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Class 8
Mathematics
अध्याय 13: बीजगणितीय सर्वसमिकाएँ (Algebraic Identities)

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ICSE • कक्षा 8 • Mathematics • अध्याय 13

अनुमानित समय: 45 Mins

प्रगति: अध्ययनरत

बीजगणितीय सर्वसमिकाएँ (Algebraic Identities)

आईसीएसई कक्षा 8 गणित में, "बीजगणितीय पहचान" मानक बहुपद पहचान, ज्यामितीय विज़ुअलाइज़ेशन, विस्तार, सशर्त पहचान और संख्यात्मक मूल्यांकन की जांच करने वाला एक आधिकारिक, गणितीय रूप से कठोर मास्टर अध्ययन गाइड प्रदान करता है। यह विस्तृत अध्याय यह बताता है कि पहचान क्या है? (समानता चर के सभी संभावित संख्यात्मक मानों के लिए मान्य है बनाम सशर्त समीकरण केवल विशिष्ट जड़ों के लिए मान्य है), मानक रैखिक और द्विघात पहचान: 1. $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, 2. $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, 3. $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$, 4. $(x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab$, व्युत्पन्न युग्मित पहचान ($(a + b)^2 + (a - b)^2 = 2(a^2 + b^2)$; $(a + b)^2 - (a - b)^2 = 4ab$), पारस्परिक समान विस्तार ($(x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + \frac{1}{x^2} + 2$; $(x - \frac{1}{x})^2 = x^2 + \frac{1}{x^2} - 2$; $(x + \frac{1}{x})^2 - (x - \frac{1}{x})^2 = 4$), त्रिपद विस्तार ($(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$; प्रतिस्थापन द्वारा नकारात्मक संकेतों को संभालना), घन विस्तार: 1. $(a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a + b)$, 2. $(a - b)^3 = a^3 - b^3 - 3ab(a - b)$, दो घनों का योग और अंतर ($a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$; $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$), सशर्त घन पहचान (यदि $a + b + c = 0$, तो $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$), और तीव्र लंबे गुणा के बिना संख्यात्मक मानसिक मूल्यांकन (उदाहरण के लिए, $105^2 = (100 + 5)^2, 98 \times 102 = (100 - 2)(100 + 2)$) 2026-27 सीआईएससीई आईसीएसई पाठ्यक्रम के साथ संरेखित।

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प्रस्तावना अध्याय अवधारणाएँ सूत्र एवं सर्वसमिकाएँ अध्याय सारांश स्व-मूल्यांकन अभ्यास टेस्ट दें

एक भारतीय स्कूली छात्र ने अपने सिर में दो सेकंड में 998 वर्ग की गणना कैसे की, जबकि उसका शिक्षक अभी भी पहला अंक लिख रहा था?

कल्पना कीजिए कि कोई आपसे $998 \times 998$ को गुणा करने के लिए कह रहा है। अधिकांश लोग एक कलम पकड़ लेते हैं और परिश्रमपूर्वक लंबी गुणा की तीन पंक्तियों को लिखना शुरू कर देते हैं, गलतियों को जोड़ते हैं और त्रुटियों पर पसीना बहाते हैं। लेकिन एक छात्र जो बीजगणितीय पहचान जानता है मुस्कुराता है, अपनी आँखें बंद करता है, और कहता है: "996,004!" उन्होंने इसे दो सेकंड में कैसे किया? उन्होंने $998$ को $998$ से गुणा नहीं किया; उन्होंने $998$ को $(1,000 - 2)$ के रूप में देखा! $a = 1,000$ और $b = 2$ के साथ पहचान $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ का उपयोग करना: $1,000^2 - 2(1000)(2) + 2^2 = 1,000,000 - 4,000 + 4 = \mathbf{996,004}$! स्वच्छ, तत्काल मानसिक अंकगणित! बीजगणितीय पहचान एक समानता है जो ब्रह्मांड में प्रत्येक संख्या के लिए सत्य है! $(x + \frac{1}{x})$ और $(x^2 + \frac{1}{x^2})$ के बीच गुप्त संबंध क्या है? $28^3 + (-15)^3 + (-13)^3$ बिना किसी घन की गणना के तीन संख्याओं के एक सरल उत्पाद में क्यों सिमट जाता है? आइए बीजीय सर्वसमिकाओं में महारत हासिल करें।

