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ICSE • कक्षा 7 • Mathematics • अध्याय 12

अनुमानित समय: 45 Mins

प्रगति: अध्ययनरत

त्रिभुज (Triangles)

आईसीएसई कक्षा 7 गणित में, "त्रिकोण" तीन-तरफा बहुभुज, इसके वर्गीकरण और मौलिक यूक्लिडियन प्रमेयों का विश्लेषण करने वाला एक आधिकारिक, ज्यामितीय मास्टर अध्ययन गाइड प्रदान करता है। यह व्यापक अध्याय त्रिभुजों के वर्गीकरण (भुजाओं के अनुसार: समबाहु, समद्विबाहु, विषमकोण; कोणों के अनुसार: न्यूनकोण, समकोण, अधिककोण), माध्यिका, ऊंचाई और केन्द्रक (माध्यिका एक शीर्ष को विपरीत दिशा के मध्य बिंदु से जोड़ती है; ऊंचाई एक शीर्ष से विपरीत दिशा की ओर खींचा गया लंब है; केन्द्रक, लंबकेन्द्र, अंतःकेन्द्र, परिवृत्तकेन्द्र), कोण योग संपत्ति की पड़ताल करता है। एक त्रिभुज का (प्रमेय: त्रिभुज के तीन आंतरिक कोणों का योग सख्ती से $180^\circ$ है; समानांतर रेखाओं का उपयोग करके औपचारिक ज्यामितीय प्रमाण), बाहरी कोण संपत्ति (प्रमेय: एक त्रिकोण के बाहरी कोण का माप इसके दो आंतरिक विपरीत कोणों के योग के बराबर है: $\angle 4 = \angle 1 + \angle 2$), त्रिभुज असमानता संपत्ति (प्रमेय: एक त्रिकोण के किन्हीं दो पक्षों की लंबाई का योग सख्ती से तीसरी तरफ की लंबाई से अधिक है: $a + b > c, b + c > a, c + a > b$; किन्हीं दो भुजाओं का अंतर तीसरी भुजा से बिल्कुल कम है: $|a - b| < c$), और समकोण त्रिभुजों में पाइथागोरस प्रमेय (कर्ण $h$, पाद $p, b$; सूत्र: $h^2 = p^2 + b^2$; पाइथागोरस त्रिक [जैसे, $(3,4,5), (5,12,13), (8,15,17), (7,24,25)$]; पाइथागोरस प्रमेय का व्युत्क्रम) के साथ संरेखित 2026-27 सीआईएससीई पाठ्यक्रम।

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18वीं सदी के जहाज नेविगेटर ने यह जानने के लिए तीन लकड़ी की छड़ियों का उपयोग कैसे किया कि उसका जहाज चट्टानों से टकराए बिना एक केप के चारों ओर घूम सकता है या नहीं?

एक प्राचीन समुद्री कप्तान की कल्पना करें जो $3\text{ meters}$, $4\text{ meters}$, और $8\text{ meters}$ लंबाई के तीन लकड़ी के खंभे पकड़े हुए है। वह एक त्रिकोणीय नेविगेशन बीकन बनाने के लिए सिरों को एक साथ जोड़ने की कोशिश करता है। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि वह उन्हें कितना धक्का देता है, मोड़ता है या मोड़ता है, सिरे छूने से इंकार कर देते हैं! क्यों? क्योंकि $3 + 4 = 7$, जो $8$ से छोटा है! दो छोटी छड़ियाँ 8-मीटर के अंतर में एक-दूसरे तक नहीं पहुँच सकतीं! यह यूक्लिडियन ज्यामिति के अपरिवर्तनीय नियम को प्रदर्शित करता है: त्रिकोण असमानता प्रमेय—आप तब तक एक त्रिभुज नहीं बना सकते जब तक कि किन्हीं दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से बिल्कुल अधिक न हो! अब लंबाई $3$, $4$, और $5$ की तीन छड़ें लें: वे न केवल एक त्रिकोण में बंद हो जाती हैं, बल्कि उनके वर्ग क्षेत्र ($3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$) एक पूर्ण $90^\circ$ समकोण में आ जाते हैं! यह पौराणिक पाइथागोरस प्रमेय है! ब्रह्मांड में प्रत्येक त्रिभुज के तीन कोणों का योग बिल्कुल $180^\circ$ क्यों होता है? ऊंचाई और माध्यिका के बीच क्या अंतर है? आइए त्रिकोणों में महारत हासिल करें।

