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CISCE (ICSE & ISC)
Class 7
Mathematics
अध्याय 8: चाल, दूरी और समय (Speed, Distance and Time)

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ICSE • कक्षा 7 • Mathematics • अध्याय 8

अनुमानित समय: 45 Mins

प्रगति: अध्ययनरत

चाल, दूरी और समय (Speed, Distance and Time)

आईसीएसई कक्षा 7 गणित में, "गति, दूरी और समय" एक समान गति को नियंत्रित करने वाले गणितीय संबंधों का विश्लेषण करने वाला एक आधिकारिक, गतिज मास्टर अध्ययन गाइड प्रदान करता है। यह व्यापक अध्याय मौलिक संबंधों (प्रति इकाई समय में तय की गई दूरी के रूप में गति: $S = \frac{D}{T}$, $D = S \times T$, $T = \frac{D}{S}$), इकाई रूपांतरण (महत्वपूर्ण पैमाने के कारक: $\text{km/h} \to \text{m/s}$ को $\frac{5}{18}$ से गुणा करके परिवर्तित करना, और $\text{m/s} \to \text{km/h}$ को $\frac{18}{5}$ से गुणा करके परिवर्तित करना), औसत गति (मल्टी-लेग यात्राओं पर गणना: $\text{Average Speed} = \frac{\text{Total Distance Traveled}}{\text{Total Time Taken}}$; हार्मोनिक माध्य) की खोज करता है। समान बाहर और वापसी की दूरी के लिए सूत्र $\frac{2xy}{x+y}$), ट्रेनों की गति (एक ट्रेन एक स्थिर बिंदु वस्तु जैसे ध्रुव/व्यक्ति को पार करती है: तय की गई दूरी ट्रेन की लंबाई के बराबर होती है; एक ट्रेन एक प्लेटफॉर्म/पुल/सुरंग जैसी लंबी स्थिर वस्तु को पार करती है: तय की गई दूरी ट्रेन की लंबाई और प्लेटफॉर्म की लंबाई के बराबर होती है), सापेक्ष गति (विपरीत दिशाओं में चलने वाले निकाय: सापेक्ष गति $= S_1 + S_2$; एक ही दिशा में चलने वाले निकाय: सापेक्ष गति $= |S_1 - S_2|$), और वास्तविक-विश्व अनुप्रयुक्त समस्याएं (बैठक का समय, ओवरटेक समस्याएं, रेस ट्रैकिंग) 2026-27 सीआईएससीई पाठ्यक्रम के साथ संरेखित।

अध्याय CBT ऑनलाइन टेस्ट दें सभी अध्याय देखें

प्रस्तावना अध्याय अवधारणाएँ सूत्र एवं सर्वसमिकाएँ अध्याय सारांश स्व-मूल्यांकन अभ्यास टेस्ट दें

72 किमी/घंटा की गति से चलने वाला 18-पहिया ट्रक और 20 मीटर/सेकेंड की गति से चलने वाले धावक को कैसे पता चला कि वे बिल्कुल समान गति से चल रहे थे?

एक राजमार्ग के किनारे खड़े होने की कल्पना करें। एक विशाल 18-पहिया ट्रक अपने स्पीडोमीटर रीडिंग $72\text{ km/h}$ के साथ आगे बढ़ता है। एक समानांतर ट्रैक पर, एक ओलंपिक एथलीट $20\text{ meters per second}$ पर दौड़ता है। एक अप्रशिक्षित पर्यवेक्षक के लिए, 72, 20 से बहुत अधिक लगता है! लेकिन इकाइयों को परिवर्तित करें: $72\text{ km/h} = 72 \times \frac{5}{18} = \mathbf{20\text{ m/s}}$! वे बिल्कुल समान भौतिक वेग से साथ-साथ चल रहे हैं! किलोमीटर प्रति घंटे और मीटर प्रति सेकंड के बीच रूपांतरण कारक सटीक $\frac{5}{18}$ क्यों है? यदि आप अपने मित्र के घर $60\text{ km/h}$ पर गाड़ी चलाते हैं और $40\text{ km/h}$ पर उसी सड़क पर वापस जाते हैं, तो आपकी औसत गति $50\text{ km/h}$ नहीं, बल्कि $48\text{ km/h}$ क्यों है? जब $200\text{-meter}$ यात्री ट्रेन $300\text{-meter}$ रेलवे पुल को पार करती है तो दूरी का क्या होता है? आइए गति, दूरी और समय की गतिकी में महारत हासिल करें।

