माध्यम चुनें / Select Medium:

ICSE • कक्षा 7 • Mathematics • अध्याय 17

अनुमानित समय: 45 Mins

प्रगति: अध्ययनरत

क्षेत्रमिति (Mensuration)

आईसीएसई कक्षा 7 गणित में, "क्षेत्रमिति" दो-आयामी समतल ज्यामितीय आकृतियों की परिधि और क्षेत्र की माप का विश्लेषण करने वाला एक आधिकारिक, कम्प्यूटेशनल मास्टर अध्ययन गाइड प्रदान करता है। यह व्यापक अध्याय आयताकार आकृतियों की परिधि और क्षेत्रफल की खोज करता है (वर्ग: परिधि $= 4s$, क्षेत्रफल $= s^2$, विकर्ण $= s\sqrt{2}$; आयत: परिधि $= 2(l + b)$, क्षेत्रफल $= l \times b$, विकर्ण $= \sqrt{l^2 + b^2}$; समांतर चतुर्भुज: क्षेत्रफल $= \text{Base} \times \text{Height} = b \times h$; त्रिभुज: क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{height} = \frac{1}{2}bh$; समकोण त्रिभुज: क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times p \times b$; समबाहु त्रिभुज: क्षेत्र $= \frac{\sqrt{3}}{4}s^2$), पथों, सीमाओं और बरामदों पर समस्याएं (एक आयताकार क्षेत्र के बाहर चारों ओर चलने वाले एक समान पथ का क्षेत्र, एक क्षेत्र के केंद्र के माध्यम से किनारों के समानांतर चलने वाले चौराहे का क्षेत्र), वृत्त (वृत्त की परिभाषा, त्रिज्या $r$, व्यास $d = 2r$; आर्किमिडीज़ का स्थिरांक $\pi \approx \frac{22}{7} \approx 3.1416$; परिधि) एक वृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$; एक वृत्ताकार वलय/कुंडलाकार पथ का क्षेत्रफल $A = \pi(R^2 - r^2)$; परिधि $= \pi r + 2r$, क्षेत्रफल $= \frac{1}{2}\pi r^2$; एक वृत्त का चतुर्थांश), और वास्तविक-विश्व लागत अनुमान (बाड़ लगाने की लागत $= \text{Perimeter} \times \text{Rate}$; टर्फिंग/पेविंग/कालीन की लागत) $= \text{Area} \times \text{Rate}$) 2026-27 सीआईएससीई पाठ्यक्रम के साथ संरेखित।

अध्याय CBT ऑनलाइन टेस्ट दें सभी अध्याय देखें

प्रस्तावना अध्याय अवधारणाएँ सूत्र एवं सर्वसमिकाएँ अध्याय सारांश स्व-मूल्यांकन अभ्यास टेस्ट दें

एक प्राचीन राजा ने क्षेत्रफल और विस्थापन के गणित का उपयोग करके कैसे परीक्षण किया कि किसी जौहरी ने उसके शाही मुकुट से शुद्ध सोना चुराया है?

तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व में, सिरैक्यूज़ के राजा हिएरो द्वितीय ने एक सुनार को देवताओं के मंदिर के पवित्र मुकुट में ठोकने के लिए शुद्ध सोने की एक गांठ दी थी। जब मुकुट आया तो उसका वजन बिल्कुल सोने के बराबर था! लेकिन राजा को एक धूर्त अपराध का संदेह हुआ: क्या सुनार ने सस्ती चाँदी पिघलाकर शुद्ध सोना अपने पास रख लिया था? राजा हिएरो ने महान गणितज्ञ आर्किमिडीज़ से मुकुट को पिघलाए बिना इसे साबित करने के लिए कहा! सिरैक्यूज़ में एक पूर्ण सार्वजनिक स्नानघर में कदम रखते समय, आर्किमिडीज़ ने देखा कि पानी किनारे तक फैल रहा था। प्रतिभा की चमक में, उन्होंने महसूस किया कि एक पिंड पानी की मात्रा को अपने स्थान के बराबर विस्थापित करता है, आकार की परवाह किए बिना! वह स्नान से बाहर निकला, नग्न अवस्था में सड़कों पर चिल्लाता हुआ भागा "यूरेका! यूरेका!" ("मुझे यह मिल गया!")। लेकिन आर्किमिडीज़ ने मानव इतिहास के सबसे महान सूत्रों में से एक को भी साबित कर दिया: कि एक वृत्त की परिधि और उसके व्यास का अनुपात अमर स्थिरांक $\pi$ है, और एक वृत्त का क्षेत्रफल $\pi r^2$ है! परिधि (बाड़) और क्षेत्र (घास) के बीच क्या अंतर है? आप उद्यान पथ के क्षेत्रफल की गणना कैसे करते हैं? आइए मासिक धर्म में महारत हासिल करें।

