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ICSE • कक्षा 7 • Mathematics • अध्याय 7

अनुमानित समय: 45 Mins

प्रगति: अध्ययनरत

प्रतिशतता (Percentage)

आईसीएसई कक्षा 7 गणित में, "प्रतिशत" प्रति सौ भागों ($x\% = \frac{x}{100}$) की गणितीय अवधारणा का विश्लेषण करने वाला एक आधिकारिक, वाणिज्यिक अंकगणितीय मास्टर अध्ययन गाइड प्रदान करता है। यह व्यापक अध्याय अर्थ और रूपांतरण (प्रतिशत को भिन्न और दशमलव में परिवर्तित करना; भिन्न, दशमलव और अनुपात को प्रतिशत में परिवर्तित करना), एक मात्रा को दूसरे के प्रतिशत के रूप में व्यक्त करना, प्रतिशत वृद्धि और कमी (सूत्र: $\frac{\text{Increase}}{\text{Original}} \times 100\%$ और $\frac{\text{Decrease}}{\text{Original}} \times 100\%$), बढ़े हुए या घटे हुए मूल्य को देखते हुए मूल मूल्य का पता लगाना, वाणिज्यिक अनुप्रयोग: लाभ और हानि (लागत मूल्य [सीपी], बिक्री मूल्य) की पड़ताल करता है। [एसपी], लाभ $= SP - CP$, हानि $= CP - SP$, लाभ $\% = \frac{\text{Profit}}{CP} \times 100$, हानि $\% = \frac{\text{Loss}}{CP} \times 100$), और साधारण ब्याज (मूलधन $[P]$, दर प्रतिशत प्रति वर्ष $[R]$, वर्षों में समय $[T]$, साधारण ब्याज $I = \frac{P \times R \times T}{100}$, कुल राशि $A = P + I$) 2026-27 सीआईएससीई पाठ्यक्रम के साथ संरेखित।

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यदि कोई स्टोर आज कीमतों में 20% की कटौती करता है और फिर कल उन्हें 20% तक बढ़ा देता है, तो आप मूल कीमत के साथ समाप्त क्यों नहीं होते?

अपनी पसंदीदा इलेक्ट्रॉनिक्स दुकान में चलने की कल्पना करें। एक स्मार्टफोन का मूल्य $\text{Rs. } 10,000$ है। दिवाली त्योहार की फ्लैश सेल के दौरान, दुकानदार कीमत में 20% की कटौती करता है! फ़ोन की कीमत अब $\text{Rs. } 8,000$ है। अगले दिन, बिक्री समाप्त हो जाती है, और स्टोर घोषणा करता है: "कीमतें सामान्य स्तर पर 20% बढ़ गईं!" आप इसे खरीदने के लिए $\text{Rs. } 10,000$ निकालते हैं, लेकिन कैशियर अपना सिर हिलाता है: $\text{Rs. } 8,000$ का 20% केवल $\text{Rs. } 1,600$ है, इसलिए नई कीमत $\text{Rs. } 9,600$ है! आपने अभी-अभी $\text{Rs. } 400$ बचाए हैं! 20% की गिरावट के बाद 20% की वृद्धि का परिणाम कम कीमत में कैसे हो सकता है? क्योंकि प्रतिशत की भाषा में, आधार मात्रा जिस पर प्रतिशत की गणना की जाती है वह हर बार बदलती रहती है! लैटिन से प्रतिशत (प्रत्येक सौ में से), प्रतिशत वैश्विक वाणिज्य, बैंकिंग ब्याज दरों, कर गणना और खेल सांख्यिकी पर शासन करता है। लागत मूल्य बनाम विक्रय मूल्य पर गणना किए गए लाभ प्रतिशत के बीच मूलभूत अंतर क्या है? साधारण ब्याज फॉर्मूला ($I = \frac{PRT}{100}$) बैंकिंग ऋणों को कैसे नियंत्रित करता है? आइए प्रतिशत में महारत हासिल करें।

यह अध्याय क्यों महत्वपूर्ण है

प्रतिशत वाणिज्य, व्यक्तिगत बैंकिंग, वेतन वृद्धि, आयकर ब्रैकेट, वैज्ञानिक उपज और डेटा विश्लेषण की सार्वभौमिक भाषा है। लाभ-हानि मार्जिन और साधारण ब्याज गणना में निपुणता आईसीएसई बोर्ड परीक्षाओं और आजीवन वित्तीय साक्षरता में एक मुख्य, उच्च महत्व वाला विषय है।