यह अध्याय क्यों महत्वपूर्ण है

त्रिभुज अस्तित्व में एकमात्र कठोर, गैर-विकृत ज्यामितीय बहुभुज है, यही कारण है कि पुल, क्रेन, जियोडेसिक गुंबद और हवाई जहाज के पंख पूरी तरह से त्रिकोणीय ट्रस से निर्मित होते हैं। कोण योग गुण, बाह्य कोण प्रमेय, त्रिभुज असमानता और पाइथागोरस प्रमेय में महारत हासिल करना आईसीएसई गणित और इंजीनियरिंग भौतिकी के लिए मूलभूत है।

अध्ययन से पूर्व (आवश्यक ज्ञान)

अध्याय 11 से कोण और समांतर रेखाएँ।
पूर्णांकों का वर्ग और वर्गमूल.
सरल रैखिक समीकरणों को हल करना।

इस अध्याय के लक्ष्य

त्रिभुजों को भुजाओं की लंबाई और कोण माप के आधार पर वर्गीकृत करें।
एक त्रिभुज की माध्यिकाओं और शीर्षलंबों के बीच अंतर करें और उनके प्रतिच्छेदन केंद्रों का पता लगाएं।
त्रिभुज के कोण योग गुण (योग $= 180^\circ$) को सिद्ध करें और लागू करें।
बाहरी कोण गुण को सिद्ध करें और लागू करें (बाहरी कोण = आंतरिक विपरीत कोणों का योग)।
त्रिभुज असमानता प्रमेय का उपयोग करके सत्यापित करें कि दिए गए तीन रेखाखंड एक वैध त्रिभुज बना सकते हैं या नहीं।
समकोण त्रिभुजों में अज्ञात लंबाई की गणना करने के लिए पाइथागोरस प्रमेय ($h^2 = p^2 + b^2$) लागू करें।
पायथागॉरियन त्रिक को पहचानें और उत्पन्न करें।

अध्याय रूपरेखा एवं प्रगति

1 1. त्रिभुज का वर्गीकरण और तत्व: ऊँच...

2 2. कोण योग गुण एवं बाह्य कोण प्रमेय

3 3. त्रिभुज असमानता संपत्ति

4 4. पाइथागोरस प्रमेय और पाइथागोरस त्...

सम्पूर्ण सैद्धांतिक एवं वैचारिक अध्ययन

1. त्रिभुज का वर्गीकरण और तत्व: ऊँचाई बनाम माध्यिकाएँ

समझें

ए. वर्गीकरण:

भुजाओं द्वारा: समबाहु (सभी 3 भुजाएँ बराबर, प्रत्येक कोण $= 60^\circ$), समद्विबाहु (2 भुजाएँ बराबर, समान भुजाओं के विपरीत कोण बराबर), स्केलीन (सभी 3 भुजाएँ असमान)।
कोणों द्वारा: न्यून कोण (सभी कोण $< 90^\circ$), समकोण (एक कोण $= 90^\circ$), अधिककोण (एक कोण $> 90^\circ$).

बी. माध्यिका बनाम ऊंचाई:

फ़ीचर	मीडियन	ऊंचाई
परिभाषा	एक शीर्ष से विपरीत दिशा के मध्यबिंदु को जोड़ने वाला एक रेखा खंड।	किसी शीर्ष से विपरीत दिशा (आधार) तक खींचा गया लंबवत रेखा खंड**।
संगति बिंदु	सेंट्रॉइड ($G$): हमेशा त्रिभुज के अंदर स्थित होता है, प्रत्येक माध्यिका को $2 : 1$ के अनुपात में विभाजित करता है।	ऑर्थोसेंटर ($H$): न्यूनकोण त्रिभुजों में अंदर; समकोण त्रिभुजों में समकोण शीर्ष पर; बाहर अधिक त्रिभुजों में!
प्रति त्रिभुज गणना	बिल्कुल 3 माध्यिकाएँ।	बिल्कुल 3 ऊँचाईयाँ।

