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Class 8
Mathematics
अध्याय 22: सरलरेखीय आकृतियों का क्षेत्रफल (Area of Rectilinear Figures)

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ICSE • कक्षा 8 • Mathematics • अध्याय 22

अनुमानित समय: 45 Mins

प्रगति: अध्ययनरत

सरलरेखीय आकृतियों का क्षेत्रफल (Area of Rectilinear Figures)

आईसीएसई कक्षा 8 गणित में, "रेक्टिलिनियर आकृतियों का क्षेत्र" एक आधिकारिक, गणितीय रूप से कठोर मास्टर अध्ययन मार्गदर्शिका प्रदान करता है जो मिश्रित बहुभुज समतल आकृतियों, त्रिकोणों, चतुर्भुजों, पथों और क्षेत्र सर्वेक्षक क्रॉस-स्टाफ मानचित्रों की परिधि और क्षेत्र की जांच करता है। यह व्यापक अध्याय त्रिभुजों के क्षेत्रफल का अन्वेषण करता है (1. आधार-ऊंचाई सूत्र: $\text{Area} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{height}$, 2. समकोण त्रिभुज: $\text{Area} = \frac{1}{2} \times \text{product of legs}$, 3. समबाहु त्रिभुज सूत्र: $\text{Area} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ ऊंचाई के साथ $h = \frac{\sqrt{3}}{2}a$, 4. समद्विबाहु त्रिभुज: $\text{Area} = \frac{b}{4}\sqrt{4a^2 - b^2}$, 5. विषमकोण त्रिभुजों के लिए हेरॉन का मुख्य क्षेत्र सूत्र: $\text{Area} = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$ जहां अर्ध-परिधि $s = \frac{a + b + c}{2}$), चतुर्भुजों का क्षेत्रफल (1. सामान्य चतुर्भुज में एक विकर्ण $d$ और दो लंबवत ऑफसेट $h_1, h_2$: $\text{Area} = \frac{1}{2} d (h_1 + h_2)$, 2. समलंब: $\text{Area} = \frac{1}{2} \times (a + b) \times h$, 3. समांतर चतुर्भुज: $\text{Area} = \text{base} \times \text{height}$, 4. समचतुर्भुज: $\text{Area} = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 = \text{base} \times \text{height}$), पथों, बरामदों और सीमाओं का क्षेत्रफल (आयताकार लॉन के अंदर या बाहर दौड़ना; पार्कों के बीच से होकर गुजरने वाले क्रॉस-पाथ), और अनियमित बहुभुजों का सर्वेक्षण और क्षेत्र (क्रॉस-स्टाफ सर्वेक्षक फ़ील्ड बुक विधि: अनियमित भूमि एकड़ को एक केंद्रीय आधार रेखा के साथ त्रिकोण और ट्रेपेज़ियम में विभाजित करना) 2026-27 सीआईएससीई आईसीएसई पाठ्यक्रम के साथ संरेखित।

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प्रस्तावना अध्याय अवधारणाएँ सूत्र एवं सर्वसमिकाएँ अध्याय सारांश स्व-मूल्यांकन अभ्यास टेस्ट दें

अलेक्जेंड्रिया में एक प्राचीन यूनानी इंजीनियर ने स्केलीन त्रिभुज की ऊंचाई को मापे बिना उसके क्षेत्रफल की गणना कैसे की?

भूमि के एक अनियमित त्रिकोणीय भूखंड की कल्पना करें जो $13\text{ meters}$, $14\text{ meters}$, और $15\text{ meters}$ मापने वाली तीन खड़ी खड्डों से घिरा हो। आप इसे खरीदना चाहते हैं, लेकिन उचित कीमत जानने के लिए आपको इसका सटीक क्षेत्रफल चाहिए। मानक सूत्र कहता है $\text{Area} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{height}$—लेकिन आप एक साहुल रेखा कैसे गिराते हैं और एक चट्टानी खड्ड के अंदर ऊर्ध्वाधर ऊंचाई कैसे मापते हैं? 60 ईस्वी में रोमन मिस्र में, अलेक्जेंड्रिया के हीरो (बगुला) ने इस प्राचीन संकट को हमेशा के लिए हल कर दिया! उन्होंने एक अद्भुत फॉर्मूला बनाया जो केवल तीन तरफ की लंबाई ($a, b, c$) का उपयोग करके सटीक क्षेत्र की गणना करता है - ऊंचाई की आवश्यकता नहीं है! पहले अर्ध-परिधि $s = \frac{13 + 14 + 15}{2} = 21$ की गणना करें। फिर गुणा करें: $\sqrt{21 \times (21-13) \times (21-14) \times (21-15)} = \sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6} = \sqrt{7056} = \mathbf{84\text{ m}^2}$! शुद्ध प्रतिभा! आधुनिक भूमि सर्वेक्षणकर्ता क्रॉस-स्टाफ़ बेसलाइन का उपयोग करके संपूर्ण अनियमित कृषि संपदा का मानचित्र कैसे बनाते हैं? ट्रैपेज़ियम के लिए गुप्त क्षेत्र सूत्र क्या है? आइए सीधीरेखीय आकृतियों के क्षेत्र में महारत हासिल करें।