अध्ययन से पूर्व (आवश्यक ज्ञान)

भिन्न और दशमलव: रूपांतरण और बुनियादी संचालन।
अध्याय 6 से अनुपात और समानुपात।
सरल रैखिक बीजगणितीय समीकरणों को हल करना।

इस अध्याय के लक्ष्य

प्रतिशत, भिन्न, दशमलव और अनुपात के बीच निर्बाध रूप से कनवर्ट करें।
किसी मात्रा के दिए गए प्रतिशत की गणना करें और पता लगाएं कि एक मात्रा दूसरी मात्रा का कितना प्रतिशत है।
मानक सूत्रों का उपयोग करके प्रतिशत वृद्धि और प्रतिशत कमी की गणना करें।
बढ़ा हुआ/घटा हुआ मूल्य प्रदान किए जाने पर मूल मूल्य निर्धारित करें।
लागत मूल्य, विक्रय मूल्य, लाभ, हानि और लाभ/हानि प्रतिशत की गणना करें।
साधारण ब्याज ($I = \frac{PRT}{100}$) और कुल परिपक्वता राशि ($A = P + I$) की गणना करें।

अध्याय रूपरेखा एवं प्रगति

1 1. प्रतिशत और अंतर-रूपांतरण की अवधा...

2 2. प्रतिशत परिवर्तन एवं मूल मान ढूँ...

3 3. वाणिज्यिक अनुप्रयोग: लाभ और हानि

4 4. साधारण ब्याज एवं कुल परिपक्वता र...

सम्पूर्ण सैद्धांतिक एवं वैचारिक अध्ययन

1. प्रतिशत और अंतर-रूपांतरण की अवधारणा

2. प्रतिशत परिवर्तन एवं मूल मान ढूँढना

3. वाणिज्यिक अनुप्रयोग: लाभ और हानि

लाभ और हानि

ए. मौलिक शर्तें:

लागत मूल्य (सीपी): किसी वस्तु का खरीद मूल्य प्लस ओवरहेड व्यय (परिवहन, मरम्मत)।
विक्रय मूल्य (एसपी): वह मूल्य जिस पर कोई वस्तु किसी ग्राहक को बेची जाती है।

बी. लाभ बनाम हानि सूत्र:

शर्त	पूर्ण राशि	प्रतिशत फॉर्मूला (हमेशा सीपी पर!)
लाभ (लाभ): $SP > CP$	$\text{Profit} = SP - CP$	$\text{Profit } \% = \frac{\text{Profit}}{CP} \times 100$
नुकसान: $CP > SP$	$\text{Loss} = CP - SP$	$\text{Loss } \% = \frac{\text{Loss}}{CP} \times 100$

सीपी से एसपी की गणना: $SP = CP \times \left( \frac{100 + \text{Profit } \%}{100} \right)$ या $SP = CP \times \left( \frac{100 - \text{Loss } \%}{100} \right)$.

4. साधारण ब्याज एवं कुल परिपक्वता राशि

महत्वपूर्ण सूत्र, सर्वसमिकाएँ एवं प्रमेय

साधारण ब्याज फार्मूला

$$I = \frac{P \cdot R \cdot T}{100}$$

समय टी को सख्ती से वर्षों में व्यक्त किया जाना चाहिए।

लाभ और हानि प्रतिशत

$$\text{Profit}\% = \frac{SP - CP}{CP} \times 100, \quad \text{Loss}\% = \frac{CP - SP}{CP} \times 100$$