2. कोण योग गुण एवं बाह्य कोण प्रमेय

3. त्रिभुज असमानता संपत्ति

4. पाइथागोरस प्रमेय और पाइथागोरस त्रिक

महत्वपूर्ण सूत्र, सर्वसमिकाएँ एवं प्रमेय

त्रिभुज का कोण योग गुण

$$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$$

किसी भी यूक्लिडियन त्रिभुज के आंतरिक कोण।

बाह्य कोण प्रमेय

$$\angle_{\text{ext}} = \angle_{\text{int, opp 1}} + \angle_{\text{int, opp 2}}$$

बाहरी कोण आंतरिक विपरीत कोणों के योग के बराबर होता है।

पाइथागोरस प्रमेय

$$h^2 = p^2 + b^2 \quad (\text{Hypotenuse } h \text{ in right } \triangle)$$

समकोण ज्यामिति का मूल प्रमेय।

त्रिभुज: माध्यिका, बाह्य कोण और पाइथागोरस प्रमेय

² = p² + b² • Pythagorean Triplets: (3, 4, 5) • (5, 12, 13) (8, 15, 17) • (7, 24, 25) ANGLE SUM = 180° • EXTERIOR ANGLE = SUM OF INTERIOR OPPOSITES • h² = p² + b²

अध्याय का सार संक्षेप एवं 10 मुख्य निष्कर्ष

मुख्य बिंदु 1

एक त्रिभुज को भुजाओं (समबाहु, समद्विबाहु, विषमकोण) या कोणों (तीव्र, समकोण, अधिक) के आधार पर वर्गीकृत किया जाता है।

मुख्य बिंदु 2

एक माध्यिका एक शीर्ष को विपरीत दिशा के मध्यबिंदु से जोड़ती है; तीनों माध्यिकाएँ केन्द्रक (G) पर प्रतिच्छेद करती हैं।

मुख्य बिंदु 3

केन्द्रक प्रत्येक माध्यिका को 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है।

मुख्य बिंदु 4

ऊंचाई एक शीर्ष से विपरीत आधार पर खींचा गया लंबवत है; ऊंचाई ऑर्थोसेंटर (एच) पर मिलती है।

मुख्य बिंदु 5

कोण योग गुण निर्देश देता है कि किसी भी त्रिभुज के तीन आंतरिक कोणों का योग सख्ती से 180 डिग्री होता है।

मुख्य बिंदु 6

बाहरी कोण प्रमेय: बाहरी कोण इसके दो आंतरिक विपरीत कोणों के योग के बराबर होता है।

मुख्य बिंदु 7

एक बाहरी कोण किसी भी आंतरिक विपरीत कोण से बिल्कुल बड़ा होता है।

मुख्य बिंदु 8

त्रिभुज असमानता प्रमेय: त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा ($a+b > c$) से पूर्णतः अधिक होना चाहिए।

मुख्य बिंदु 9

त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं का अंतर तीसरी भुजा ($|a-b| < c$) से बिल्कुल कम होता है।

मुख्य बिंदु 10

समकोण त्रिभुज में, पाइथागोरस प्रमेय मानता है: $h^2 = p^2 + b^2$, जहां $h$ कर्ण है।

स्व-मूल्यांकन अभ्यास (Check Your Understanding)

मूल वैचारिक स्पष्टता की जांच के लिए नैदानिक प्रश्न। पहले स्वयं हल करें, फिर उत्तर देखें।

एक त्रिभुज के कोणों का अनुपात $2 : 3 : 4$ होता है। तीनों कोणों की माप ज्ञात कीजिए। यह किस प्रकार का त्रिभुज है?

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर:

माना कि तीन कोण $2x, 3x,$ और $4x$ हैं।
कोण योग द्वारा त्रिभुज का गुणधर्म:

$$2x + 3x + 4x = 180^\circ$$

$$9x = 180^\circ \implies x = \frac{180}{9} = 20^\circ$$

प्रत्येक कोण की गणना करें:
• $\angle 1 = 2x = 2 \times 20^\circ = \mathbf{40^\circ}$
• $\angle 2 = 3x = 3 \times 20^\circ = \mathbf{60^\circ}$
• $\angle 3 = 4x = 4 \times 20^\circ = \mathbf{80^\circ}$
चूंकि सभी तीन कोण $90^\circ$ से बिल्कुल कम हैं, यह एक न्यून-कोण वाला स्केलीन त्रिभुज है।

$2x + 3x + 4x = 180^\circ \implies 9x = 180^\circ \implies x = 20^\circ$ सेट करें. कोण $40^\circ, 60^\circ, 80^\circ$ हैं.