यह अध्याय क्यों महत्वपूर्ण है

क्षेत्रमिति सिविल इंजीनियरिंग, वास्तुकला, इंटीरियर डिजाइन फ़्लोरिंग, रियल एस्टेट भूमि मूल्यांकन, कृषि फसल योजना और पैकेजिंग विनिर्माण की व्यावहारिक गणितीय रीढ़ है। आईसीएसई स्कूल परीक्षाओं और व्यावहारिक वयस्क जीवन में 100% अंक प्राप्त करने के लिए परिधि, क्रॉस-पाथवे, सर्कल सीमाओं और लागत दरों की गणना करने का तरीका जानना आवश्यक है।

अध्ययन से पूर्व (आवश्यक ज्ञान)

बुनियादी ज्यामितीय आकृतियाँ: वर्ग, आयत, त्रिकोण, वृत्त।
माप की इकाइयाँ: $\text{cm}, \text{m}, \text{km}$, और रूपांतरण कारक ($1\text{ m}^2 = 10,000\text{ cm}^2, 1\text{ hectare} = 10,000\text{ m}^2$)।
भिन्नों और दशमलवों का गुणा और भाग।

इस अध्याय के लक्ष्य

वर्गों, आयतों, समांतर चतुर्भुजों और त्रिभुजों की परिधि और क्षेत्रफल की गणना करें।
आयताकार भूखंडों के अंदर या बाहर बने एकसमान रास्तों के क्षेत्रफल की गणना करें।
एक पार्क के मध्य से गुजरने वाले आयताकार चौराहे के क्षेत्रफल की गणना करें।
वृत्तों और अर्धवृत्तों के लिए परिधि ($C = 2\pi r$) और क्षेत्रफल ($A = \pi r^2$) सूत्र लागू करें।
संकेंद्रित वृत्तों के बीच बने वृत्ताकार वलय (एनुलस) के क्षेत्रफल की गणना करें।
बाड़ लगाने (परिधि) और टर्फिंग/फर्श (क्षेत्र) की कुल व्यावसायिक लागत का अनुमान लगाएं।

अध्याय रूपरेखा एवं प्रगति

1 1. सीधीरेखीय आकृतियाँ: वर्ग, आयत और...

2 2. त्रिभुजों का क्षेत्रफल: सामान्य...

3 3. रास्ते, सीमाएँ और चौराहे

4 4. वृत्त और अर्धवृत्त: परिधि और वलय

सम्पूर्ण सैद्धांतिक एवं वैचारिक अध्ययन

1. सीधीरेखीय आकृतियाँ: वर्ग, आयत और समांतर चतुर्भुज

2. त्रिभुजों का क्षेत्रफल: सामान्य और विशेष मामले

3. रास्ते, सीमाएँ और चौराहे

4. वृत्त और अर्धवृत्त: परिधि और वलय

महत्वपूर्ण सूत्र, सर्वसमिकाएँ एवं प्रमेय

वृत्त की परिधि एवं क्षेत्रफल

$$C = 2\pi r, \quad A = \pi r^2$$

पाई लगभग 22/7 या 3.1416 है।

वलयाकार वृत्ताकार वलय का क्षेत्रफल

$$A_{\text{ring}} = \pi(R^2 - r^2) = \pi(R + r)(R - r)$$

बाहरी और आंतरिक संकेंद्रित वृत्त क्षेत्रों के बीच अंतर.

