्राफिकल अंतर क्या है?

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर:

• $x > 4$ (सख्त असमानता) के लिए: $4$ पर एक खुला वृत्त ($\\circ$) खींचा जाता है, यह इंगित करने के लिए कि संख्या $4$ को समाधान सेट से बाहर रखा गया है, एक बोल्ड छायांकित तीर दाईं ओर अनंत तक फैला हुआ है।
• $x \ge 4$ (समावेशी असमानता) के लिए: एक ठोस, भरा हुआ बिंदु ($\\bullet$) को $4$ पर खींचा गया है ताकि यह दर्शाया जा सके कि $4$ को समाधान सेट में शामिल किया गया है, जिसमें एक बोल्ड छायांकित तीर दाईं ओर असीमित रूप से फैला हुआ है।

ओपन सर्कल ($\circ$) में समापन बिंदु ($>$) शामिल नहीं है; सॉलिड डॉट ($ullet$) में समापन बिंदु ($\ge$) शामिल है।

वह सबसे छोटा पूर्णांक $x$ ज्ञात कीजिए जो असमिका को संतुष्ट करता है: $5x - 4 > 2(x + 1)$।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर:

चरण 1: कोष्ठक का विस्तार करें:

$$5x - 4 > 2x + 2$$

चरण 2: $2x$ को LHS और $-4$ को RHS में स्थानांतरित करें:

$$5x - 2x > 2 + 4$$

$$3x > 6$$

$$x > \frac{6}{3} \implies \mathbf{x > 2}$$

चूंकि $x \in \mathbb{Z}$ और $x$ सख्ती से इससे बड़े होने चाहिए $2$, सबसे छोटा पूर्णांक $3$ है।

$3x > 6 \implies x > 2$. 2 से पूर्णतः बड़ा सबसे छोटा पूर्णांक 3 है।

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फाउंडेशन टेस्ट

15 MCQs • मूल अवधारणाएँ

एडवांस्ड टेस्ट

15 MCQs • HOTS और ट्रैप्स