परिमेय संख्याएँ (Rational Numbers)

ए. स्वयंसिद्ध परिभाषा:

A परिमेय संख्या कोई भी संख्या है जिसे इस रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

• $p$ संख्याक है (धनात्मक, ऋणात्मक या शून्य हो सकता है)।
• $q$ भाजक है (एक गैर-शून्य पूर्णांक होना चाहिए)।
• परिमेय संख्याओं के रूप में पूर्णांक: प्रत्येक पूर्णांक $n \in \mathbb{Z}$ एक परिमेय संख्या है क्योंकि इसे हर 1: $n = \frac{n}{1}$ (जैसे, $-7 = \frac{-7}{1}$, $0 = \frac{0}{1}$) के साथ लिखा जा सकता है।

बी. परिमेय संख्या का मानक रूप:

एक परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ को मानक रूप में कहा जाता है यदि और केवल यदि:

1. इसका हर $q$ एक धनात्मक पूर्णांक ($q > 0$) है। (यदि नकारात्मक है, तो अंश और हर दोनों को $-1$: $\frac{5}{-8} = \frac{-5}{8}$ से गुणा करें)।
2. अंश $p$ और हर $q$ में 1 के अलावा कोई सामान्य गुणनखंड नहीं है (अर्थात, वे सहअभाज्य हैं: $\gcd(|p|, q) = 1$)।

ए. समतुल्य परिमेय संख्याएँ:

किसी भी गैर-शून्य पूर्णांक के लिए $m \neq 0$:

उदाहरण: $\frac{-3}{5}$ के समतुल्य रूप $\frac{-6}{10}, \frac{-9}{15}, \frac{-12}{20}$ हैं.

बी. दो परिमेय संख्याओं की तुलना:

• विधि 1: क्रॉस-गुणा:

  दोनों संख्याओं को परिवर्तित करें ताकि उनके हर सकारात्मक हों: $\frac{a}{b}$ और $\frac{c}{d}$ ($b, d > 0$ के साथ)। क्रॉस-उत्पादों $a \cdot d$ और $b \cdot c$:

  की गणना करें
  • यदि $a \cdot d > b \cdot c \implies \frac{a}{b} > \frac{c}{d}$
  • यदि $a \cdot d = b \cdot c \implies \frac{a}{b} = \frac{c}{d}$
  • यदि $a \cdot d < b \cdot c \implies \frac{a}{b} < \frac{c}{d}$
• विधि 2: सामान्य भाजक (एलसीएम): दोनों भिन्नों को धनात्मक $\text{LCM}(b, d)$ के साथ व्यक्त करें और उनके अंशों की सीधे तुलना करें।

पूर्णांकों के विपरीत (जहाँ 4 और 5 के बीच शून्य पूर्णांक होते हैं), परिमेय संख्याओं में घनत्व गुण होता है: किन्हीं दो अलग-अलग परिमेय संख्याओं के बीच, अनंत संख्या में परिमेय संख्याएँ मौजूद होती हैं!

परिमेय संख्याएँ ज्ञात करने की दो व्यवस्थित विधियाँ $n$परिमेय संख्याएँ:

• विधि 1: समतुल्य विभाजक स्केलिंग:

  $\frac{1}{3}$ और $\frac{1}{2}$ के बीच 5 परिमेय संख्याएँ खोजने के लिए:

  1. 3 और 2 ($= 6$) के एलसीएम का उपयोग करके हर को बराबर बनाएं: $\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$ और $\frac{1}{2} = \frac{3}{6}$.
  2. चूंकि हमें 5 संख्याओं की आवश्यकता है, दोनों को $5 + 1 = 6$:
     से मापें $$\frac{2 \times 6}{6 \times 6} = \frac{12}{36}, \quad \frac{3 \times 6}{6 \times 6} = \frac{18}{36}$$
  3. 5 आवश्यक संख्याएँ हैं: $\mathbf{\frac{13}{36}, \frac{14}{36}, \frac{15}{36}, \frac{16}{36}, \frac{17}{36}}$.
• विधि 2: माध्य/औसत विधि: $x$ और $y$ के ठीक बीच में स्थित परिमेय संख्या $m = \frac{x + y}{2}$.
है

ए. जोड़ और घटाव:

बी. गुणा एवं भाग (व्युत्क्रम):

• गुणा: अंशों को एक साथ और हर को एक साथ गुणा करें: $$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}$$
• गुणात्मक व्युत्क्रम (व्युत्क्रम): एक गैर-शून्य परिमेय संख्या $\frac{a}{b}$ का व्युत्क्रम $\frac{b}{a}$ है क्योंकि $\frac{a}{b} \times \frac{b}{a} = 1$। (नोट: $0$ का कोई व्युत्क्रम नहीं है!).
• भाग: किसी परिमेय संख्या से भाग देने के लिए, उसके व्युत्क्रम से गुणा करें: $$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c} \quad (c \neq 0)$$