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ICSE • कक्षा 7 • Mathematics • अध्याय 6
अनुमानित समय: 45 Mins
प्रगति: अध्ययनरत

अनुपात और समानुपात (Ratio and Proportion)

आईसीएसई कक्षा 7 गणित में, "अनुपात और समानुपात" एक ही प्रकार की मात्राओं की गणितीय तुलना का विश्लेषण करने वाला एक आधिकारिक, तुलनात्मक मास्टर अध्ययन गाइड प्रदान करता है। यह व्यापक अध्याय अनुपात की अवधारणा ($a : b = \frac{a}{b}$ जहां $b \neq 0$; पूर्ववर्ती $a$ और परिणामी $b$; आयामहीन प्रकृति; सबसे सरल न्यूनतम शब्दों में अनुपात; एलसीएम या क्रॉस-गुणा के माध्यम से अनुपातों की तुलना और क्रम; किसी दिए गए अनुपात में दी गई मात्रा का विभाजन), अनुपात की अवधारणा (दो अनुपातों की समानता $a : b = c : d$ या $a : b :: c : d$; चरम) की पड़ताल करता है। $a, d$ और साधन $b, c$; क्रॉस-प्रोडक्ट नियम: $\text{Product of Extremes} = \text{Product of Means}$ या $a \cdot d = b \cdot c$; निरंतर अनुपात: $a : b :: b : c$ माध्य आनुपातिक $b = \sqrt{ac}$ और तीसरे आनुपातिक $c = \frac{b^2}{a}$ के साथ), एकात्मक विधि (प्रत्यक्ष भिन्नता [दोनों मात्राएँ अनुपात में बढ़ती या घटती हैं] बनाम व्युत्क्रम भिन्नता [एक मात्रा बढ़ती है जैसे दूसरी घटती है]), और वास्तविक-विश्व अनुप्रयुक्त समस्याएं (पैमाने) मॉडल, मानचित्र, स्पीड-टाइम ट्रेड-ऑफ़ और वाणिज्यिक लागत गणना) 2026-27 सीआईएससीई पाठ्यक्रम के साथ संरेखित।

अध्याय CBT ऑनलाइन टेस्ट दें सभी अध्याय देखें
प्रस्तावना अध्याय अवधारणाएँ सूत्र एवं सर्वसमिकाएँ अध्याय सारांश स्व-मूल्यांकन अभ्यास टेस्ट दें

प्राचीन यूनानी मूर्तिकारों ने एकल जादुई अनुपात का उपयोग करके ऐसी मूर्तियाँ कैसे बनाईं जो देखने में इतनी उत्तम लगती थीं कि लोगों को विश्वास हो गया कि वे जीवित देवता हैं?

लंदन में ब्रिटिश संग्रहालय में घूमें और 447 ईसा पूर्व में पार्थेनन के लिए मास्टर एथेनियन मूर्तिकार फिडियास द्वारा बनाई गई प्राचीन संगमरमर की मूर्तियों की जांच करें। भौंहों का प्रत्येक मोड़, प्रत्येक मांसपेशी, प्रत्येक आर्च लुभावनी सौंदर्य पूर्णता बिखेरता है। फिडियास ने यह अलौकिक सौन्दर्य कैसे प्राप्त किया? उसने अनुमान नहीं लगाया; उन्होंने एक दिव्य गणितीय अनुपात का उपयोग किया! फिडियास ने पता लगाया कि मानव आंखें वस्तुओं को सबसे सामंजस्यपूर्ण रूप में देखती हैं जब आयाम गोल्डन रेशियो का पालन करते हैं: $\phi \approx 1.618 : 1$—वह अनुपात जहां पूरे और बड़े हिस्से का अनुपात बड़े हिस्से और छोटे हिस्से के अनुपात के बराबर होता है! नॉटिलस सीशेल्स के सर्पिल और सूरजमुखी की पंखुड़ियों से लेकर आपके स्मार्टफोन के स्क्रीन आयाम और चेहरे की मोना लिसा तक, अनुपात भौतिक ब्रह्मांड को नियंत्रित करते हैं! प्रत्यक्ष भिन्नता और प्रतिलोम भिन्नता के बीच क्या अंतर है? मीन आनुपातिक क्या है? एकात्मक पद्धति वास्तविक दुनिया की समस्याओं का समाधान कैसे करती है? आइए मास्टर अनुपात और अनुपात के बारे में जानें।

