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CISCE (ICSE & ISC)
Class 7
Mathematics
अध्याय 11: आकारों की समझ (Understanding Shapes)

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ICSE • कक्षा 7 • Mathematics • अध्याय 11

अनुमानित समय: 45 Mins

प्रगति: अध्ययनरत

आकारों की समझ (Understanding Shapes)

आईसीएसई कक्षा 7 गणित में, "अंडरस्टैंडिंग शेप्स" एक आधिकारिक, ज्यामितीय मास्टर अध्ययन गाइड प्रदान करता है जो कोणों, कोणों के जोड़े और एक तिर्यक रेखा द्वारा प्रतिच्छेदित समानांतर रेखाओं के गुणों का विश्लेषण करता है। यह व्यापक अध्याय बुनियादी ज्यामितीय शब्दों (बिंदु, रेखाएं, रेखा खंड, किरणें और समतल; कोणों के प्रकार: न्यून, समकोण, अधिक कोण, सीधा, प्रतिवर्त और पूर्ण कोण), संबंधित कोणों के जोड़े (1. पूरक कोण: योग $= 90^\circ$, 2. पूरक कोण: योग $= 180^\circ$, 3. आसन्न कोण: सामान्य शीर्ष और गैर-अतिव्यापी आंतरिक भाग के साथ सामान्य भुजा) की पड़ताल करता है। 4. रैखिक युग्म: आसन्न कोण जिनकी गैर-उभयनिष्ठ भुजाएं विपरीत किरणें बनाती हैं, जिनका योग $180^\circ$ होता है, 5. लंबवत विपरीत कोण: दो प्रतिच्छेदी रेखाओं द्वारा निर्मित, हमेशा सख्ती से बराबर), एक अनुप्रस्थ रेखा द्वारा प्रतिच्छेदित रेखाएं (दो समतलीय रेखाओं को प्रतिच्छेद करने वाली एक अनुप्रस्थ रेखा द्वारा निर्मित कोणों की परिभाषा: 1. संगत कोण, 2. वैकल्पिक आंतरिक कोण, 3. वैकल्पिक बाहरी कोण) कोण, 4. सह-आंतरिक / लगातार आंतरिक कोण), समांतरता की स्थितियां (दो रेखाएं समानांतर होती हैं यदि और केवल यदि: संबंधित कोण बराबर होते हैं, वैकल्पिक आंतरिक कोण बराबर होते हैं, या सह-आंतरिक कोण $180^\circ$ के पूरक योग होते हैं), और अज्ञात कोणों की ज्यामितीय गणना 2026-27 सीआईएससीई पाठ्यक्रम के साथ संरेखित होती है।

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हाई-स्पीड ट्रेनों को पटरी से उतरने से रोकने के लिए रेल इंजीनियरों ने दो समानांतर स्टील ट्रैक और एक कोण प्रमेय का उपयोग कैसे किया?

जब सिविल इंजीनियर पूरे परिदृश्य में सैकड़ों किलोमीटर तक फैले हाई-स्पीड रेलवे ट्रैक डिज़ाइन करते हैं, तो उन्हें एक अक्षम्य भौतिकी कानून का सामना करना पड़ता है: यदि दो स्टील रेलें एक मिलीमीटर से भी विचलित हो जाती हैं, तो ट्रेन के पहिये आपस में जुड़ जाएंगे, पटरी से उतर जाएंगे और एक भयावह पटरी से उतर जाएंगे! पटरियाँ सदा समानांतर रहनी चाहिए - हर जगह समान दूरी पर, कभी भी एक दूसरे को नहीं काटती, भले ही अनंत तक विस्तारित हो। जब एक क्रॉस-ओवर स्विच ट्रैक (एक ट्रांसवर्सल) समानांतर रेलों को काटता है, तो यह आठ कोणों का एक जटिल ज्यामितीय नृत्य बनाता है। यदि कोई इंजीनियर केवल एक एकल कोण मापता है - मान लीजिए, $42^\circ$ का एक वैकल्पिक आंतरिक कोण - तो वह ब्लूप्रिंट पर शेष सभी सात कोणों को बिना मापे तुरंत गणना कर सकता है! ऊर्ध्वाधर सम्मुख कोण हमेशा बराबर क्यों होते हैं? रैखिक युग्म अभिगृहीत क्या है? सह-आंतरिक कोणों का योग हमेशा बिल्कुल $180^\circ$ क्यों होता है? आइए आकृतियों और रेखाओं की ज्यामिति में महारत हासिल करें।