यह अध्याय क्यों महत्वपूर्ण है

सिविल निर्माण (कंक्रीट स्लैब, टाइलिंग लेआउट), रियल एस्टेट कैडस्ट्राल भूमि कार्य, कृषि फसल उपज अनुकूलन, शहरी सड़क योजना और सामग्री निर्माण के लिए रेक्टिलिनियर आंकड़ों का समतल क्षेत्रमिति आवश्यक है। हेरॉन के सूत्र और समग्र बहुभुज सर्वेक्षक अपघटन में महारत हासिल करना एक मुख्य उच्च स्कोरिंग आईसीएसई गणित विषय है।

अध्ययन से पूर्व (आवश्यक ज्ञान)

कक्षा 7 से आयतों और वर्गों की परिधि और क्षेत्रफल।
पाइथागोरस प्रमेय ($a^2 + b^2 = c^2$)।
अध्याय से वर्गमूल और दशमलव अंकगणित 4.

इस अध्याय के लक्ष्य

मानक आधार-ऊंचाई और हेरॉन के सूत्र का उपयोग करके त्रिभुज क्षेत्रों की गणना करें।
समबाहु त्रिभुज क्षेत्र सूत्र $\frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ को प्राप्त करें और लागू करें।
$\frac{1}{2}(a + b)h$ का उपयोग करके एक समलंब के क्षेत्रफल की गणना करें।
एक समचतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना उसके विकर्णों के आधे उत्पाद का उपयोग करके करें: $\frac{1}{2} d_1 d_2$.
आंतरिक और बाहरी चलने वाले पथों और क्रॉसिंग पथों के क्षेत्र की गणना करें।
सर्वेक्षक फील्ड बुक विधि का उपयोग करके अनियमित भूमि बहुभुजों के कुल एकड़ की गणना करें।

अध्याय रूपरेखा एवं प्रगति

1 1। त्रिभुज क्षेत्र सूत्र और बगुला प...

2 2. चतुर्भुजों का क्षेत्रफल: समलंब,...

3 3. पथों, सीमाओं और चौराहों का क्षेत...

4 4. सर्वेक्षक की फील्ड बुक अपघटन

सम्पूर्ण सैद्धांतिक एवं वैचारिक अध्ययन

1। त्रिभुज क्षेत्र सूत्र और बगुला प्रमेय

2. चतुर्भुजों का क्षेत्रफल: समलंब, समांतर चतुर्भुज और समचतुर्भुज

3. पथों, सीमाओं और चौराहों का क्षेत्रफल

4. सर्वेक्षक की फील्ड बुक अपघटन

महत्वपूर्ण सूत्र, सर्वसमिकाएँ एवं प्रमेय

हेरोन का क्षेत्रफल सूत्र

$$\text{Area} = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} \quad [s = (a+b+c)/2]$$

तीन भुजाओं की लंबाई से किसी भी त्रिभुज का क्षेत्रफल।

त्रैपेजियम क्षेत्रफल सूत्र

$$\text{Area} = \frac{1}{2} (a + b) h$$

समानांतर भुजाओं के योग का आधा गुणा लंबवत ऊंचाई।

मासिक धर्म: ट्रेपेज़ियम का क्षेत्रफल और हेरॉन के त्रिभुज का अपघटन

² TRAPEZIUM & RHOMBUS FORMULAS Parallel side a Parallel side b h Trapezium: Area = ½ (a + b) × h Rhombus: Area = ½ × d1 × d2 • General Quad: ½ d (h1 + h2) • Cross-roads: w(L+B) - w² HERON: √[s(s-a)(s-b)(s-c)] • TRAPEZIUM: ½(a+b)h • RHOMBUS: ½ d1*d2 • SUBTRACT OVERLAPS