यह अध्याय क्यों महत्वपूर्ण है

अनुपात और अनुपात रसायन विज्ञान (स्टोइकोमेट्रिक दाढ़ अनुपात, निश्चित अनुपात का नियम), भौतिकी (वेग, घनत्व, दबाव अनुपात), वित्त (मुद्रा विनिमय दर, साझेदारी में लाभ-साझाकरण), पाक नुस्खा स्केलिंग और वास्तुशिल्प मानचित्र पैमाने के मॉडल के गणितीय आधार बनाते हैं। आईसीएसई गणित और प्रतियोगी परीक्षाओं के लिए इन अवधारणाओं में महारत हासिल करना अपरिहार्य है।

अध्ययन से पूर्व (आवश्यक ज्ञान)

  • भिन्नों और दशमलवों का गुणा और भाग।
  • प्राकृतिक संख्याओं का HCF और LCM ज्ञात करना।
  • सरल रैखिक समीकरणों को हल करना।

इस अध्याय के लक्ष्य

  • मिलान इकाइयों के साथ अनुपातों को सरलतम रूप में व्यक्त करें और कम करें।
  • किसी दी गई मात्रा को एक निर्दिष्ट अनुपात के अनुसार भागों में विभाजित करें।
  • चरम और साधन नियम ($ad = bc$) का उपयोग करके सत्यापित करें कि दी गई चार संख्याएँ एक अनुपात बनाती हैं या नहीं।
  • चौथे आनुपातिक, तीसरे आनुपातिक और माध्य आनुपातिक ($b = \sqrt{ac}$) की गणना करें।
  • प्रत्यक्ष भिन्नता और व्युत्क्रम भिन्नता परिदृश्यों के बीच अंतर करें।
  • बहु-चरणीय वाणिज्यिक और दर समस्याओं को हल करने के लिए एकात्मक विधि लागू करें।

अध्याय रूपरेखा एवं प्रगति

1 1. अनुपात की अवधारणा एवं सरलतम रूप
2 2. अनुपात और क्रॉस-उत्पाद नियम
3 3. सतत अनुपात एवं माध्य आनुपातिक
4 4. एकात्मक विधि: प्रत्यक्ष बनाम व्य...

सम्पूर्ण सैद्धांतिक एवं वैचारिक अध्ययन

1. अनुपात की अवधारणा एवं सरलतम रूप

समझें
ए. अनुपात क्या है?

ए अनुपात समान प्रकार की और समान इकाइयों की दो मात्राओं की गणितीय तुलना विभाजन द्वारा की जाती है:

$$\text{Ratio of } a \text{ to } b = a : b = \frac{a}{b} \quad (b \neq 0)$$
  • $a$ को पहला पद या Antecedent.
    • कहा जाता है
  • $b$ को दूसरा पद या परिणामी.
    • कहा जाता है
  • आयामहीन मात्रा: एक अनुपात में कोई इकाई नहीं होती है (उदाहरण के लिए, $2\text{ m}$ से $5\text{ m}$ का अनुपात $2 : 5$ है, $2 : 5\text{ m}$ नहीं)।
  • महत्वपूर्ण नियम: अनुपात बनाने से पहले, दोनों मात्राओं को एक ही इकाई में परिवर्तित किया जाना चाहिए! (उदाहरण के लिए, $75\text{ paise}$ से $\text{Rs. } 3 = 75 : 300 = 1 : 4$ का अनुपात).
बी. किसी मात्रा को दिए गए अनुपात में विभाजित करना:

कुल मात्रा $Q$ को $m : n$:

के अनुपात में दो भागों में विभाजित करना $$\text{First Part} = \frac{m}{m + n} \times Q, \quad \text{Second Part} = \frac{n}{m + n} \times Q$$

2. अनुपात और क्रॉस-उत्पाद नियम

आनुपातिक कानून
ए. परिभाषित अनुपात:

दो अनुपातों की समानता को अनुपात कहा जाता है। चार गैर-शून्य मात्राएँ $a, b, c, d$ अनुपात में हैं यदि:

$$a : b = c : d \quad \text{or} \quad a : b :: c : d$$
  • $a$ और $d$ को Extremes (बाहरी शब्द) कहा जाता है।
  • $b$ और $c$ को मीन्स (मध्य पद) कहा जाता है।
  • $d$ को चौथा आनुपातिक से $a, b, c$.
    • कहा जाता है
बी. अनुपात का मौलिक प्रमेय (क्रॉस-प्रोडक्ट नियम):
$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff a \times d = b \times c$$ $$\mathbf{\text{Product of Extremes} = \text{Product of Means}}$$

3. सतत अनुपात एवं माध्य आनुपातिक

निरंतर अनुपात
ए. निरंतर अनुपात:

तीन गैर-शून्य मात्राएँ $a, b, c$ को निरंतर अनुपात में कहा जाता है यदि पहली से दूसरी का अनुपात दूसरे से तीसरे के अनुपात के बराबर हो:

$$a : b :: b : c \iff \frac{a}{b} = \frac{b}{c}$$
  • क्रॉस-गुणा देता है: $b^2 = a \times c$.
  • माध्य आनुपातिक: मध्य पद $b$ को $a$ और $c$ के बीच माध्य आनुपातिक कहा जाता है: $$b = \sqrt{a \times c}$$
  • तीसरा आनुपातिक: शब्द $c$ को $a$ और $b$ का तीसरा आनुपातिक कहा जाता है: $$c = \frac{b^2}{a}$$

4. एकात्मक विधि: प्रत्यक्ष बनाम व्युत्क्रम भिन्नता

एकात्मक विधि

पहले एकल इकाई का मूल्य ज्ञात करने की विधि, और फिर इकाइयों की आवश्यक संख्या का मूल्य ज्ञात करने की विधि:

ए. प्रत्यक्ष भिन्नता (अधिक $\to$ अधिक, कम $\to$ कम):
  • दो मात्राएँ $x$ और $y$ सीधे भिन्न होती हैं यदि $x$ में वृद्धि के कारण $y$ में आनुपातिक वृद्धि होती है ($ rac{x}{y} = k$ स्थिर है)।
  • नियम: इकाई मान ज्ञात करने के लिए $\to$ विभाजित करें; आवश्यक मान ज्ञात करने के लिए $\to$ गुणा करें। (उदाहरण के लिए, 5 पेन की कीमत $\text{Rs. } 50 \implies 1\text{ pen costs } 50/5 = 10 \implies 8\text{ pens cost } 10 \times 8 = \text{Rs. } 80$ है).
बी. व्युत्क्रम भिन्नता (अधिक $\to$ कम, कम $\to$ अधिक):
  • यदि $x$ में वृद्धि के कारण $y$ में आनुपातिक कमी होती है ($x \times y = k$ स्थिर है) तो दो मात्राएँ विपरीत रूप से भिन्न होती हैं।
  • नियम: इकाई मान ज्ञात करने के लिए $\to$ गुणा; आवश्यक मान ज्ञात करने के लिए $\to$ विभाजन!
  • उदाहरण: 6 श्रमिक 10 दिनों में एक दीवार बनाते हैं। 1 कार्यकर्ता $6 \times 10 = 60\text{ days}$ लेता है। इसलिए, 12 कर्मचारी $60 \div 12 = 5\text{ days}$!
    • लेते हैं

महत्वपूर्ण सूत्र, सर्वसमिकाएँ एवं प्रमेय

अनुपात का क्रॉस-उत्पाद नियम
$$a : b :: c : d \iff a \cdot d = b \cdot c$$
अतियों का गुणनफल साधन के गुणनफल के बराबर होता है।
माध्य आनुपातिक सूत्र
$$b = \sqrt{a \cdot c} \quad (\text{when } a : b :: b : c)$$
दो राशियों के बीच का ज्यामितीय माध्य.