यह अध्याय क्यों महत्वपूर्ण है

बीजगणितीय सर्वसमिकाएं ज्यामिति (दूरी सूत्र, समन्वय रोटेशन), कैलकुलस (शक्तियों के व्युत्पन्न, द्विपद प्रमेय), क्वांटम यांत्रिकी, कंप्यूटर ग्राफिक्स किरण अनुरेखण और इंजीनियरिंग तनाव टेंसर में प्राथमिक बीजगणितीय उपकरण हैं। ICSE गणित में विस्तार और सशर्त प्रमाणों में महारत हासिल करना एक मुख्य आवश्यकता है।

अध्ययन से पूर्व (आवश्यक ज्ञान)

अध्याय 3 और 12 से बहुपद और घातांक का गुणन।
अध्याय 1 से गुणनखंडीकरण बुनियादी सिद्धांत।
संचालन का क्रम।

इस अध्याय के लक्ष्य

बीजगणितीय पहचान और सशर्त समीकरण के बीच अंतर करें।
विस्तार और मानसिक अंकगणित के लिए मानक द्विघात पहचान $(a \pm b)^2$ और $(a + b)(a - b)$ लागू करें।
$(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$ का उपयोग करके तीन-अवधि वाले बहुपदों का विस्तार करें।
का उपयोग करके घन अभिव्यक्तियों का विस्तार करें $(a \pm b)^3 = a^3 \pm b^3 \pm 3ab(a \pm b)$.
$(x + 1/x)$ और $(x^2 + 1/x^2)$ वाली पारस्परिक पहचान का उपयोग करें.
सशर्त पहचान लागू करें: यदि $a + b + c = 0$, तो $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$.

अध्याय रूपरेखा एवं प्रगति

1 1. पहचान बनाम समीकरण और मानक द्विघा...

2 2. पारस्परिक पहचान: $(x \pm \frac{1...

3 3. त्रिपद वर्ग और घन विस्तार

4 4. घनों का योग/अंतर और सशर्त पहचान

सम्पूर्ण सैद्धांतिक एवं वैचारिक अध्ययन

1. पहचान बनाम समीकरण और मानक द्विघात पहचान

2. पारस्परिक पहचान: $(x \pm \frac{1}{x})$

3. त्रिपद वर्ग और घन विस्तार

4. घनों का योग/अंतर और सशर्त पहचान

महत्वपूर्ण सूत्र, सर्वसमिकाएँ एवं प्रमेय

त्रिनोमियल विस्तार सूत्र

$$(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$$

तीन-पद वाले बहुपद का वर्ग।

सशर्त घन पहचान

$$a + b + c = 0 \implies a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$$

व्यक्तिगत घनों की गणना किए बिना त्वरित मूल्यांकन की अनुमति देता है।

बीजगणित: (a+b)^2 और घन का ज्यामितीय प्रमाण पहचान

² ab ab b² Area = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b² CUBIC & CONDITIONAL IDENTITIES • Cubic Expansion: (a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b) (a - b)³ = a³ - b³ - 3ab(a - b) • Trinomial Square: (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca THE CONDITIONAL THEOREM: If a + b + c = 0 ⇒ a³ + b³ + c³ = 3abc • Reciprocals: (x + 1/x)² = x² + 1/x² + 2 (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 • (a+b)^3 = a^3+b^3+3ab(a+b) • a+b+c=0 ⇒ a^3+b^3+c^3 = 3abc

अध्याय का सार संक्षेप एवं 10 मुख्य निष्कर्ष

मुख्य बिंदु 1

एक बीजगणितीय पहचान उसके चर के सभी मानों के लिए एक समानता है।

मुख्य बिंदु 2

मानक वर्ग पहचान: (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 और (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.

मुख्य बिंदु 3

वर्गों का अंतर: (a + b)(a - b) = a^2 - b^2.

मुख्य बिंदु 4

युग्मित सहायक सूत्र: (a + b)^2 + (a - b)^2 = 2(a^2 + b^2) और (a + b)^2 - (a - b)^2 = 4ab.

मुख्य बिंदु 5

पारस्परिक पहचान: (x + 1/x)^2 = x^2 + 1/x^2 + 2 और (x - 1/x)^2 = x^2 + 1/x^2 - 2.

मुख्य बिंदु 6

त्रिनोमियल विस्तार: (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca.

मुख्य बिंदु 7

घन विस्तार: (a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a + b) और (a - b)^3 = a^3 - b^3 - 3ab(a - b).

मुख्य बिंदु 8

घनों का योग और अंतर: a^3 +- b^3 = (a +- b)(a^2 -+ ab + b^2).

मुख्य बिंदु 9

सशर्त पहचान: यदि a + b + c = 0, तो a^3 + b^3 + c^3 = 3abc.

मुख्य बिंदु 10

पहचान लंबे गुणा के बिना तेजी से मानसिक अंकगणितीय मूल्यांकन सक्षम करती है।

स्व-मूल्यांकन अभ्यास (Check Your Understanding)

मूल वैचारिक स्पष्टता की जांच के लिए नैदानिक प्रश्न। पहले स्वयं हल करें, फिर उत्तर देखें।

यदि $x + \frac{1}{x} = 5$, का मान पाएं: (ए) $x^2 + \frac{1}{x^2}$, (बी) $x^4 + \frac{1}{x^4}$.

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर:

• (a) $x^2 + \frac{1}{x^2}$ खोजें:
$x + \frac{1}{x} = 5$ के दोनों किनारों को वर्गाकार करें:

$$\left( x + \frac{1}{x} \right)^2 = 5^2$$

$$x^2 + 2(x)\left(\frac{1}{x}\right) + \frac{1}{x^2} = 25$$

$$x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = 25$$

$$x^2 + \frac{1}{x^2} = 25 - 2 = \mathbf{23}$$

• (b) खोजें $x^4 + \frac{1}{x^4}$:
$x^2 + \frac{1}{x^2} = 23$ के दोनों किनारों को वर्गाकार करें:

$$\left( x^2 + \frac{1}{x^2} \right)^2 = 23^2$$

$$x^4 + 2 + \frac{1}{x^4} = 529$$

$$x^4 + \frac{1}{x^4} = 529 - 2 = \mathbf{527}$$

(a) $5^2 - 2 = 23$. (b) $23^2 - 2 = 529 - 2 = 527$.

यदि $a + b = 10$ और $ab = 21$, तो $a^3 + b^3$ का मान ज्ञात करें.

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: घन विस्तार लागू करें पहचान:
$$(a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a + b)$$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करें $a + b = 10$ और $ab = 21$:
$$10^3 = a^3 + b^3 + 3(21)(10)$$
$$1000 = a^3 + b^3 + 630$$
$$a^3 + b^3 = 1000 - 630 = \mathbf{370}$$.
$a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b) = 10^3 - 3(21)(10) = 1000 - 630 = 370$.

सीधे घनों की गणना किए बिना, मूल्यांकन करें: $(28)^3 + (-15)^3 + (-13)^3$.

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: मान लीजिए $a = 28, b = -15, c = -13$.
चरण 1: योग की जाँच करें $(a + b + c)$:
$$a + b + c = 28 + (-15) + (-13) = 28 - 28 = 0$$
चरण 2: सशर्त पहचान लागू करें:
$$\text{If } a + b + c = 0, \quad \text{then } a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$$
$$= 3 \times (28) \times (-15) \times (-13)$$
ध्यान दें कि $(-15) \times (-13) = +195$:
$$= 3 \times 28 \times 195 = 84 \times 195 = \mathbf{16,380}$$.
चूंकि $28 + (-15) + (-13) = 0$, योग $3abc = 3(28)(-15)(-13) = 16,380$ के बराबर है.