यह अध्याय क्यों महत्वपूर्ण है

गति, दूरी और समय की समस्याएं आईसीएसई स्कूल परीक्षाओं, एनटीएसई, बैंकिंग योग्यता और इंजीनियरिंग भौतिकी में सबसे अधिक परीक्षण किए जाने वाले विषयों में से हैं। वे यात्रा के समय, ईंधन दक्षता, सापेक्ष वेग और जीपीएस नेविगेशन मेट्रिक्स की गणना करने के लिए व्यावहारिक गणितीय उपकरण प्रदान करते हैं।

अध्ययन से पूर्व (आवश्यक ज्ञान)

भिन्नों और दशमलवों का गुणा और भाग।
अध्याय 6 से अनुपात और समानुपात।
एक चर में सरल रैखिक समीकरणों को हल करना।

इस अध्याय के लक्ष्य

मौलिक त्रय सूत्र लागू करें: $S = D/T$, $D = S \times T$, और $T = D/S$।
$\frac{5}{18}$ और $\frac{18}{5}$ का उपयोग करके $\text{km/h}$ और $\text{m/s}$ के बीच सहजता से कनवर्ट करें।
गैर-समान और बहु-चरणीय यात्राओं पर औसत गति की गणना करें।
स्थिर बिंदु वस्तुओं (खंभों) और विस्तारित वस्तुओं (प्लेटफ़ॉर्म) के लिए ट्रेन क्रॉसिंग समस्याओं का समाधान करें।
विपरीत और समान दिशाओं में चलने वाली वस्तुओं के लिए सापेक्ष गति की गणना करें।
दौड़, ओवरटेकिंग और बैठक के समय से संबंधित व्यावहारिक शब्द समस्याओं को हल करें।

अध्याय रूपरेखा एवं प्रगति

1 1. मौलिक सूत्र और 5/18 रूपांतरण निय...

2 2. औसत गति (अंकगणितीय जाल से बचना)

3 3. ट्रेन की गति: खंभों को पार करना...

4 4. सापेक्ष गति: विपरीत बनाम समान दि...

सम्पूर्ण सैद्धांतिक एवं वैचारिक अध्ययन

1. मौलिक सूत्र और 5/18 रूपांतरण नियम

2. औसत गति (अंकगणितीय जाल से बचना)

3. ट्रेन की गति: खंभों को पार करना बनाम प्लेटफार्मों को पार करना

4. सापेक्ष गति: विपरीत बनाम समान दिशा

महत्वपूर्ण सूत्र, सर्वसमिकाएँ एवं प्रमेय

गति-दूरी-समय त्रय

$$S = \frac{D}{T}, \quad D = S \cdot T, \quad T = \frac{D}{S}$$

सभी इकाइयाँ परस्पर सुसंगत होनी चाहिए।

औसत गति के लिए हार्मोनिक माध्य

$$S_{\text{avg}} = \frac{2xy}{x + y}$$

यह तब लागू होता है जब समान दूरी x और y गति से तय की जाती है।

किनेमेटिक्स: रूपांतरण कारक, ट्रेनें और सापेक्ष गति

₁ + S₂ • Same Direction (→ →): Relative Speed = S₁ - S₂ • Average Speed Formula: Total Distance / Total Time Equal Distances: 2xy / (x+y) • Never average speeds directly! 1 km/h = 5/18 m/s • TRAIN PASSING PLATFORM: D = L + P • RELATIVE SPEED: ADD OR SUBTRACT

अध्याय का सार संक्षेप एवं 10 मुख्य निष्कर्ष

मुख्य बिंदु 1

मौलिक समीकरण: गति = दूरी/समय, दूरी = गति * समय, समय = दूरी/गति।

मुख्य बिंदु 2

किमी/घंटा को मी/सेकेंड में बदलने के लिए 5/18 से गुणा करें; m/s को किमी/घंटा में बदलने के लिए 18/5 से गुणा करें।

