त्रिविमीय आकारों का द्विविमीय निरूपण (Representing 3D in 2D)

यूलर का फॉर्मूला कहता है: $F + V - E = 2$.
दिया गया: $F = 20$, $V = 12$.

$$20 + 12 - E = 2$$

§

$$32 - E = 2$$

$$E = 32 - 2 = \mathbf{30}$$

.
पॉलीहेड्रॉन (एक इकोसाहेड्रोन) में $30\text{ edges}$ होता है।

यूलर के फॉर्मूला $F + V - E = 2$:
का उपयोग करके जाँच करें: $F = 10, V = 15, E = 20$.

$$\text{LHS} = F + V - E = 10 + 15 - 20 = 25 - 20 = 5$$

चूंकि $\text{LHS} = 5 \neq 2$, यह यूलर के फॉर्मूला का उल्लंघन करता है।
इसलिए, ऐसा कोई बहुफलक मौजूद नहीं हो सकता!

एक षट्कोणीय प्रिज्म में ऊपर और नीचे के आधारों के रूप में दो नियमित षट्भुज होते हैं, और 6 आयताकार पार्श्व फलक होते हैं:
• फलक ($F$): 2 षट्कोणीय आधार + 6 आयताकार फलक $= \mathbf{8\text{ faces}}$.
• शीर्ष ($V$): शीर्ष आधार पर 6 + निचले आधार पर 6 $= \mathbf{12\text{ vertices}}$.
• किनारे ($E$): 6 ऊपर + 6 नीचे + 6 ऊर्ध्वाधर $= \mathbf{18\text{ edges}}$.
• यूलर सत्यापन:

$$F + V - E = 8 + 12 - 18 = 20 - 18 = \mathbf{2}$$

.
यूलर का सूत्र सत्यापित है!

• प्रिज्म: एक बहुफलक जिसमें दो सर्वांगसम, समानांतर बहुभुज आधार (ऊपर और नीचे) होते हैं, और इसके सभी पार्श्व पार्श्व फलक समानांतर चतुर्भुज या आयत होते हैं।
उदाहरण: त्रिकोणीय प्रिज्म, घनाकार (आयताकार प्रिज्म), षट्कोणीय प्रिज्म।
• पिरामिड: एक बहुफलक इसका केवल एक बहुभुज आधार है, और इसके सभी पार्श्व पार्श्व फलक त्रिकोण हैं जो एक ही उभयनिष्ठ शीर्ष (शीर्ष) पर मिलते हैं।
उदाहरण: वर्गाकार पिरामिड (गीज़ा का महान पिरामिड), टेट्राहेड्रोन (त्रिकोणीय पिरामिड)।

• नेट: जुड़े हुए समतल फलकों का एक सपाट द्वि-आयामी ज्यामितीय पैटर्न जिसे 3-आयामी ठोस आकार बनाने के लिए किनारों के साथ मोड़ा जा सकता है।
• एक बंद सिलेंडर का नेट: तीन घटकों से मिलकर बनता है:
1। एक आयत अनियंत्रित घुमावदार पार्श्व सतह (जहां लंबाई $= 2\pi r$ और चौड़ाई $= h$) का प्रतिनिधित्व करता है।
2। दो समान वृत्त (त्रिज्या $r$ के) आयत के विपरीत किनारों से जुड़े हुए हैं, जो ऊपर और नीचे के गोलाकार आधारों का प्रतिनिधित्व करते हैं।

• तिरछा रेखाचित्र:
- मानक वर्गाकार ग्राफ़ पेपर पर खींचा गया।
- सामने का चेहरा इसके सही ज्यामितीय आकार और सटीक आयामों के साथ खींचा गया है।
- घटती गहराई के किनारों को एक तिरछे कोण (आमतौर पर $45^\circ$) पर खींचा जाता है, लेकिन वास्तविक पैमाने पर नहीं खींचा जाता है।
• आइसोमेट्रिक स्केच:
- त्रिकोणीय ग्रिड बिंदुओं के साथ आइसोमेट्रिक डॉट पेपर पर बनाया गया।
- तीन अक्ष $120^\circ$ (क्षैतिज से $30^\circ$) के समान कोण पर झुके हुए हैं।
- सही पैमाना: सभी माप (लंबाई, चौड़ाई, ऊंचाई) उनके वास्तविक पैमाने के बिल्कुल आनुपातिक में खींचे गए हैं।

तीन ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण दृश्य हैं:
1. सामने का दृश्य (ऊंचाई): सीधे सामने से देखने पर वस्तु कैसी दिखती है (एक ईंट के लिए, लंबाई $\times$ ऊंचाई का एक आयत)।
2। साइड व्यू (अंत ऊंचाई): सीधे साइड से देखने पर वस्तु कैसी दिखती है (एक ईंट के लिए, चौड़ाई $\times$ ऊंचाई का एक आयत)।
3। शीर्ष दृश्य (योजना): सीधे ऊपर से देखने पर वस्तु कैसी दिखती है (एक ईंट के लिए, लंबाई $\times$ चौड़ाई का एक आयत)।

• परिभाषा के अनुसार, एक बहुफलक एक 3D ठोस है जो पूरी तरह से सपाट बहुभुज चेहरों (आयत, त्रिकोण, वर्ग, आदि) से घिरा होता है जो सीधी रेखा के किनारों पर मिलते हैं।
• एक सिलेंडर में चिकनी, निरंतर घुमावदार पार्श्व सतह होती है, और इसके दो आधार वृत्त होते हैं (जो घुमावदार आकार होते हैं, बहुभुज नहीं)।
• क्योंकि इसमें घुमावदार सतह होती है और कोई सीधी नहीं होती बहुभुज किनारों, एक सिलेंडर एक बहुफलक नहीं है।