एक त्रिभुज का एक बाहरी कोण $115^\circ$ है और इसके आंतरिक विपरीत कोणों में से एक $45^\circ$ है। त्रिभुज के अन्य दो कोण ज्ञात कीजिए।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर:

मान लें कि बाह्य कोण $\angle \text{ext} = 115^\circ$ है, और एक आंतरिक विपरीत कोण $\angle 1 = 45^\circ$ है।
चरण 1: बाह्य कोण प्रमेय ($\angle \text{ext} = \angle 1 + \angle 2$) लागू करें:

$$115^\circ = 45^\circ + \angle 2$$

$$\mathbf{\angle 2 = 115^\circ - 45^\circ = 70^\circ}$$

चरण 2: बाह्य कोण के साथ रैखिक युग्म का उपयोग करके तीसरा आंतरिक कोण $\angle 3$ ज्ञात करें कोण:

$$\angle 3 = 180^\circ - 115^\circ = \mathbf{65^\circ}$$

(या कोण योग द्वारा: $180 - (45 + 70) = 180 - 115 = 65^\circ$).
अन्य दो कोण हैं $70^\circ$ और $65^\circ$.

बाहरी कोण आंतरिक विपरीत कोणों के योग के बराबर होता है: $\angle 2 = 115 - 45 = 70^\circ$। तीसरा कोण $180 - 115 = 65^\circ$ है.

क्या किसी त्रिभुज की भुजाएँ इतनी लंबाई की हो सकती हैं: (ए) $6\text{ cm}, 8\text{ cm}, 15\text{ cm}$? (बी) $5\text{ cm}, 12\text{ cm}, 13\text{ cm}$? गणितीय कारण बताइये।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर:

• (ए) $6\text{ cm}, 8\text{ cm}, 15\text{ cm}$:
दो छोटी भुजाएं लें और उन्हें जोड़ें: $6 + 8 = 14\text{ cm}$.
तीसरी भुजा से तुलना करें: $14\text{ cm} < 15\text{ cm}$.
चूंकि दोनों भुजाओं का योग तीसरी भुजा ($6 + 8 \ngtr 15$) से अधिक नहीं है, इसलिए एक त्रिभुज नहीं बनाया जा सकता!
• (बी) $5\text{ cm}, 12\text{ cm}, 13\text{ cm}$:
सभी जोड़ियों की जांच करें: $5 + 12 = 17 > 13$, $5 + 13 = 18 > 12$, और $12 + 13 = 25 > 5$.
चूंकि किन्हीं दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से सख्ती से अधिक है, एक त्रिभुज बनाया जा सकता है (वास्तव में, यह $5^2 + 12^2 = 13^2$ से एक समकोण त्रिभुज है)।

दो छोटी भुजाओं को जोड़ें: यदि उनका योग तीसरी भुजा से अधिक है, तो एक त्रिभुज संभव है; अन्यथा, असंभव.

एक $15\text{-meter}$-लंबी सीढ़ी को एक ऊर्ध्वाधर दीवार के खिलाफ इस तरह रखा गया है कि इसका पैर दीवार के आधार से $9\text{ meters}$ दूर है। सीढ़ी दीवार से कितनी ऊँचाई तक पहुँचती है?

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर:

दीवार, जमीन और सीढ़ी एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं, जहां:
कर्ण (सीढ़ी) $h = 15\text{ m}$
आधार (दीवार से दूरी) $b = 9\text{ m}$
लंबवत (दीवार पर ऊंचाई) $p = ?$
पाइथागोरस प्रमेय द्वारा ($h^2 = p^2 + b^2$):

$$15^2 = p^2 + 9^2$$

$$225 = p^2 + 81$$

$$p^2 = 225 - 81 = 144$$

$$p = \sqrt{144} = \mathbf{12\text{ meters}}$$

.
सीढ़ी दीवार के ऊपर $12\text{ meters}$ की ऊंचाई तक पहुंचती है।

$p^2 = h^2 - b^2$: $p^2 = 15^2 - 9^2 = 225 - 81 = 144 \implies p = 12\text{ m}$ लागू करें.