अध्याय का सार संक्षेप एवं 10 मुख्य निष्कर्ष

मुख्य बिंदु 1

मानक त्रिभुज क्षेत्रफल: क्षेत्रफल = 1/2 * आधार * ऊँचाई।

मुख्य बिंदु 2

हेरॉन का सूत्र 3 भुजाओं से त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करता है: क्षेत्रफल = sqrt[s(s - a)(s - b)(s - c)], जहाँ s = (a + b + c)/2.

मुख्य बिंदु 3

भुजा a वाले समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल: क्षेत्रफल = (sqrt(3)/4) * a^2.

मुख्य बिंदु 4

विकर्ण d और ऑफसेट h1, h2 के साथ एक सामान्य चतुर्भुज का क्षेत्रफल: क्षेत्रफल = 1/2 * d * (h1 + h2).

मुख्य बिंदु 5

एक समलंब का क्षेत्रफल: क्षेत्रफल = 1/2 * (समानांतर भुजाओं का योग) * ऊँचाई = 1/2 * (a + b) * h.

मुख्य बिंदु 6

समचतुर्भुज का क्षेत्रफल: क्षेत्रफल = 1/2 * डी1 * डी2.

मुख्य बिंदु 7

बाहरी पथ क्षेत्र: क्षेत्रफल = (L + 2w)(B + 2w) - LB.

मुख्य बिंदु 8

आंतरिक पथ क्षेत्र: क्षेत्रफल = LB - (L - 2w)(B - 2w).

मुख्य बिंदु 9

केंद्रीय चौराहा क्षेत्र: क्षेत्रफल = w(L + B) - w^2 (केंद्रीय वर्ग ओवरलैप घटाएं).

मुख्य बिंदु 10

सर्वेक्षक फ़ील्ड बुक विधि कुल की गणना करती है विघटित समकोण त्रिभुजों और समलंबों का योग करके क्षेत्रफल।

स्व-मूल्यांकन अभ्यास (Check Your Understanding)

मूल वैचारिक स्पष्टता की जांच के लिए नैदानिक प्रश्न। पहले स्वयं हल करें, फिर उत्तर देखें।

हेरोन के सूत्र का उपयोग करके उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें जिसकी भुजाएँ $13\text{ cm}, 14\text{ cm},$ और $15\text{ cm}$ हैं।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: चरण 1: अर्ध-परिधि $s$:
$$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{13 + 14 + 15}{2} = \frac{42}{2} = \mathbf{21\text{ cm}}$$
की गणना करें। चरण 2: $(s - a), (s - b),$ की गणना करें और $(s - c)$:
• $s - a = 21 - 13 = 8\text{ cm}$
• $s - b = 21 - 14 = 7\text{ cm}$
• $s - c = 21 - 15 = 6\text{ cm}$

चरण 3: हेरॉन का सूत्र लागू करें:
$$\text{Area} = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$$
$$\text{Area} = \sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6}$$
वर्ग के अंतर्गत गुणनखंड करें रूट:
$$= \sqrt{(7 \times 3) \times (4 \times 2) \times 7 \times (3 \times 2)}$$
$$= \sqrt{7^2 \times 3^2 \times 4 \times 4} = 7 \times 3 \times 4 = \mathbf{84\text{ cm}^2}$$.
$s = 21$. $\text{Area} = \sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6} = \sqrt{7056} = 84\text{ cm}^2$.