हमेशा लागत मूल्य (सीपी) पर गणना की जाती है।

प्रतिशत आधार, लाभ/हानि और साधारण ब्याज मैट्रिक्स

Percent: per centum (/100) • % → Fraction: Divide by 100 45% = 45/100 = 9/20 • Fraction → %: Multiply by 100 3/8 × 100% = 37.5% • % Change Formula: (Change / Original) × 100% *Denominator ALWAYS original! • Original = New × 100 / (100±x) PROFIT & LOSS • CP = Cost Price • SP = Selling Price • Profit (SP > CP): Profit = SP - CP Profit % = (Profit / CP) × 100 • Loss (CP > SP): Loss = CP - SP Loss % = (Loss / CP) × 100 • Crucial Rule: Both % ALWAYS computed on CP! SIMPLE INTEREST I = (P × R × T) / 100 • P = Principal sum borrowed • R = Rate % per annum (p.a.) • T = Time strictly in YEARS (Months ÷ 12 • Days ÷ 365) Amount: A = P + I • P = (100 × I) / (R × T) • Linear interest without compounding PROFIT% & LOSS% ARE ALWAYS CALCULATED ON CP • SIMPLE INTEREST: I = (PRT)/100

अध्याय का सार संक्षेप एवं 10 मुख्य निष्कर्ष

मुख्य बिंदु 1

प्रतिशत का अर्थ है प्रति सौ ($x\% = \frac{x}{100}$); 100 से गुणा करके प्रतिशत में बदलें।

मुख्य बिंदु 2

प्रतिशत वृद्धि या कमी की गणना हमेशा प्रारंभिक मूल मूल्य पर की जाती है।

मुख्य बिंदु 3

यदि किसी राशि में $x\%$ की वृद्धि की जाती है, तो मूल मान $\frac{\text{New Value}}{100 + x} \times 100$ होता है।

मुख्य बिंदु 4

लाभ तब होता है जब विक्रय मूल्य लागत मूल्य ($SP > CP$) से अधिक हो जाता है; $\text{Profit} = SP - CP$.

मुख्य बिंदु 5

हानि तब होती है जब लागत मूल्य विक्रय मूल्य ($CP > SP$) से अधिक हो जाता है; $\text{Loss} = CP - SP$.

मुख्य बिंदु 6

लाभ% और हानि% की गणना हमेशा लागत मूल्य (सीपी) पर की जाती है, एसपी पर कभी नहीं।

मुख्य बिंदु 7

विक्रय मूल्य सूत्र: $SP = CP \times \frac{100 + P\%}{100}$ और $SP = CP \times \frac{100 - L\%}{100}$।

मुख्य बिंदु 8

साधारण ब्याज: $I = \frac{P \times R \times T}{100}$, जहां समय $T$ को वर्षों में परिवर्तित किया जाना चाहिए।

मुख्य बिंदु 9

परिपक्वता राशि मूलधन और साधारण ब्याज के बराबर होती है: $A = P + I$।

मुख्य बिंदु 10

ब्याज से मूलधन ज्ञात करने के लिए: $P = \frac{100 \times I}{R \times T}$.

स्व-मूल्यांकन अभ्यास (Check Your Understanding)

मूल वैचारिक स्पष्टता की जांच के लिए नैदानिक प्रश्न। पहले स्वयं हल करें, फिर उत्तर देखें।

एक दुकानदार ने $\text{Rs. } 3,600$ में एक साइकिल खरीदी और मरम्मत और परिवहन पर $\text{Rs. } 400$ खर्च किया। उसने इसे $\text{Rs. } 4,600$ में बेच दिया। उसका लाभ या हानि प्रतिशत ज्ञात कीजिये।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: चरण 1: ओवरहेड्स सहित कुल लागत मूल्य की गणना करें:
$$\text{Total CP} = 3,600 + 400 = \text{Rs. } 4,000$$
चरण 2: विक्रय मूल्य $SP = \text{Rs. } 4,600$.
चूंकि $SP > CP$, एक लाभ (लाभ) है:
$$\text{Profit} = SP - CP = 4,600 - 4,000 = \text{Rs. } 600$$
चरण 3: लाभ प्रतिशत की गणना करें (सीपी पर):
$$\text{Gain } \% = \frac{\text{Profit}}{\text{Total CP}} \times 100 = \frac{600}{4,000} \times 100 = \frac{60}{4} = \mathbf{15\%}$$।
कुल सीपी ($4,000$) प्राप्त करने के लिए खरीद मूल्य में मरम्मत लागत जोड़ें, लाभ ($600$) ढूंढें, और $(600/4000) \times 100$ की गणना करें।

एक कलाई घड़ी को $\text{Rs. } 1,440$ में बेचने पर, एक व्यापारी को $10\%$ का नुकसान होता है। $15\%$ हासिल करने के लिए उसे इसे किस कीमत पर बेचना चाहिए?

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: चरण 1: लागत मूल्य (सीपी) ज्ञात करें:
$$SP = \text{Rs. } 1,440, \quad \text{Loss } \% = 10\%$$
$$CP = \frac{SP \times 100}{100 - \text{Loss } \%} = \frac{1,440 \times 100}{90} = 16 \times 100 = \text{Rs. } 1,600$$
चरण 2: $15\%$:
$$SP_{\text{new}} = CP \times \left( \frac{100 + 15}{100} \right) = 1,600 \times \frac{115}{100} = 16 \times 115 = \mathbf{\text{Rs. } 1,840}$$ हासिल करने के लिए आवश्यक एसपी की गणना करें।
पहले मूल सीपी की गणना करें: $1440 \times 100 / 90 = 1,600$। फिर 15% लाभ के लिए नया एसपी खोजें: $1600 \times 1.15 = 1,840$।

$3\text{ years and } 4\text{ months}$ के लिए $7\frac{1}{2}\%$ प्रति वर्ष की दर से $\text{Rs. } 8,000$ पर साधारण ब्याज और कुल राशि की गणना करें।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: मूलधन $P = \text{Rs. } 8,000$
दर $R = 7\frac{1}{2}\% = \frac{15}{2}\% = 7.5\%$
समय $T = 3\text{ years } 4\text{ months} = 3 + \frac{4}{12} = 3 + \frac{1}{3} = \frac{10}{3}\text{ years}$
चरण 1: साधारण ब्याज की गणना करें ($I = \frac{PRT}{100}$):
$$I = \frac{8,000 \times \frac{15}{2} \times \frac{10}{3}}{100} = \frac{8,000 \times 15 \times 10}{100 \times 2 \times 3} = \frac{80 \times 150}{6} = \frac{12,000}{6} = \mathbf{\text{Rs. } 2,000}$$
चरण 2: कुल राशि की गणना करें ($A = P + I$):
$$A = 8,000 + 2,000 = \mathbf{\text{Rs. } 10,000}$$.
समय को वर्षों में बदलें: $3\text{ yrs } 4\text{ mos} = 10/3\text{ years}$. $I = (PRT)/100$ में प्लग करें, फिर $P$ में जोड़ें।

चीनी की कीमत $25\%$ तक बढ़ जाती है। एक परिवार को अपनी खपत कितने प्रतिशत कम करनी चाहिए ताकि चीनी पर कुल व्यय अपरिवर्तित रहे?

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: माना मूल कीमत $\text{Rs. } 100$ प्रति किलोग्राम और मूल खपत $100\text{ kg}$ (कुल व्यय $= \text{Rs. } 10,000$).
नई कीमत $= 100 + 25 = \text{Rs. } 125$ प्रति किलोग्राम.
व्यय को $\text{Rs. } 10,000$ रखने के लिए, नई खपत $= \frac{10,000}{125} = 80\text{ kg}$.
$$\text{Reduction in consumption} = 100 - 80 = 20\text{ kg}$$
$$\text{Percentage Reduction} = \frac{20}{100} \times 100 = \mathbf{20\%}$$.
*(सूत्र: $\frac{R}{100 + R} \times 100\% = \frac{25}{125} \times 100 = 20\%$)*.
सूत्र $\frac{R}{100 + R} \times 100\% = \frac{25}{125} \times 100 = 20\%$ का प्रयोग करें.

साधारण ब्याज के तहत कोई धनराशि $8\text{ years}$ में दोगुनी हो जाती है। प्रति वर्ष दर प्रतिशत क्या है?

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: माना मूल योग $P$ है। यदि पैसा दोगुना हो जाए तो राशि $A = 2P$.
$$\text{Simple Interest } I = A - P = 2P - P = P$$
दिया गया समय $T = 8\text{ years}$. $I = \frac{PRT}{100}$ लागू करें:
$$P = \frac{P \times R \times 8}{100}$$
दोनों पक्षों को $P$ ($P \neq 0$):
$$1 = \frac{8R}{100} \implies 8R = 100 \implies R = \frac{100}{8} = \mathbf{12.5\% \text{ p.a.}}$$ से विभाजित करें।
यदि योग दोगुना हो जाए, तो $I = P$. फिर $P = (P \times R \times 8) / 100 \implies R = 100 / 8 = 12.5\%$.