मुख्य बिंदु 3

औसत गति को कुल दूरी को कुल समय से विभाजित करने के रूप में परिभाषित किया गया है।

मुख्य बिंदु 4

x और y गति पर समान जावक और वापसी दूरी के लिए, औसत गति = (2xy) / (x + y)।

मुख्य बिंदु 5

जब कोई ट्रेन किसी खंभे या व्यक्ति से गुजरती है, तो तय की गई दूरी ट्रेन की लंबाई के बराबर होती है।

मुख्य बिंदु 6

जब कोई ट्रेन किसी प्लेटफॉर्म, पुल या सुरंग को पार करती है, तो तय की गई दूरी ट्रेन की लंबाई + प्लेटफॉर्म की लंबाई के बराबर होती है।

मुख्य बिंदु 7

जब दो वस्तुएँ एक दूसरे की ओर (विपरीत दिशा में) चलती हैं, तो सापेक्ष गति S1 + S2 होती है।

मुख्य बिंदु 8

जब दो वस्तुएँ एक ही दिशा में चलती हैं, तो सापेक्ष गति |S1 - S2| होती है।

मुख्य बिंदु 9

हमेशा सुनिश्चित करें कि दूरी और गति इकाइयाँ मेल खाती हों (मीटर के साथ मीटर, किलोमीटर के साथ किमी/घंटा)।

मुख्य बिंदु 10

दो ट्रेनों को एक-दूसरे को पार करने में लगने वाले समय को (L1 + L2) उनकी सापेक्ष गति से विभाजित किया जाता है।

स्व-मूल्यांकन अभ्यास (Check Your Understanding)

मूल वैचारिक स्पष्टता की जांच के लिए नैदानिक प्रश्न। पहले स्वयं हल करें, फिर उत्तर देखें।

$280\text{ meters}$ लंबी एक ट्रेन $63\text{ km/h}$ की गति से चल रही है। यह कितने समय में एक टेलीग्राफ पोस्ट को पार कर जाएगा?

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: चरण 1: गति को $\frac{5}{18}$:
$$\text{Speed} = 63 \times \frac{5}{18} = \frac{7 \times 5}{2} = \frac{35}{2}\text{ m/s} = 17.5\text{ m/s}$$
से गुणा करके गति को $\text{km/h}$ से $\text{m/s}$ में बदलें। चरण 2: एक टेलीग्राफ पोस्ट को पार करने में तय की गई दूरी ट्रेन की लंबाई के बराबर होती है ($D = 280\text{ m}$):
$$\text{Time} = \frac{\text{Distance}}{\text{Speed}} = \frac{280}{\frac{35}{2}} = \frac{280 \times 2}{35}$$
7: $\frac{40 \times 2}{5} = 8 \times 2 = \mathbf{16\text{ seconds}}$ से रद्द करें।
$63\text{ km/h}$ को $5/18$ ($35/2\text{ m/s}$) से गुणा करके $\text{m/s}$ में बदलें, फिर $280$ को $35/2$ से विभाजित करें।

$350\text{ meters}$ लंबी एक ट्रेन $250\text{ meters}$ लंबे रेलवे प्लेटफॉर्म को पार करने में $30\text{ seconds}$ लेती है। $\text{km/h}$ में ट्रेन की गति ज्ञात कीजिए।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: चरण 1: तय की गई कुल दूरी = ट्रेन की लंबाई + प्लेटफ़ॉर्म की लंबाई:
$$\text{Total Distance } D = 350 + 250 = 600\text{ meters}$$
चरण 2: लिया गया समय $T = 30\text{ seconds}$.
$$\text{Speed in m/s} = \frac{D}{T} = \frac{600}{30} = 20\text{ m/s}$$
चरण 3: गति को $\frac{18}{5}$:
$$\text{Speed in km/h} = 20 \times \frac{18}{5} = 4 \times 18 = \mathbf{72\text{ km/h}}$$ से गुणा करके $\text{km/h}$ में बदलें।
कुल दूरी $= 350 + 250 = 600\text{ m}$. गति $= 600 / 30 = 20\text{ m/s}$. $\text{km/h}$ प्राप्त करने के लिए $18/5$ से गुणा करें।