अनुपात, समानुपात और प्रत्यक्ष बनाम व्युत्क्रम भिन्नता

Ratio and Proportion: Extremes, Means & Variations RATIO (a : b) • a = Antecedent • b = Consequent • No Units! (Dimensionless) • Must match units before dividing:   75 paise : Rs 3 = 75 : 300 = 1 : 4 • Dividing Quantity Q (m : n):   Part 1 = [m / (m+n)] × Q   Part 2 = [n / (m+n)] × Q • Simplest form when gcd(a, b) = 1 PROPORTION (a : b :: c : d) Product of Extremes = Product of Means a × d = b × c • Continued Proportion (a:b::b:c):   b2 = a × c   Mean Proportional: b = √(ac)   Third Proportional: c = b2 / a • Fourth Proportional: d = (bc) / a UNITARY VARIATIONS • Direct Variation (x/y = k):   More items → More cost   1. Divide for 1 unit • 2. Multiply • Inverse Variation (x × y = k):   More workers → Less days   More speed → Less travel time   1. Multiply for 1 unit!   2. Divide for required units! • Classical work-time problems PROPORTION RULE: a × d = b × c • MEAN PROPORTIONAL b = √(ac)

अध्याय का सार संक्षेप एवं 10 मुख्य निष्कर्ष

मुख्य बिंदु 1
एक अनुपात एक ही प्रकार की दो मात्राओं की तुलना विभाजन द्वारा करता है; इसकी कोई इकाई नहीं है.
मुख्य बिंदु 2
अनुपात ज्ञात करने से पहले हमेशा मात्राओं को समान इकाइयों में परिवर्तित करें।
मुख्य बिंदु 3
अनुपात दो अनुपातों की समानता है: $a : b :: c : d$।
मुख्य बिंदु 4
अनुपात का मौलिक प्रमेय: चरम का उत्पाद = साधनों का उत्पाद ($ad = bc$)।
मुख्य बिंदु 5
निरंतर अनुपात $a : b :: b : c$ में, माध्य आनुपातिक $b = \sqrt{ac}$ है।
मुख्य बिंदु 6
$c$ से $a$ और $b$ का तीसरा आनुपातिक $c = b^2 / a$ द्वारा दिया जाता है।
मुख्य बिंदु 7
प्रत्यक्ष भिन्नता: एक मात्रा में वृद्धि से दूसरे में आनुपातिक वृद्धि होती है ($x/y = k$)।
मुख्य बिंदु 8
व्युत्क्रम भिन्नता: एक मात्रा में वृद्धि दूसरे में आनुपातिक कमी का कारण बनती है ($xy = k$)।
मुख्य बिंदु 9
प्रत्यक्ष भिन्नता में, इकाई मान ज्ञात करने के लिए भाग दें; व्युत्क्रम भिन्नता में, इकाई मान ज्ञात करने के लिए गुणा करें।
मुख्य बिंदु 10
$Q$ को $m : n$ के अनुपात में विभाजित करने के लिए, भाग $\frac{m}{m+n} Q$ और $\frac{n}{m+n} Q$ हैं।

स्व-मूल्यांकन अभ्यास (Check Your Understanding)

मूल वैचारिक स्पष्टता की जांच के लिए नैदानिक प्रश्न। पहले स्वयं हल करें, फिर उत्तर देखें।

1
$45\text{ minutes}$ से $2\text{ hours } 15\text{ minutes}$ के अनुपात को सरलतम न्यूनतम शब्दों में व्यक्त करें।
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर:

चरण 1: दोनों मात्राओं को एक ही इकाई (मिनट) में बदलें:
पहली मात्रा $= 45\text{ minutes}$
दूसरी मात्रा $= 2\text{ hours } 15\text{ minutes} = (2 \times 60) + 15 = 120 + 15 = 135\text{ minutes}$
चरण 2: भिन्न के रूप में व्यक्त करें और $\gcd(45, 135) = 45$ से विभाजित करके कम करें:

$$\frac{45}{135} = \frac{45 \div 45}{135 \div 45} = \frac{1}{3}$$


सबसे सरल रूप में अनुपात $1 : 3$ है।


2 घंटे 15 मिनट को 135 मिनट में बदलें, फिर दोनों को 45 से विभाजित करके $45 / 135$ कम करें।
2
$\text{Rs. } 7,200$ को $A$, $B$ और $C$ के बीच $2 : 3 : 5$ के अनुपात में विभाजित करें।
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर: चरण 1: अनुपात शर्तों का योग ज्ञात करें:
$$\text{Sum of terms} = 2 + 3 + 5 = 10$$
चरण 2: प्रत्येक शेयर की गणना करें:
$$A\text{\ of share} = \frac{2}{10} \times 7,200 = 2 \times 720 = \mathbf{\text{Rs. } 1,440}$$
$$B\text{\ of share} = \frac{3}{10} \times 7,200 = 3 \times 720 = \mathbf{\text{Rs. } 2,160}$$
$$C\text{\ of share} = \frac{5}{10} \times 7,200 = 5 \times 720 = \mathbf{\text{Rs. } 3,600}$$.
जांचें: $1440 + 2160 + 3600 = 7,200$.
अनुपात पदों का योग $= 10$. शेयर $(2/10)$, $(3/10)$, और $(5/10)$ 7,200 के हैं।
3
अनुपात में $x$ का मान ज्ञात कीजिए: $16 : x :: 24 : 36$।
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर:

अनुपात के मौलिक प्रमेय द्वारा:

$$\text{Product of Extremes} = \text{Product of Means}$$


$$16 \times 36 = x \times 24$$


$$24x = 576$$


$$x = \frac{576}{24} = \frac{16 \times 36}{24}$$


8 ​​द्वारा रद्द करें: $\frac{2 \times 36}{3} = 2 \times 12 = \mathbf{24}$
$x$ का मान $24$ है।


$a \times d = b \times c$: $16 \times 36 = x \times 24$ लागू करें. $x$ के लिए हल करें.
4
खोजें: (ए) $9$ और $12$ का तीसरा आनुपातिक, (बी) $4$ और $36$ के बीच का औसत आनुपातिक।
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर:

• (ए) $9$ और $12$ का तीसरा आनुपातिक:
माना कि तीसरा आनुपातिक $c$ है। फिर $9, 12, c$ निरंतर अनुपात में हैं:

$$9 : 12 :: 12 : c \implies \frac{9}{12} = \frac{12}{c}$$


$$9c = 12 \times 12 = 144 \implies c = \frac{144}{9} = \mathbf{16}$$

.
• (बी) $4$ और $36$ के बीच माध्य आनुपातिक:
मान लीजिए माध्य आनुपातिक $b$.

$$b = \sqrt{a \times c} = \sqrt{4 \times 36} = \sqrt{144} = \mathbf{12}$$

है।


तीसरा आनुपातिक $c = b^2 / a = 144 / 9 = 16$ है. माध्य आनुपातिक $\sqrt{4 \times 36} = 12$ है.
5
यदि $15$ पुरुष एक नहर का निर्माण $24\text{ days}$ में पूरा कर सकते हैं, तो $20$ पुरुषों को उसी कार्य को पूरा करने में कितने दिन लगेंगे?
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर:

यह एक विपरीत भिन्नता समस्या है (अधिक पुरुषों को कम दिनों की आवश्यकता होती है):
15 पुरुष $= 24\text{ days}$
1 लेते हैं, एक व्यक्ति $= 15 \times 24 = 360\text{ days}$ लेता है (इकाई मान खोजने के लिए गुणा करें)
20 पुरुष $= \frac{360}{20} = \mathbf{18\text{ days}}$ लेते हैं (आवश्यक मूल्य खोजने के लिए विभाजित करें)।
20 पुरुष $18\text{ days}$ लेंगे।


उलटा भिन्नता: $15 \times 24 = 20 \times d \implies d = 360 / 20 = 18\text{ days}$.
6
प्रत्येक संख्या $6, 15, 20, 43$ में कौन सी संख्या जोड़ी जानी चाहिए ताकि परिणामी संख्याएँ अनुपात में हों?
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर: माना अभीष्ट संख्या $x$ है। संख्याएँ $(6+x), (15+x), (20+x), (43+x)$ अनुपात में हैं:
$$\frac{6 + x}{15 + x} = \frac{20 + x}{43 + x}$$
क्रॉस-गुणा करें:
$$(6 + x)(43 + x) = (15 + x)(20 + x)$$
$$258 + 49x + x^2 = 300 + 35x + x^2$$
दोनों ओर से $x^2$घटाएँ:
$$49x - 35x = 300 - 258$$
$$14x = 42 \implies x = \frac{42}{14} = \mathbf{3}$$.
जांचें: $9 : 18 :: 23 : 46 \implies 1:2 = 1:2$. सही!
$(6+x)(43+x) = (15+x)(20+x)$ सेट करें. $x^2$ शर्तें $14x = 42$ देते हुए रद्द हो जाती हैं।
7
यदि $A : B = 3 : 4$ और $B : C = 8 : 9$, तो मिश्रित अनुपात $A : C$ और संयुक्त अनुपात $A : B : C$ ज्ञात कीजिए।
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर:

• (ए) मिश्रित अनुपात $A : C$:

$$\frac{A}{C} = \frac{A}{B} \times \frac{B}{C} = \frac{3}{4} \times \frac{8}{9} = \frac{1 \times 2}{1 \times 3} = \frac{2}{3} \implies \mathbf{A : C = 2 : 3}$$


• (बी) संयुक्त अनुपात $A : B : C$:
सामान्य पद $B$ को दोनों अनुपातों में समान बनाएं।
$A : B$, $B = 4$ में। $B : C$ में, $B = 8$.
पहले अनुपात को $2$ से गुणा करें:

$$A : B = (3 \times 2) : (4 \times 2) = 6 : 8$$


$$B : C = 8 : 9$$


चूंकि $B$ अब समरूप है ($8$), संयोजित करें:

$$\mathbf{A : B : C = 6 : 8 : 9}$$

.


$A : B$ को 2 से गुणा करें ताकि $B$ दोनों अनुपातों में 8 हो जाए, जिससे $6 : 8 : 9$ प्राप्त होगा।
8
भौगोलिक मानचित्र का पैमाना $1 : 25,000,000$ होता है। यदि मानचित्र पर दो शहर $4.8\text{ cm}$ की दूरी पर हैं, तो उनके बीच की वास्तविक दूरी किलोमीटर में ज्ञात करें।
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर:

मानचित्र स्केल $= 1\text{ cm}$ जमीन पर $25,000,000\text{ cm}$ को दर्शाता है।

$$\text{Actual Distance} = 4.8 \times 25,000,000\text{ cm} = 120,000,000\text{ cm}$$


सेंटीमीटर को किलोमीटर में बदलें ($1\text{ m} = 100\text{ cm}$, $1\text{ km} = 1,000\text{ m} \implies 1\text{ km} = 100,000\text{ cm}$):

$$\text{Distance in km} = \frac{120,000,000}{100,000} = \mathbf{1,200\text{ km}}$$

.
दोनों शहरों के बीच वास्तविक दूरी $1,200\text{ kilometers}$ है।


$4.8$ को $25,000,000\text{ cm}$ से गुणा करें, फिर सेंटीमीटर को किलोमीटर में बदलने के लिए $100,000$ से विभाजित करें।
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