पहचान का उपयोग करके विस्तार करें: $(2x - 3y + 4z)^2$.

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: त्रिनोमियल वर्ग पहचान लागू करें: $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$.
यहां $a = 2x, b = -3y, c = 4z$:
$$= (2x)^2 + (-3y)^2 + (4z)^2 + 2(2x)(-3y) + 2(-3y)(4z) + 2(4z)(2x)$$
$$= \mathbf{4x^2 + 9y^2 + 16z^2 - 12xy - 24yz + 16zx}$$.
प्रत्येक पद का वर्ग करें ($4x^2 + 9y^2 + 16z^2$), फिर उचित चिह्नों के साथ जोड़ीवार दोहरे उत्पाद जोड़ें।

वास्तविक गुणन के बिना बीजीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके मूल्यांकन करें:
(a) $105 \times 95$
(b) $103^2$.

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर:

• (a) $105 \times 95$:
को $(100 + 5)(100 - 5)$ के रूप में व्यक्त करें और $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$:

$$= 100^2 - 5^2 = 10,000 - 25 = \mathbf{9,975}$$

�� लागू करें (b) $103^2$:
को $(100 + 3)^2$ के रूप में व्यक्त करें और $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$$= 100^2 + 2(100)(3) + 3^2 = 10,000 + 600 + 9 = \mathbf{10,609}$$

लागू करें।

(a) $(100 + 5)(100 - 5) = 10000 - 25 = 9975$. (b) $(100 + 3)^2 = 10000 + 600 + 9 = 10609$.

यदि $x - \frac{1}{x} = 4$, तो $x^3 - \frac{1}{x^3}$ का मान ज्ञात करें।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: घन पारस्परिक पहचान लागू करें:
$$\left( x - \frac{1}{x} \right)^3 = x^3 - \frac{1}{x^3} - 3\left( x - \frac{1}{x} \right)$$
विकल्प $x - \frac{1}{x} = 4$:
$$4^3 = x^3 - \frac{1}{x^3} - 3(4)$$
$$64 = x^3 - \frac{1}{x^3} - 12$$
$$x^3 - \frac{1}{x^3} = 64 + 12 = \mathbf{76}$$.
$x^3 - 1/x^3 = (x - 1/x)^3 + 3(x - 1/x) = 4^3 + 3(4) = 64 + 12 = 76$.

पहचान साबित करें: $(a + b)^2 - (a - b)^2 = 4ab$.

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: LHS पर दोनों शब्दों का विस्तार करें:
• $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
$$\text{LHS} = (a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2)$$
$$= a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + 2ab - b^2$$
$$= (a^2 - a^2) + (b^2 - b^2) + (2ab + 2ab)$$
$$= 0 + 0 + 4ab = \mathbf{4ab = \text{RHS}}$$. सिद्ध!
दोनों वर्गों का विस्तार करें: $(a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2) = 4ab$.

यदि $a^2 + b^2 + c^2 = 29$ और $a + b + c = 9$, तो $ab + bc + ca$ का मान ज्ञात करें।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: त्रिपद वर्ग पहचान लागू करें:
$$(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca)$$
विकल्प ज्ञात मान:
$$9^2 = 29 + 2(ab + bc + ca)$$
$$81 = 29 + 2(ab + bc + ca)$$
$$2(ab + bc + ca) = 81 - 29 = 52$$
$$ab + bc + ca = \frac{52}{2} = \mathbf{26}$$.
$2(ab + bc + ca) = (a + b + c)^2 - (a^2 + b^2 + c^2) = 81 - 29 = 52 \implies ab + bc + ca = 26$.

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