एक समलम्ब की समानांतर भुजाएँ $25\text{ cm}$ और $13\text{ cm}$ हैं, और इसकी गैर-समानांतर भुजाएँ बराबर हैं, प्रत्येक $10\text{ cm}$ है। समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: चरण 1: एक समद्विबाहु समलंब में, छोटे आधार ($13\text{ cm}$) के सिरों से लंबे आधार ($25\text{ cm}$) तक लंबवत ऊंचाई $h$ गिराएं।
लंबे आधार को मध्य में $13\text{ cm}$ और दो समान खंडों में विभाजित किया गया है पक्ष:
$$\text{Each side segment} = \frac{25 - 13}{2} = \frac{12}{2} = 6\text{ cm}$$
चरण 2: पाइथागोरस प्रमेय द्वारा, ऊंचाई ज्ञात करें $h$:
$$h^2 + 6^2 = 10^2 \implies h^2 + 36 = 100 \implies h^2 = 64 \implies \mathbf{h = 8\text{ cm}}$$
चरण 3: ट्रेपेज़ियम क्षेत्र फॉर्मूला लागू करें:
$$\text{Area} = \frac{1}{2} (a + b) \times h = \frac{1}{2} (25 + 13) \times 8 = \frac{1}{2} \times 38 \times 8 = 38 \times 4 = \mathbf{152\text{ cm}^2}$$.
आधार खंड $(25 - 13)/2 = 6\text{ cm}$ है। ऊंचाई $h = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8\text{ cm}$. $\text{Area} = \frac{1}{2}(38)(8) = 152\text{ cm}^2$.

एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल $216\text{ cm}^2$ है। यदि इसका एक विकर्ण $24\text{ cm}$ मापता है, तो खोजें: (ए) दूसरे विकर्ण की लंबाई, (बी) समचतुर्भुज के प्रत्येक पक्ष की लंबाई।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर:

• (ए) अन्य विकर्ण की लंबाई ($d_2$):

$$\text{Area} = \frac{1}{2} d_1 d_2$$

$$216 = \frac{1}{2} \times 24 \times d_2$$

$$216 = 12 d_2 \implies d_2 = \frac{216}{12} = \mathbf{18\text{ cm}}$$

• (बी) समचतुर्भुज की भुजा की लंबाई:
विकर्ण एक दूसरे को $90^{\circ}$ पर समद्विभाजित करते हैं। अर्ध-विकर्ण हैं:
• $\frac{d_1}{2} = \frac{24}{2} = 12\text{ cm}$
• $\frac{d_2}{2} = \frac{18}{2} = 9\text{ cm}$
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:

$$\text{Side} = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = \mathbf{15\text{ cm}}$$

(a) $d_2 = (2 \times 216) / 24 = 18\text{ cm}$. (बी) $\text{Side} = \sqrt{12^2 + 9^2} = 15\text{ cm}$.

एक आयताकार घास वाला लॉन $50\text{ m} \times 40\text{ m}$ मापता है। लॉन के बाहर चारों ओर $2.5\text{ m}$ चौड़ा पथ बनाया गया है। $\text{Rs } 20\text{ per m}^2$.

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: चरण 1: आंतरिक लॉन का क्षेत्रफल $= 50 \times 40 = \mathbf{2000\text{ m}^2}$.
चरण 2: $w = 2.5\text{ m}$ के साथ बाहरी आयाम:
• बाहरी लंबाई $= 50 + 2(2.5) = 50 + 5 = 55\text{ m}$
• बाहरी चौड़ाई $= 40 + 2(2.5) = 40 + 5 = 45\text{ m}$
बाहरी क्षेत्र पर पथ का क्षेत्रफल और उस पर बजरी डालने की लागत ज्ञात करें $= 55 \times 45 = \mathbf{2475\text{ m}^2}$.
चरण 3: पथ का क्षेत्रफल $= \text{Outer Area} - \text{Inner Area}$:
$$\text{Area of Path} = 2475 - 2000 = \mathbf{475\text{ m}^2}$$
चरण 4: बजरी डालने की लागत:
$$\text{Cost} = 475 \times 20 = \mathbf{\text{Rs } 9,500}$$.
बाहरी आयाम: $55 \times 45 = 2475\text{ m}^2$. पथ क्षेत्र: $2475 - 2000 = 475\text{ m}^2$. लागत: $475 \times 20 = \text{Rs } 9500$.

दो चौराहे, प्रत्येक की चौड़ाई $5\text{ meters}$, आयाम $70\text{ m} \times 50\text{ m}$ के एक आयताकार पार्क के केंद्र के माध्यम से समकोण पर चलते हैं। चौराहे का क्षेत्रफल ज्ञात करें।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: चरण 1: लंबाई के समानांतर सड़क का क्षेत्रफल ($70\text{ m}$):
$$\text{Area}_1 = 70 \times 5 = 350\text{ m}^2$$
चरण 2: चौड़ाई के समानांतर सड़क का क्षेत्रफल ($50\text{ m}$):
$$\text{Area}_2 = 50 \times 5 = 250\text{ m}^2$$
चरण 3: आम ओवरलैपिंग वर्ग का क्षेत्रफल मध्य:
$$\text{Common Area} = 5 \times 5 = 25\text{ m}^2$$
चरण 4: चौराहे का शुद्ध क्षेत्रफल:
$$\text{Net Area} = \text{Area}_1 + \text{Area}_2 - \text{Common Area}$$
$$= 350 + 250 - 25 = 600 - 25 = \mathbf{575\text{ m}^2}$$।
क्षेत्रफल $= (70 \times 5) + (50 \times 5) - (5 \times 5) = 350 + 250 - 25 = 575\text{ m}^2$.

एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें जिसका परिमाप $36\text{ cm}$ है। $\sqrt{3} \approx 1.732$.

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: चरण 1: भुजा की लंबाई ज्ञात करें $a$:
$$3a = 36 \implies a = \frac{36}{3} = 12\text{ cm}$$
चरण 2: समबाहु त्रिभुज क्षेत्र सूत्र लागू करें:
$$\text{Area} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 12^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 144 = 36\sqrt{3}\text{ cm}^2$$
चरण 3: स्थानापन्न $\sqrt{3} \approx 1.732$:
$$\text{Area} = 36 \times 1.732 = \mathbf{62.352\text{ cm}^2}$$.
पक्ष $a = 12\text{ cm}$. $\text{Area} = (\sqrt{3}/4)(144) = 36\sqrt{3} \approx 62.352\text{ cm}^2$.

चतुर्भुज का एक विकर्ण $26\text{ cm}$ लंबा होता है और विपरीत शीर्षों से इस पर खींचे गए लंबवत ऑफसेट $8.5\text{ cm}$ और $6.5\text{ cm}$ होते हैं। चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: सामान्य चतुर्भुज सूत्र लागू करें: $\text{Area} = \frac{1}{2} d (h_1 + h_2)$.
यहां $d = 26\text{ cm}, h_1 = 8.5\text{ cm}, h_2 = 6.5\text{ cm}$:
$$\text{Area} = \frac{1}{2} \times 26 \times (8.5 + 6.5)$$
$$= 13 \times 15 = \mathbf{195\text{ cm}^2}$$.
$\text{Area} = \frac{1}{2} \times 26 \times (8.5 + 6.5) = 13 \times 15 = 195\text{ cm}^2$.

बताएं कि एक क्षेत्र सर्वेक्षणकर्ता एक अनियमित के कुल क्षेत्रफल को खोजने के लिए क्रॉस-स्टाफ और बेसलाइन का उपयोग कैसे करता है बहुभुजीय कथानक.

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर:

• सर्वेक्षक दो निश्चित सीमा स्टेशनों (उदाहरण के लिए, $A$ और $B$) के बीच एक सीधी केंद्रीय बेसलाइन स्थापित करता है।
• जैसे ही सर्वेक्षक बेसलाइन के साथ चलता है, एक क्रॉस-स्टाफ का उपयोग संपत्ति के सभी बाहरी कोने के शीर्षों पर समकोण ($90^{\circ}$) देखने के लिए किया जाता है, जो बेसलाइन के साथ चेनेज दूरी और बाईं ओर लंबवत ऑफसेट लंबाई को रिकॉर्ड करता है और दाएं।
• यह प्रक्रिया अनियमित संपदा को समकोण त्रिभुज और समकोण समलंब के अनुक्रम में विभाजित करती है।
• प्रत्येक व्यक्तिगत ज्यामितीय पट्टी का क्षेत्र $\frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{offset}$ या $\frac{1}{2}(h_1 + h_2) \times \text{interval}$ का उपयोग करके गणना की जाती है, और उनका योग सटीक कुल भूमि क्षेत्र देता है।

लंबवत क्रॉस-स्टाफ ऑफसेट के साथ एक केंद्रीय आधार रेखा अनियमित रूप से विभाजित होती है समकोण त्रिभुजों और समलम्ब चतुर्भुजों में भूमि जिनका क्षेत्रफल कुल योग के बराबर है।

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