क्षेत्रमिति: आकार, रास्ते और वृत्ताकार ज्यामिति

² + b²) • Square (Side s): P = 4s • A = s² = ½ d² • Parallelogram & Triangle: Parallelogram: A = b × h Triangle: A = ½ × b × h • 1 Hectare = 10,000 m² PATHWAYS & BORDERS • Outer Path (Width w): Outer dims: (l + 2w) × (b + 2w) Area = (l+2w)(b+2w) - lb • Inner Path (Width w): Inner dims: (l - 2w) × (b - 2w) Area = lb - (l-2w)(b-2w) • Crossroads in Park: Area = lw + bw - w² (Subtract center square overlap w²) CIRCULAR MEASURES • Circle (Radius r): Circumference C = 2πr = πd Area A = πr² • Semi-Circle Boundary Trap: Perimeter = πr + 2r (MUST add straight diameter 2r!) Area = ½ πr² • Circular Ring (Annulus): Area = π(R² - r²) FENCING COST = PERIMETER × RATE • TURFING/PAVING COST = AREA × RATE

अध्याय का सार संक्षेप एवं 10 मुख्य निष्कर्ष

मुख्य बिंदु 1

परिधि कुल सीमा दूरी है; क्षेत्रफल घिरा हुआ द्वि-आयामी सतह क्षेत्र है।

मुख्य बिंदु 2

आयत: $P = 2(l + b)$ और $A = l \times b$; वर्ग: $P = 4s$ और $A = s^2$.

मुख्य बिंदु 3

एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $\text{Base} \times \text{Height}$ के बराबर होता है।

मुख्य बिंदु 4

किसी भी त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \text{Base} \times \text{Height}$ के बराबर होता है।

मुख्य बिंदु 5

इकाई रूपांतरण: $1\text{ m}^2 = 10,000\text{ cm}^2$; $1\text{ hectare} = 10,000\text{ m}^2$.

मुख्य बिंदु 6

एक आयत के चारों ओर बाहरी मार्ग क्षेत्र: $(l + 2w)(b + 2w) - lb$।

मुख्य बिंदु 7

पार्क से होकर गुजरने वाला चौराहा क्षेत्र: $lw + bw - w^2$ (केंद्रीय वर्ग चौराहा घटाएं)।

मुख्य बिंदु 8

एक वृत्त की परिधि: $C = 2\pi r = \pi d$; क्षेत्र: $A = \pi r^2$ (जहां $\pi \approx 22/7$).

मुख्य बिंदु 9

अर्धवृत्त की परिधि $\pi r + 2r$ है (सीधा व्यास शामिल है)।

मुख्य बिंदु 10

कुंडलाकार गोलाकार वलय का क्षेत्रफल: $\pi(R^2 - r^2) = \pi(R + r)(R - r)$.

स्व-मूल्यांकन अभ्यास (Check Your Understanding)

मूल वैचारिक स्पष्टता की जांच के लिए नैदानिक प्रश्न। पहले स्वयं हल करें, फिर उत्तर देखें।

एक आयताकार पार्क $65\text{ m}$ लंबा और $40\text{ m}$ चौड़ा है। पार्क के बाहर चारों ओर $2.5\text{ m}$ चौड़ा पथ बनाया गया है। $\text{Rs. } 20\text{ per m}^2$ पर पथ का क्षेत्रफल और उस पर बजरी डालने की लागत ज्ञात कीजिए।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: पार्क के आंतरिक आयाम: $l = 65\text{ m}, b = 40\text{ m}$.
$$\text{Area of park} = 65 \times 40 = 2,600\text{ m}^2$$
पथ की चौड़ाई $w = 2.5\text{ m}$.
पथ सहित बाहरी आयाम:
$$\text{Outer length } L = 65 + 2(2.5) = 65 + 5 = 70\text{ m}$$
$$\text{Outer breadth } B = 40 + 2(2.5) = 40 + 5 = 45\text{ m}$$
$$\text{Total outer area} = 70 \times 45 = 3,150\text{ m}^2$$
चरण 1: क्षेत्रफल की गणना करें पथ:
$$\text{Area of path} = 3,150 - 2,600 = \mathbf{550\text{ m}^2}$$
चरण 2: बजरी की लागत की गणना करें:
$$\text{Total Cost} = 550 \times 20 = \mathbf{\text{Rs. } 11,000}$$।
बाहरी आयाम: $70 \times 45 = 3150$. आंतरिक क्षेत्र: $65 \times 40 = 2600$. पथ क्षेत्र: $550\text{ m}^2$. 20 से गुणा करें.