यह अध्याय क्यों महत्वपूर्ण है

कोणों और समानांतर रेखाओं को समझना वास्तुकला, सिविल इंजीनियरिंग, रोबोटिक्स कीनेमेटिक्स, ग्राफिक डिजाइन और खगोलीय त्रिकोणमिति की संरचनात्मक रीढ़ है। कोण संबंधों और समानांतर रेखा प्रमेयों की महारत सभी उच्च आईसीएसई ज्यामिति और समन्वय प्रमाणों के लिए एक आवश्यक आधार है।

अध्ययन से पूर्व (आवश्यक ज्ञान)

बुनियादी ज्यामितीय उपकरण: प्रोट्रैक्टर, रूलर और कम्पास।
डिग्री की अवधारणा ($^\circ$) और कोणों को मापना।
एक चर में सरल रैखिक समीकरणों को हल करना।

इस अध्याय के लक्ष्य

पूरक और संपूरक कोण युग्मों को पहचानें और उनकी गणना करें।
अज्ञात कोणों की गणना करने के लिए रैखिक युग्म अभिगृहीत और लंबवत विपरीत कोण प्रमेय लागू करें।
एक तिर्यक रेखा द्वारा निर्मित संगत, वैकल्पिक आंतरिक और सह-आंतरिक कोणों को पहचानें।
उन स्थितियों को सिद्ध और सत्यापित करें जिनके अंतर्गत दो समतलीय रेखाएँ समानांतर होती हैं।
समानांतर रेखाओं और तिर्यक रेखाओं से युक्त जटिल ज्यामितीय आकृतियों में बहु-चरणीय कोण मानों की गणना करें।

अध्याय रूपरेखा एवं प्रगति

1 1. संबंधित कोणों के जोड़े: पूरक, अन...

2 2. शीर्षाकार विपरीत कोण (प्रमेय और...

3 3. समानांतर रेखाएं और अनुप्रस्थ कोण...

4 4. समांतरता के लिए परीक्षण

सम्पूर्ण सैद्धांतिक एवं वैचारिक अध्ययन

1. संबंधित कोणों के जोड़े: पूरक, अनुपूरक और रैखिक जोड़े

2. शीर्षाकार विपरीत कोण (प्रमेय और प्रमाण)

3. समानांतर रेखाएं और अनुप्रस्थ कोण संबंध

4. समांतरता के लिए परीक्षण

महत्वपूर्ण सूत्र, सर्वसमिकाएँ एवं प्रमेय

रैखिक युग्म अभिगृहीत

$$\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ \quad (\text{Adjacent angles on a straight line})$$

गैर-सामान्य भुजाएँ एक सीधी रेखा बनाती हैं।

सह-आंतरिक कोण पूरकता

$$\angle_{\text{int, left 1}} + \angle_{\text{int, left 2}} = 180^\circ$$

रेखाओं के समानांतर होने का परिणाम.

समानांतर रेखाएँ, अनुप्रस्थ एवं कोण प्रकार

अध्याय का सार संक्षेप एवं 10 मुख्य निष्कर्ष

मुख्य बिंदु 1

पूरक कोणों का योग 90 डिग्री होता है; संपूरक कोणों का योग 180 डिग्री होता है।

मुख्य बिंदु 2

रैखिक युग्म अभिगृहीत बताता है कि एक सीधी रेखा पर आसन्न कोणों का योग 180 डिग्री होता है।

मुख्य बिंदु 3

दो प्रतिच्छेदी रेखाओं से बने लंबवत् सम्मुख कोण सदैव बराबर होते हैं।

मुख्य बिंदु 4

एक तिर्यक रेखा प्रतिच्छेद करने वाली समानांतर रेखाएँ समान संगत कोणों (एफ-आकार) के जोड़े बनाती हैं।

मुख्य बिंदु 5

जब रेखाएँ समानांतर होती हैं तो वैकल्पिक आंतरिक कोण (Z-आकार) बराबर होते हैं।

मुख्य बिंदु 6

एक तिर्यक रेखा के एक ही तरफ सह-आंतरिक कोण पूरक होते हैं (योग = 180 डिग्री)।

मुख्य बिंदु 7

दो रेखाएँ समानांतर होती हैं यदि संगत कोण समान हों, एकांतर आंतरिक कोण समान हों, या सह-आंतरिक कोण पूरक हों।

मुख्य बिंदु 8

कोण $\theta$ का पूरक ज्ञात करने के लिए, 90: $90^\circ - \theta$ से घटाएँ।

मुख्य बिंदु 9

कोण $\theta$ का संपूरक ज्ञात करने के लिए, 180: $180^\circ - \theta$ से घटाएँ।

मुख्य बिंदु 10

एक सीधी रेखा के एक तरफ एक बिंदु के चारों ओर बने सभी कोणों का योग 180 डिग्री होता है।

स्व-मूल्यांकन अभ्यास (Check Your Understanding)

मूल वैचारिक स्पष्टता की जांच के लिए नैदानिक प्रश्न। पहले स्वयं हल करें, फिर उत्तर देखें।

एक कोण अपने पूरक कोण से $24^\circ$ अधिक है। कोण का माप ज्ञात कीजिये.