एक समद्विबाहु त्रिभुज में, शीर्ष कोण दो समान आधार कोणों के योग का दोगुना होता है। त्रिभुज के सभी कोण ज्ञात कीजिए।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: एक समद्विबाहु त्रिभुज में, दो आधार कोण बराबर होते हैं। मान लीजिए कि प्रत्येक आधार कोण $x^\circ$.
आधार कोणों का योग $= x + x = 2x^\circ$.
है, शीर्ष कोण इस योग का दोगुना है: $\text{Vertex Angle} = 2(2x) = 4x^\circ$.
कोण योग संपत्ति द्वारा:
$$x + x + 4x = 180^\circ$$
$$6x = 180^\circ \implies x = \frac{180}{6} = 30^\circ$$
• प्रत्येक आधार कोण $= \mathbf{30^\circ}$
• शीर्ष कोण $= 4(30^\circ) = \mathbf{120^\circ}$.
चेक करें: $30^\circ + 30^\circ + 120^\circ = 180^\circ$. सही!
माना आधार कोण $x, x$ है। शीर्ष कोण $2(x+x) = 4x$ है. समीकरण: $x + x + 4x = 180 \implies 6x = 180 \implies x = 30^\circ$.

एक त्रिभुज की दो भुजाओं की लंबाई $8\text{ cm}$ और $11\text{ cm}$ है। तीसरी भुजा की लंबाई किन दो संख्याओं के बीच होनी चाहिए?

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर:

माना तीसरी भुजा $c$ है। त्रिभुज असमानता प्रमेय द्वारा:
1. तीसरी भुजा अन्य दो भुजाओं के अंतर से अधिक होनी चाहिए:

$$c > 11 - 8 \implies c > 3\text{ cm}$$

2. तीसरी भुजा अन्य दो भुजाओं के योग से कम होनी चाहिए:

$$c < 11 + 8 \implies c < 19\text{ cm}$$

इसलिए, तीसरी भुजा की लंबाई सख्ती से $3\text{ cm}$ और $19\text{ cm}$ ($3 < c < 19$) के बीच होनी चाहिए।

तीसरा पक्ष अंतर ($11-8=3$) से अधिक और योग ($11+8=19$) से कम होना चाहिए: $3 < c < 19\text{ cm}$।

एक आदमी $12\text{ km}$ उत्तर की ओर यात्रा करता है, और फिर $5\text{ km}$ पूर्व की ओर यात्रा करता है। वह अपने प्रारंभिक बिंदु से कितनी दूर है?

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर:

उत्तर और पूर्व दिशाएं परस्पर लंबवत ($90^\circ$) हैं।
यात्रा एक समकोण त्रिभुज बनाती है जहां:
लंबवत $p = 12\text{ km}$
आधार $b = 5\text{ km}$
प्रारंभ से दूरी = कर्ण $h$
पाइथागोरस द्वारा प्रमेय:

$$h^2 = p^2 + b^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$$

$$h = \sqrt{169} = \mathbf{13\text{ km}}$$

.
वह अपने प्रारंभिक बिंदु से $13\text{ kilometers}$ है।

उत्तर और पूर्व एक समकोण बनाते हैं: $h = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13\text{ km}$.

एक त्रिभुज के "सेंट्रॉइड" और "ऑर्थोसेंटर" के बीच अंतर करें। अधिककोण त्रिभुज में लंबकेन्द्र कहाँ स्थित होता है?

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर:

• सेंट्रॉइड ($G$): संगामी बिंदु जहां त्रिभुज की तीन माध्यिकाएं एक दूसरे को काटती हैं। यह हमेशा सख्ती से त्रिभुज के अंदर स्थित होता है (तीव्र, समकोण और अधिक कोण वाले त्रिभुजों के लिए) और प्रत्येक माध्यिका को $2 : 1$.
• के अनुपात में विभाजित करता है। त्रिभुज के बिल्कुल बाहर अधिक कोण वाले शीर्ष के पीछे, क्योंकि दो ऊंचाईयों को विस्तारित बाहरी आधारों तक खींचा जाना चाहिए।

केन्द्रक मध्यस्थों का प्रतिच्छेदन है (हमेशा अंदर); ऑर्थोसेंटर ऊंचाईयों का प्रतिच्छेदन है (बाहर की ओर अधिक त्रिभुजों में स्थित है)।

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