एक वृत्ताकार भूखंड की परिधि $132\text{ meters}$ है. इसका व्यास और क्षेत्रफल ज्ञात करें ($\pi = \frac{22}{7}$ का प्रयोग करें)।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर:

परिधि $C = 2\pi r = 132\text{ m}$.

$$2 \times \frac{22}{7} \times r = 132$$

$$\frac{44}{7} r = 132 \implies r = \frac{132 \times 7}{44} = 3 \times 7 = 21\text{ meters}$$

• व्यास: $d = 2r = 2 \times 21 = \mathbf{42\text{ meters}}$.
• क्षेत्रफल: $A = \pi r^2 = \frac{22}{7} \times 21 \times 21 = 22 \times 3 \times 21 = 66 \times 21 = \mathbf{1,386\text{ m}^2}$.

त्रिज्या ज्ञात करें: $r = (132 \times 7) / 44 = 21\text{ m}$. व्यास $42\text{ m}$ है. क्षेत्रफल $(22/7) \times 21^2 = 1,386\text{ m}^2$ है.

एक तार एक आयत के आकार का है जिसकी लंबाई $40\text{ cm}$ और चौड़ाई $22\text{ cm}$ है। यदि उसी तार को फिर से मोड़कर एक वर्ग का आकार दे दिया जाए तो प्रत्येक भुजा का माप क्या होगा? कौन सी आकृति अधिक क्षेत्रफल घेरती है?

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर:

तार की लंबाई आयत की परिधि के बराबर होती है:

$$\text{Perimeter of rectangle} = 2(l + b) = 2(40 + 22) = 2(62) = 124\text{ cm}$$

जब एक वर्ग में मोड़ा जाता है, तो वर्ग की परिधि $= 124\text{ cm}$:

$$4s = 124 \implies s = \frac{124}{4} = \mathbf{31\text{ cm}}$$

वर्ग की प्रत्येक भुजा $31\text{ cm}$ होती है।
• तुलना करें क्षेत्र:

$$\text{Area of rectangle} = l \times b = 40 \times 22 = 880\text{ cm}^2$$

$$\text{Area of square} = s^2 = 31 \times 31 = 961\text{ cm}^2$$

$961 > 880$ के बाद से, वर्ग अधिक क्षेत्र घेरता है ($81\text{ cm}^2$ तक)।

परिधि $= 124\text{ cm}$. वर्गाकार भुजा $= 124/4 = 31\text{ cm}$. वर्ग क्षेत्रफल ($961$) आयत क्षेत्रफल ($880$) से बड़ा है।

त्रिज्या $14\text{ cm}$ की अर्धवृत्ताकार प्लेट का परिमाप ज्ञात कीजिए ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए)।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर:

अर्धवृत्त की परिधि में घुमावदार चाप और सीधा व्यास शामिल है:

$$\text{Perimeter} = \pi r + 2r$$

$$= \left( \frac{22}{7} \times 14 \right) + (2 \times 14)$$

$$= (22 \times 2) + 28 = 44 + 28 = \mathbf{72\text{ cm}}$$

.
अर्धवृत्ताकार प्लेट की परिधि $72\text{ cm}$ है।

व्यास मत भूलना! फॉर्मूला $\pi r + 2r = 44 + 28 = 72\text{ cm}$ है.

दो चौराहे, प्रत्येक की चौड़ाई $3\text{ m}$, लंबाई $70\text{ m}$ और चौड़ाई $45\text{ m}$ के एक आयताकार पार्क के केंद्र से होकर, इसके किनारों के समानांतर, समकोण पर चलते हैं। चौराहे का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: लंबाई $l = 70\text{ m}, b = 45\text{ m}$, सड़क की चौड़ाई $w = 3\text{ m}$.
• लंबाई के समानांतर सड़क का क्षेत्रफल $= l \times w = 70 \times 3 = 210\text{ m}^2$
• चौड़ाई के समानांतर सड़क का क्षेत्रफल $= b \times w = 45 \times 3 = 135\text{ m}^2$
• सामान्य केंद्रीय चौराहे का क्षेत्रफल $= w \times w = 3 \times 3 = 9\text{ m}^2$
$$\text{Total Area of Crossroads} = 210 + 135 - 9 = 345 - 9 = \mathbf{336\text{ m}^2}$$.
$lw + bw - w^2 = (70 \times 3) + (45 \times 3) - 3^2 = 210 + 135 - 9 = 336\text{ m}^2$ लागू करें.

एक गोलाकार ट्रैक की आंतरिक त्रिज्या $28\text{ m}$ और बाहरी त्रिज्या $35\text{ m}$ होती है। ट्रैक का क्षेत्रफल ज्ञात करें.

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर:

ट्रैक $R = 35\text{ m}$ और $r = 28\text{ m}$:

$$\text{Area of track} = \pi(R^2 - r^2) = \pi(R + r)(R - r)$$

$$= \frac{22}{7} \times (35 + 28) \times (35 - 28)$$

$$= \frac{22}{7} \times 63 \times 7 = 22 \times 63 = \mathbf{1,386\text{ m}^2}$$

.
के साथ एक वलयाकार गोलाकार रिंग बनाता है। ट्रैक का क्षेत्रफल $1,386\text{ m}^2$ है।

वर्गों के अंतर का उपयोग करें: $\pi(R+r)(R-r) = (22/7) \times 63 \times 7 = 22 \times 63 = 1,386\text{ m}^2$.

एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $338\text{ cm}^2$ है. यदि इसकी ऊंचाई संगत आधार से दोगुनी है, तो आधार और ऊंचाई ज्ञात करें।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: मान लीजिए आधार $b\text{ cm}$.
है, फिर ऊंचाई $h = 2b\text{ cm}$.
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $= b \times h$:
$$b \times 2b = 338$$
$$2b^2 = 338 \implies b^2 = \frac{338}{2} = 169$$
$$b = \sqrt{169} = \mathbf{13\text{ cm}}$$
$$\text{Altitude } h = 2(13) = \mathbf{26\text{ cm}}$$.
जांचें: $13 \times 26 = 338\text{ cm}^2$. सही!
$b \times 2b = 338 \implies 2b^2 = 338 \implies b^2 = 169 \implies b = 13\text{ cm}$ सेट करें. ऊंचाई $26\text{ cm}$ है.

यदि पहिए का व्यास $70\text{ cm}$ है तो कार का पहिया $11\text{ km}$ की यात्रा में कितनी बार घूमेगा?

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: चरण 1: एक चक्कर में तय की गई दूरी पहिए की परिधि के बराबर होती है:
$$d = 70\text{ cm} \implies r = 35\text{ cm}$$
$$\text{Circumference } C = 2\pi r = 2 \times \frac{22}{7} \times 35 = 2 \times 22 \times 5 = 220\text{ cm} = 2.2\text{ m}$$
चरण 2: कुल यात्रा दूरी मीटर में:
$$\text{Total Distance } D = 11\text{ km} = 11 \times 1,000\text{ m} = 11,000\text{ m}$$
चरण 3: घुमावों की संख्या:
$$\text{Rotations} = \frac{\text{Total Distance}}{\text{Circumference}} = \frac{11,000}{2.2} = \frac{110,000}{22} = \mathbf{5,000 \text{ rotations}}$$।
परिधि $220\text{ cm} = 2.2\text{ m}$ है. दूरी $11,000\text{ m}$ है. घूर्णन $= 11,000 / 2.2 = 5,000$.

अध्याय का अध्ययन पूर्ण हुआ?

अभ्यास के लिए तैयार?

ऑनलाइन CBT टेस्ट देकर तैयारी का मूल्यांकन करें

झारखण्ड बोर्ड परीक्षा पैटर्न पर आधारित बहुविकल्पीय प्रश्नों का ऑनलाइन टेस्ट दें। तुरंत परिणाम, समय विश्लेषण और प्रत्येक प्रश्न का विस्तृत हल प्राप्त करें।

फाउंडेशन टेस्ट

15 MCQs • मूल अवधारणाएँ

एडवांस्ड टेस्ट

15 MCQs • HOTS और ट्रैप्स