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: मान लीजिए कि कोण $x^\circ$.
है, इसका पूरक $(90 - x)^\circ$.
है, समस्या के अनुसार:
$$x = (90 - x) + 24$$
$$x = 114 - x$$
$-x$ को LHS में स्थानांतरित करें:
$$x + x = 114 \implies 2x = 114 \implies x = \frac{114}{2} = \mathbf{57^\circ}$$.
जांचें: $57^\circ$ का पूरक है $90 - 57 = 33^\circ$. अंतर: $57 - 33 = 24^\circ$. सही!
$x = (90 - x) + 24$ सेट करें. रैखिक समीकरण को हल करें: $2x = 114 \implies x = 57^\circ$.

दो संपूरक कोण $4 : 5$ के अनुपात में हैं। दोनों कोणों का माप ज्ञात कीजिए।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: माना कि दो कोण $4x$ और $5x$ हैं।
चूंकि वे पूरक हैं, उनका योग $180^\circ$:
$$4x + 5x = 180^\circ$$
$$9x = 180^\circ \implies x = \frac{180}{9} = 20^\circ$$
कोणों की गणना करें:
• पहला कोण: $4x = 4 \times 20^\circ = \mathbf{80^\circ}$
• दूसरा कोण: $5x = 5 \times 20^\circ = \mathbf{100^\circ}$.
जांचें: $80^\circ + 100^\circ = 180^\circ$.
माना कि कोण $4x$ और $5x$ हैं। उनका योग $180^\circ$: $9x = 180 \implies x = 20^\circ$ करें।

दिए गए चित्र में, दो सीधी रेखाएँ $AB$ और $CD$ $O$ पर प्रतिच्छेद करती हैं। यदि $\angle AOC + \angle BOD = 130^\circ$ है, तो सभी चार कोण ज्ञात करें।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर:

रेखाएँ $AB$ और $CD$ $O$ पर प्रतिच्छेद करती हैं। इसलिए, $\angle AOC$ और $\angle BOD$ ऊर्ध्वाधर विपरीत कोण हैं:

$$\angle AOC = \angle BOD$$

यह देखते हुए कि $\angle AOC + \angle BOD = 130^\circ$:

$$2\angle AOC = 130^\circ \implies \mathbf{\angle AOC = 65^\circ} \quad \text{and} \quad \mathbf{\angle BOD = 65^\circ}$$

अब, किरण $OC$ सीधी रेखा $AB$ पर खड़ी है। रैखिक युग्म अभिगृहीत द्वारा:

$$\angle AOC + \angle BOC = 180^\circ$$

$$65^\circ + \angle BOC = 180^\circ \implies \mathbf{\angle BOC = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ}$$

चूंकि $\angle AOD$ और $\angle BOC$ लंबवत विपरीत हैं:

$$\mathbf{\angle AOD = \angle BOC = 115^\circ}$$

.
चार कोण $65^\circ, 115^\circ, 65^\circ, 115^\circ$ हैं।

लंबवत् विपरीत कोण बराबर होते हैं, इसलिए प्रत्येक कोण $130/2 = 65^\circ$ होता है। $180 - 65 = 115^\circ$ खोजने के लिए रैखिक युग्म का उपयोग करें।

दो समानांतर रेखाएँ $l$ और $m$ एक तिर्यक रेखा $t$ द्वारा काटी जाती हैं। यदि तिर्यक रेखा के एक ही तरफ दो आंतरिक कोणों का अनुपात $2 : 3$ है, तो छोटे कोण का माप ज्ञात करें।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर:

मान लीजिए कि तिर्यक रेखा के एक ही तरफ सह-आंतरिक कोण $2x$ और $3x$ हैं।
समानांतर रेखाओं के लिए, सह-आंतरिक कोण पूरक (योग $= 180^\circ$):

$$2x + 3x = 180^\circ$$

$$5x = 180^\circ \implies x = \frac{180}{5} = 36^\circ$$

छोटा कोण है:

$$2x = 2 \times 36^\circ = \mathbf{72^\circ}$$

(बड़ा कोण है) $3 \times 36^\circ = 108^\circ$).

सह-आंतरिक कोणों का योग $180^\circ$ होता है। $2x + 3x = 180 \implies 5x = 180 \implies x = 36^\circ$ सेट करें. छोटा $72^\circ$ है.