एक परीक्षा में, $35\%$ छात्र हिंदी में अनुत्तीर्ण हुए, $45\%$ अंग्रेजी में अनुत्तीर्ण हुए, और $20\%$ दोनों विषयों में अनुत्तीर्ण हुए। दोनों विषयों में उत्तीर्ण छात्रों का प्रतिशत ज्ञात कीजिए।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: मान लीजिए $H = \text{Failed in Hindi}$ ($35\%$) और $E = \text{Failed in English}$ ($45\%$).
दोनों $H \cap E = 20\%$ में असफल रहे.
चरण 1: कम से कम एक विषय में असफल होने वाले छात्रों का कुल प्रतिशत:
$$\text{Failed in } H \cup E = 35\% + 45\% - 20\% = 80\% - 20\% = 60\%$$
चरण 2: दोनों विषयों में उत्तीर्ण होने वाले छात्रों का प्रतिशत:
$$\text{Passed in Both} = 100\% - 60\% = \mathbf{40\%}$$.
$35 + 45 - 20 = 60\%$ का उपयोग करके कुल विफल की गणना करें। जो दोनों $= 100 - 60 = 40\%$ उत्तीर्ण हुए।

एक आदमी ने दो कुर्सियाँ $\text{Rs. } 990$ प्रत्येक के हिसाब से बेचीं। एक पर उसने $10\%$ प्राप्त किया, और दूसरे पर उसने $10\%$ खो दिया। पूरे लेन-देन पर उसका कुल लाभ या हानि प्रतिशत ज्ञात कीजिए।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर:

• कुर्सी 1 ($SP = 990, \text{Gain } 10\%$):

$$CP_1 = \frac{990 \times 100}{110} = \text{Rs. } 900$$

• कुर्सी 2 ($SP = 990, \text{Loss } 10\%$):

$$CP_2 = \frac{990 \times 100}{90} = \text{Rs. } 1,100$$

• कुल लेन-देन:

$$\text{Total CP} = 900 + 1,100 = \text{Rs. } 2,000$$

$$\text{Total SP} = 990 + 990 = \text{Rs. } 1,980$$

चूंकि $\text{Total CP} > \text{Total SP}$, कुल मिलाकर है नुकसान:

$$\text{Loss} = 2,000 - 1,980 = \text{Rs. } 20$$

$$\text{Loss } \% = \frac{20}{2,000} \times 100 = \mathbf{1\% \text{ Loss}}$$

.
(शॉर्टकट नियम: जब दो वस्तुएं समान लाभ और हानि प्रतिशत $x$ के साथ एक ही एसपी पर बेची जाती हैं, तो हमेशा $\frac{x^2}{100}\% = \frac{10^2}{100} = 1\%$ का समग्र नुकसान होता है)।

कुल सीपी $= 900 + 1100 = 2000$. कुल एसपी $= 1980$. हानि 20 रुपये है. $(20/2000) \times 100 = 1\%$.

अपने मासिक वेतन का $80\%$ खर्च करने और शेष का $10\%$ दान में देने के बाद, एक व्यक्ति के पास $\text{Rs. } 4,500$ बचता है। उसका मासिक वेतन ज्ञात कीजिए।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर:

माना कुल मासिक वेतन $S$ है।
$80\%$ खर्च करने के बाद, $S = 0.20 S$ में से $= (100 - 80)\% = 20\%$ शेष बचता है।
वह इस शेष का $10\%$ दान में देता है, इसलिए वह शेष का $90\%$ अपने पास रखता है:

$$\text{Amount left} = 90\% \text{ of } (0.20 S) = 0.90 \times 0.20 S = 0.18 S$$

हमें वह दिया जाता है $0.18 S = 4,500$:

$$S = \frac{4,500}{0.18} = \frac{450,000}{18} = \mathbf{\text{Rs. } 25,000}$$

.
उनका मासिक वेतन $\text{Rs. } 25,000$ है।

शेष वेतन का $20\%$ है। शेष का $90\%$ रखने पर वेतन का $0.90 \times 0.20 = 18\%$ मिलता है। $18\% = 4,500$.

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