एक मोटर चालक टाउन ए से टाउन बी तक $60\text{ km/h}$ की गति से यात्रा करता है, और $40\text{ km/h}$ पर उसी मार्ग से लौटता है। पूरी यात्रा के दौरान उसकी औसत गति ज्ञात कीजिए।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: माना कि टाउन ए और टाउन बी के बीच एक तरफ की दूरी $D\text{ km}$.
आगे की यात्रा के लिए लिया गया समय: $T_1 = \frac{D}{60}\text{ hours}$.
वापसी यात्रा के लिए लिया गया समय: $T_2 = \frac{D}{40}\text{ hours}$.
कुल दूरी $= D + D = 2D\text{ km}$.
कुल समय: $T_1 + T_2 = \frac{D}{60} + \frac{D}{40} = \frac{2D + 3D}{120} = \frac{5D}{120} = \frac{D}{24}\text{ hours}$.
$$\text{Average Speed} = \frac{\text{Total Distance}}{\text{Total Time}} = \frac{2D}{\frac{D}{24}} = 2 \times 24 = \mathbf{48\text{ km/h}}$$.
*(हार्मोनिक फॉर्मूला: $\frac{2xy}{x+y} = \frac{2 \times 60 \times 40}{60 + 40} = \frac{4,800}{100} = 48\text{ km/h}$)*.
औसत 60 और 40 न रखें! $\frac{2xy}{x+y} = \frac{2 \times 60 \times 40}{100} = 48\text{ km/h}$ का प्रयोग करें.

$160\text{ m}$ और $140\text{ m}$ लंबाई की दो ट्रेनें क्रमशः $42\text{ km/h}$ और $30\text{ km/h}$ की गति से समानांतर पटरियों पर विपरीत दिशाओं में चल रही हैं। वे एक दूसरे को कितने समय में पार कर लेंगे?

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर:

चरण 1: एक दूसरे को पार करने के लिए तय की जाने वाली कुल दूरी:

$$\text{Total Distance } D = 160 + 140 = 300\text{ meters}$$

चरण 2: चूंकि वे विपरीत दिशाओं में चलते हैं, सापेक्ष गति ज्ञात करने के लिए गति जोड़ें:

$$\text{Relative Speed} = 42 + 30 = 72\text{ km/h}$$

$\text{m/s}$ में बदलें:

$$72 \times \frac{5}{18} = 4 \times 5 = 20\text{ m/s}$$

चरण 3: प्रत्येक को पार करने में लगने वाला समय अन्य:

$$\text{Time} = \frac{\text{Distance}}{\text{Relative Speed}} = \frac{300}{20} = \mathbf{15\text{ seconds}}$$

लंबाई जोड़ें ($300\text{ m}$) और गति जोड़ें ($72\text{ km/h} = 20\text{ m/s}$)। समय $= 300 / 20 = 15\text{ s}$.

एक चोर को एक पुलिसकर्मी ने $200\text{ meters}$ की दूरी से देखा। पुलिस वाला पीछा करने लगा तो चोर भी भागने लगा. यदि चोर की गति $10\text{ km/h}$ है और पुलिसकर्मी की गति $12\text{ km/h}$ है, तो पकड़े जाने से पहले चोर कितनी दूर भाग चुका होगा?

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर:

प्रारंभिक अंतर $= 200\text{ m}$.
दोनों एक ही दिशा में चलते हैं, इसलिए सापेक्ष गति ज्ञात करने के लिए गति घटाएं:

$$\text{Relative Speed} = 12 - 10 = 2\text{ km/h} = 2 \times \frac{5}{18} = \frac{5}{9}\text{ m/s}$$

पुलिसकर्मी द्वारा चोर को पकड़ने में लिया गया समय:

$$\text{Time } T = \frac{\text{Initial Distance}}{\text{Relative Speed}} = \frac{200}{\frac{5}{9}} = \frac{200 \times 9}{5} = 40 \times 9 = 360\text{ seconds}$$

चोर द्वारा दौड़ी गई दूरी $360\text{ seconds}$:

$$\text{Speed of thief} = 10\text{ km/h} = 10 \times \frac{5}{18} = \frac{25}{9}\text{ m/s}$$

$$\text{Distance} = \text{Speed} \times \text{Time} = \frac{25}{9} \times 360 = 25 \times 40 = \mathbf{1,000\text{ meters = 1 km}}$$

सापेक्ष गति $2\text{ km/h} = 5/9\text{ m/s}$ है. लिया गया समय $200 / (5/9) = 360\text{ s}$ है। चोर की गति से गुणा करें.

अपनी सामान्य गति से $\frac{3}{4}$ चलते हुए, एक व्यक्ति अपने कार्यालय में $20\text{ minutes}$ देर से पहुंचता है। उसके कार्यालय पहुँचने का सामान्य समय ज्ञात कीजिए।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर:

मान लीजिए सामान्य गति $S$ है और सामान्य समय $T$ है। दूरी $D = S \times T$.
नई गति $= \frac{3}{4}S$.
चूंकि दूरी स्थिर है, नया समय गति अनुपात का व्युत्क्रम है: $T_{\text{new}} = \frac{4}{3}T$.
यह देखते हुए कि नया समय $20\text{ minutes}$ अधिक है:

$$\frac{4}{3}T - T = 20$$

$$\frac{1}{3}T = 20 \implies T = 20 \times 3 = \mathbf{60\text{ minutes = 1 hour}}$$

.
कार्यालय पहुंचने का उसका सामान्य समय है $60\text{ minutes}$.

यदि गति $3/4$ हो जाती है, तो समय $4/3$ हो जाता है। देरी $4/3 T - T = 1/3 T = 20\text{ min} \implies T = 60\text{ min}$ है.

एक कार एक समान गति से $450\text{ km}$ की दूरी तय करती है। यदि गति $15\text{ km/h}$ अधिक होती, तो यात्रा में $1\text{ hour}$ कम लगता। कार की मूल गति ज्ञात कीजिए।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: माना कि मूल गति $x\text{ km/h}$ है। मूल समय $= \frac{450}{x}\text{ hours}$.
नयी गति $= (x + 15)\text{ km/h}$. नया समय $= \frac{450}{x + 15}\text{ hours}$.
$$\frac{450}{x} - \frac{450}{x + 15} = 1$$
$$450 \left[ \frac{(x + 15) - x}{x(x + 15)} \right] = 1$$
$$450 \times 15 = x^2 + 15x$$
$$x^2 + 15x - 6750 = 0$$
द्विघात कारक: $(x + 90)(x - 75) = 0$.
चूंकि गति सकारात्मक होनी चाहिए: $x = \mathbf{75\text{ km/h}}$.
$\frac{450}{x} - \frac{450}{x+15} = 1$ सेट करें. $x^2 + 15x - 6750 = 0$ प्राप्त करने के लिए गुणा करें। गुणनखंड $(x-75)(x+90)=0$ हैं.

बताएं कि एक ट्रेन को एक पुल को पार करने में लगने वाला समय हमेशा उसी गति से एक खंभे को पार करने में लगने वाले समय से अधिक क्यों होता है।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर:

• किसी खंभे को पार करते समय, खंभे को शून्य लंबाई वाली एक बिंदु वस्तु माना जाता है; ट्रेन को केवल अपनी लंबाई ($L$) तय करने की आवश्यकता है।
• लंबाई $P$ के पुल को पार करते समय, ट्रेन को अपनी लंबाई और पुल की लंबाई (कुल दूरी $= L + P$) दोनों को पार करना होगा।
• $L + P > L$ के बाद से, तय की जाने वाली दूरी अधिक है, उसी गति ($T = D/S$) पर अधिक समय की आवश्यकता होती है।

एक खंभे को पार करने के लिए केवल लंबाई $L$ को कवर करने की आवश्यकता होती है; पुल पार करने के लिए $L + P$ कवर करना आवश्यक है।

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