एक चित्र में, $AB \parallel CD$. तिर्यक रेखा $PQ$ $AB$ को $E$ पर और $CD$ को $F$ पर काटती है। यदि $\angle PEB = 75^\circ$ है, तो $\angle EFD$ और $\angle EFC$ खोजें।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर:

$AB \parallel CD$ और अनुप्रस्थ $PQ$:
1 दिया गया है। संगत कोण: $\angle EFD$ और $\angle PEB$ संगत स्थिति में हैं:

$$\mathbf{\angle EFD = \angle PEB = 75^\circ}$$

2. सह-आंतरिक कोण / रैखिक युग्म: रे $FE$ रेखा $CD$ पर खड़ा है, इसलिए $\angle EFC$ और $\angle EFD$ एक रैखिक युग्म बनाते हैं:

$$\angle EFC + \angle EFD = 180^\circ$$

$$\angle EFC + 75^\circ = 180^\circ \implies \mathbf{\angle EFC = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ}$$

।

संगत कोण $\angle EFD = 75^\circ$. रैखिक युग्म द्वारा, $\angle EFC = 180 - 75 = 105^\circ$.

सिद्ध कीजिए कि कोणों के रैखिक युग्म के समद्विभाजक एक दूसरे पर लंबवत होते हैं।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर:

मान लीजिए $\angle AOC$ और $\angle BOC$ सीधी रेखा $AB$ पर एक रैखिक युग्म बनाते हैं।

$$\angle AOC + \angle BOC = 180^\circ$$

किरण $OX$ समद्विभाजित $\angle AOC$ और किरण $OY$ समद्विभाजित $\angle BOC$:

$$\angle AOX = \angle XOC = \frac{1}{2}\angle AOC$$

$$\angle BOY = \angle YOC = \frac{1}{2}\angle BOC$$

के बीच का कोण है दो समद्विभाजक $\angle XOY$ हैं:

$$\angle XOY = \angle XOC + \angle YOC = \frac{1}{2}\angle AOC + \frac{1}{2}\angle BOC$$

$$= \frac{1}{2}(\angle AOC + \angle BOC) = \frac{1}{2}(180^\circ) = \mathbf{90^\circ}$$

चूंकि $\angle XOY = 90^\circ$, द्विभाजक एक दूसरे के लंबवत ($OX \perp OY$) हैं।

समद्विभाजक के बीच का कोण $\frac{1}{2}(\angle AOC + \angle BOC) = \frac{1}{2}(180^\circ) = 90^\circ$ है।

यदि दो रेखाओं को एक तिर्यक रेखा द्वारा इस प्रकार प्रतिच्छेद किया जाता है कि वैकल्पिक आंतरिक कोणों की एक जोड़ी $(3x - 10)^\circ$ और $(2x + 15)^\circ$ है, तो $x$ का वह मान ज्ञात कीजिए जो दोनों रेखाओं को समानांतर बनाता है।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर:

रेखाओं के समानांतर होने के लिए, वैकल्पिक आंतरिक कोण बराबर होने चाहिए:

$$3x - 10 = 2x + 15$$

स्थानांतरित करें $2x$ को LHS और $-10$ को RHS:

$$3x - 2x = 15 + 10$$

$$\mathbf{x = 25}$$

.
जांचें: $3(25) - 10 = 75 - 10 = 65^\circ$; $2(25) + 15 = 50 + 15 = 65^\circ$. बराबर!

वैकल्पिक आंतरिक कोणों को बराबर करें: $3x - 10 = 2x + 15$। $x = 25$ खोजने के लिए हल करें।

उन तीन स्थितियों का उल्लेख करें जिनके अंतर्गत दो रेखाएँ समानांतर सिद्ध होती हैं।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर:

जब दो समतलीय रेखाएं एक तिर्यक रेखा द्वारा प्रतिच्छेद करती हैं, तो वे समानांतर होती हैं यदि निम्नलिखित में से कोई एक सही हो:
1. संगत कोणों का कोई भी एक जोड़ा बराबर होता है।
2. वैकल्पिक आंतरिक कोणों का कोई भी एक जोड़ा बराबर होता है।
3। तिर्यक रेखा के एक ही तरफ सह-आंतरिक कोण का कोई भी जोड़ा पूरक है (उनका योग $180^\circ$ के बराबर है)।

संगत कोण बराबर, एकांतर आंतरिक कोण बराबर, या सह-आंतरिक कोण पूरक ($180^\circ$)।

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फाउंडेशन टेस्ट

15 MCQs • मूल अवधारणाएँ

एडवांस्ड टेस्ट

15 MCQs • HOTS और ट्रैप्स