समुच्चय (Sets)

ए. सेट क्या है?

A Set अलग-अलग वस्तुओं का अच्छी तरह से परिभाषित संग्रह है:

• "अच्छी तरह से परिभाषित" मानदंड: एक स्पष्ट, सार्वभौमिक नियम होना चाहिए जो किसी को भी निश्चित रूप से यह तय करने की अनुमति देता है कि कोई विशिष्ट वस्तु संग्रह से संबंधित है या नहीं।
  • मान्य सेट: "अंग्रेजी वर्णमाला में स्वर" $\to$ निश्चित संग्रह $\{a, e, i, o, u\}$.
  • एक सेट नहीं: "भारत के पांच सबसे प्रतिभाशाली अभिनेता" $\to$ व्यक्तिपरक राय; अच्छी तरह से परिभाषित नहीं!
• तत्व/सदस्य: किसी समुच्चय से संबंधित वस्तुओं को तत्व कहा जाता है। यदि $x$ सेट $A$ का एक तत्व है, तो हम $x \in A$ लिखते हैं ("$x$ $A$ से संबंधित है")। यदि नहीं, $x \notin A$.
• तत्व विशिष्ट हैं (कोई डुप्लिकेट नहीं) और सूचीकरण का क्रम मायने नहीं रखता ($\{1, 2, 3\} = \\{3, 1, 2\}$).

बी. प्रतिनिधित्व के तीन तरीके:

1. 1. विवरण विधि: उद्धरण या पाठ के अंदर शब्दों में अच्छी तरह से परिभाषित नियम बताना (उदाहरण के लिए, $A = \text{Set of prime numbers less than 10}$).
2. 2. रोस्टर / सारणीबद्ध फॉर्म: सभी तत्वों को स्पष्ट रूप से सूचीबद्ध करना, अल्पविराम से अलग करना, घुंघराले ब्रेसिज़ के भीतर संलग्न करना $\{ \}$: $$A = \{2, 3, 5, 7\}$$
3. 3. सेट-बिल्डर / नियम प्रपत्र: सभी तत्वों द्वारा साझा की गई विशेषता संपत्ति $P(x)$ बताते हुए: $$A = \{x : x \text{ is a prime number and } x < 10\}$$ (इस प्रकार पढ़ें: "सभी $x$ का समुच्चय इस प्रकार है कि $x$ 10 से कम एक अभाज्य संख्या है")।

ए. सेट के प्रकार:

• 1. परिमित सेट: एक सेट जिसमें तत्वों की गणनीय, सीमित संख्या होती है (उदाहरण के लिए, सप्ताह के दिन, $n(A) = 7$)।
• 2. अनंत सेट: एक सेट जिसमें अनंत संख्या में तत्व होते हैं (उदाहरण के लिए, $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, \dots\}$).
• 3. खाली / शून्य / शून्य सेट ($\emptyset$ या $\{ \}$): एक सेट जिसमें शून्य तत्व होते हैं (जैसे, $\{x : x \in \mathbb{N} \text{ and } 2 < x < 3\} = \emptyset$)। (नोट: $\{0\}$ खाली नहीं है; यह एक सिंगलटन सेट है जिसमें 0 है!)।
• 4. सिंगलटन सेट: एक सेट जिसमें बिल्कुल एक तत्व होता है (जैसे, $\{0\}, \{5\}$).
• 5. यूनिवर्सल सेट ($U$ या $\xi$): एक विशिष्ट समस्या के लिए विचाराधीन सभी वस्तुओं से युक्त व्यापक मास्टर सेट।

बी. प्रमुखता, समतुल्य समुच्चय बनाम समान समुच्चय:

• कार्डिनल संख्या $n(A)$: एक परिमित सेट में अलग-अलग तत्वों की कुल संख्या $A$.
• समतुल्य समुच्चय ($A \leftrightarrow B$): दो परिमित समुच्चय जिनमें तत्वों की बिल्कुल समान संख्या है: $n(A) = n(B)$। (जैसे, $A = \{a, b, c\}$, $B = \{1, 2, 3\} \implies n(A) = n(B) = 3$).
• समान सेट ($A = B$): ऑर्डर की परवाह किए बिना बिल्कुल समान समान तत्व वाले दो सेट। ($A = B \implies A \leftrightarrow B$, लेकिन समतुल्य समुच्चय आवश्यक रूप से समान नहीं हैं!)।

C. सबसेट ($A \subseteq B$) और पावर सेट:

• $A$ $B$ ($A \subseteq B$) का एक उपसमुच्चय है यदि $A$ का प्रत्येक तत्व $B$.
का एक तत्व भी है
• उचित उपसमुच्चय ($A \subset B$): $A \subseteq B$ और $A \neq B$ (यानी, $B$ में कम से कम एक तत्व शामिल है जो $A$ में नहीं है)।
• दो सार्वभौमिक उपसमुच्चय सिद्धांत:
  1. खाली सेट प्रत्येक सेट का एक उपसमुच्चय है: $\emptyset \subseteq A$.
  2. प्रत्येक सेट एक स्वयं का उपसमुच्चय है: $A \subseteq A$.
• कुल उपसमुच्चय सूत्र: $n$ तत्वों वाले एक सेट में $2^n$ उपसमुच्चय और $2^n - 1$ उचित उपसमुच्चय होते हैं।

यूनिवर्सल सेट $U$:

1. समुच्चयों का संघ ($A \cup B$):

सभी तत्वों का सेट जो $A$, या $B$, या दोनों से संबंधित हैं:

उदाहरण: $\{1, 2, 3\} \cup \{3, 4, 5\} = \{1, 2, 3, 4, 5\}$.

2. सेटों का प्रतिच्छेदन ($A \cap B$):

$A$ और $B$ दोनों के लिए सामान्य तत्वों का सेट:

उदाहरण: $\{1, 2, 3\} \cap \{3, 4, 5\} = \{3\}$. यदि $A \cap B = \emptyset$, तो सेट को डिसजॉइंट सेट.

3. सेट का अंतर ($A - B$):

तत्वों का समूह जो $A$ से संबंधित हैं लेकिन $B$ से संबंधित नहीं हैं:

उदाहरण: $\{1, 2, 3, 4\} - \{3, 4, 5\} = \{1, 2\}$. (नोट: $A - B \neq B - A$).

4. एक सेट का पूरक ($A'$ या $A^c$):

सार्वभौमिक सेट $U$ में सभी तत्वों का सेट जो $A$ से संबंधित नहीं है:

ए. वेन आरेख (जॉन वेन):

• यूनिवर्सल सेट ($U$) को एक बड़े आयत द्वारा दर्शाया गया है।
• उपसमुच्चय ($A, B$) को आयत के अंदर खींचे गए संलग्न वृत्तों द्वारा दर्शाया गया है। ओवरलैपिंग क्षेत्र चौराहे का प्रतिनिधित्व करते हैं $A \cap B$.

बी. कार्डिनैलिटी जोड़ प्रमेय:

किन्हीं दो परिमित समुच्चयों के लिए $A$ और $B$:

$n(A \cap B)$ क्यों घटाएं? क्योंकि सामान्य प्रतिच्छेदन में तत्वों को दो बार गिना जाता है - एक बार $n(A)$ में और एक बार $n(B)$ में। प्रतिच्छेदन घटाने से दोहरी गिनती रोकी जाती है!

यदि $A$ और $B$ असंयुक्त समुच्चय ($A \cap B = \emptyset$) हैं, तो: