विशेष प्रकार के चतुर्भुजों का निर्माण (Construction of Special Types of Quadrilaterals)

• चरण 1: रूलर का उपयोग करके एक रेखाखंड $AC = 7\text{ cm}$ बनाएं।
• चरण 2: $AC$ का लंबवत समद्विभाजक बनाएं। प्रतिच्छेदन बिंदु को $O$ ($AC$ का मध्यबिंदु) के रूप में लेबल करें।
• चरण 3: विकर्ण $BD$ के आधे की गणना करें: $\frac{6\text{ cm}}{2} = 3\text{ cm}$.
• चरण 4: केंद्र $O$ और कम्पास त्रिज्या $3\text{ cm}$ के साथ, इसे बिंदुओं पर काटने के लिए लंबवत द्विभाजक के दोनों किनारों पर चाप मारें $B$ और $D$.
• चरण 5: एक रूलर का उपयोग करके $AB, BC, CD,$ और $DA$ को जोड़ें।
• $ABCD$ आवश्यक समचतुर्भुज है! (सभी पक्ष बिल्कुल $\sqrt{3.5^2 + 3^2} \approx 4.61\text{ cm}$ मापेंगे).

• एक त्रिभुज एक कठोर बहुभुज है जो विशिष्ट रूप से इसकी तीन भुजाओं की लंबाई ($SSS$) द्वारा निर्धारित होता है।
• चार निश्चित भुजाओं की लंबाई वाला एक चतुर्भुज लचीला और गैर-कठोर होता है: भुजाओं के बीच के कोण भुजाओं की लंबाई को बदले बिना लगातार भिन्न हो सकते हैं (यह अनंत रूप से कई अलग-अलग आकृतियों में मुड़ सकता है)।
• एक चतुर्भुज को कठोर बनाने के लिए, कोणीय स्वतंत्रता को कम से कम एक विकर्ण या एक प्रदान करके हटाया जाना चाहिए कोण.
• इसलिए, चार भुजाएँ अपर्याप्त हैं; कम से कम पांच स्वतंत्र तत्व अनिवार्य हैं।

• चरण 1: एक रेखाखंड $AC = 6.4\text{ cm}$.
• बनाएं। चरण 2: रेखा का लंब समद्विभाजक $XY$ बनाएं खंड $AC$, $AC$ को मध्यबिंदु $O$.
पर प्रतिच्छेद करता है। $B$ और $D$.
• चरण 5: $AB, BC, CD,$ और $DA$ को जोड़ें। $ABCD$ आवश्यक वर्ग है.

• ध्यान दें कि पक्ष $QR$ दिया गया है, लेकिन शीर्ष $R$ पर कोण $\angle R$ अज्ञात है, जबकि कोण $\angle S$ दिया गया है जहां पक्ष $RS$ अज्ञात है।
• शुरू करने से पहले, हमें चतुर्भुज के कोण योग गुण का उपयोग करके लुप्त कोण $\angle R$ की गणना करनी चाहिए ($360^{\circ}$):

$$\angle P + \angle Q + \angle R + \angle S = 360^{\circ}$$

$$75^{\circ} + 105^{\circ} + \angle R + 100^{\circ} = 360^{\circ}$$

$$280^{\circ} + \angle R = 360^{\circ}$$

$$\mathbf{\angle R = 360^{\circ} - 280^{\circ} = 80^{\circ}}$$

• अब हमारे पास आधार $PQ$, $\angle P = 75^{\circ}, \angle Q = 105^{\circ}$, पक्ष $QR = 5.2\text{ cm}$, और $\angle R = 80^{\circ}$ है, जो निर्बाध निर्माण की अनुमति देता है!

• चरण 1: आधार रेखा खंड $AB = 5.5\text{ cm}$.
• बनाएं। चरण 2: शीर्ष $B$ पर, कम्पास का उपयोग करके $90^{\circ}$ पर एक लंबवत किरण $BX$ का निर्माण करें।
• चरण 3: केंद्र $A$ और त्रिज्या $7\text{ cm}$ (विकर्ण) के साथ, एक चाप काटने वाली किरण पर प्रहार करें। $BX$ शीर्ष पर $C$.
• चरण 4: केंद्र $C$ और त्रिज्या $5.5\text{ cm}$ ($= AB$) के साथ, बाईं ओर एक चाप बनाएं।
• चरण 5: केंद्र $A$ और लंबाई $BC$ के बराबर त्रिज्या के साथ, पिछले चाप को शीर्ष पर काटते हुए एक चाप बनाएं $D$.
• चरण 6: $CD$ और $DA$ को जोड़ें। $ABCD$ आवश्यक आयत है।

• एक रफ स्केच एक दृश्य वास्तुशिल्प खाका प्रदान करता है जो सभी शीर्षों की सापेक्ष स्थिति को चक्रीय रूप से प्रदर्शित करता है ($A, B, C, D$)।
• यह बताता है कि कठोर आधार के रूप में पहले किस त्रिभुज का निर्माण किया जाना चाहिए।
• यह उजागर करता है कि क्या सभी आवश्यक आयाम सीधे उपयोग करने योग्य हैं या यदि लापता कोणों की गणना की जानी चाहिए।
• ICSE परीक्षा अंकन योजनाएं उचित रूप से लेबल किए गए रफ स्केच के लिए स्पष्ट अंक प्रदान करती हैं।

• नहीं, यह असंभव है।
• दो आसन्न भुजाएं केवल $2$ स्वतंत्र जानकारी प्रदान करती हैं।
• भले ही विपरीत भुजाएं बराबर ($a, b, a, b$) हों, उनके बीच का कोण घूमने के लिए पूरी तरह से स्वतंत्र है।
• एक समांतर चतुर्भुज को कम से कम तीन स्वतंत्र तत्वों की आवश्यकता होती है (उदाहरण के लिए, दो आसन्न भुजाएं और एक सम्मिलित कोण, या दो भुजाएं और एक विकर्ण)। विशिष्ट रूप से निर्मित किया जाए।