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ICSE • कक्षा 8 • Mathematics • अध्याय 5
अनुमानित समय: 45 Mins
प्रगति: अध्ययनरत

घन और घनमूल (Cubes and Cube Roots)

आईसीएसई कक्षा 8 के गणित में, "घन और घनमूल" एक आधिकारिक, गणितीय रूप से कठोर मास्टर अध्ययन मार्गदर्शिका प्रदान करता है जो पूर्ण घनों, घन संख्याओं के गुणों, अभाज्य गुणनखंडन द्वारा घनमूल निकालने, पूर्ण घनों के लिए अनुमान विधि और ऋणात्मक संख्याओं, भिन्नों और दशमलवों के घनमूलों की जांच करता है। यह व्यापक अध्याय एक पूर्ण घन की परिभाषा ($m \in \mathbb{Z}$ के लिए $n = m^3 = m \times m \times m$; पहले 20 प्राकृतिक संख्याओं के घनों की तालिका), घनों के गुण (सम संख्याओं के घन हमेशा सम होते हैं; विषम संख्याओं के घन हमेशा विषम होते हैं; ऋणात्मक पूर्णांकों के घन हमेशा ऋणात्मक होते हैं: $(-a)^3 = -a^3$; अंकों में समाप्त होने वाली संख्याओं का घन: $1 \to 1, 2 \to 8, 3 \to 7, 4 \to 4, 5 \to 5, 6 \to 6, 7 \to 3, 8 \to 2, 9 \to 9, 0 \to 000$; घनों की पहचान का योग: $1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3 = (1 + 2 + 3 + \dots + n)^2$), निकालने की विधियाँ घनमूल: 1. अभाज्य गुणनखंड विधि (समान गुणनखंडों को तीन के त्रिक में समूहित करना: $\sqrt[3]{a^3 b^3} = ab$), 2. बड़े पूर्ण घनों के लिए अनुमान विधि (दाएं से बाएं त्रिकों में समूह बनाना; इकाई का अंक इकाई का स्थान निर्धारित करता है, शेष समूह दहाई का अंक निर्धारित करता है), उत्पादों के घनमूल, तर्कसंगत भिन्न और दशमलव ($\sqrt[3]{ab} = \sqrt[3]{a} \times \sqrt[3]{b}$ और $\sqrt[3]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}}$), बनाने के लिए सबसे छोटा गुणक या भाजक एक संख्या एक पूर्ण घन, और व्यावहारिक आयतन अनुप्रयोग ($V = s^3 \implies s = \sqrt[3]{V}$) 2026-27 सीआईएससीई आईसीएसई पाठ्यक्रम के साथ संरेखित।

अध्याय CBT ऑनलाइन टेस्ट दें सभी अध्याय देखें
प्रस्तावना अध्याय अवधारणाएँ सूत्र एवं सर्वसमिकाएँ अध्याय सारांश स्व-मूल्यांकन अभ्यास टेस्ट दें

एक अशिक्षित 32 वर्षीय भारतीय गणितीय प्रतिभा ने अपनी मृत्यु शय्या पर संख्या 1729 की गुप्त घन आत्मा को कैसे याद किया?

1918 में, इंग्लैंड के पुटनी में एक ठंडे नर्सिंग होम में, महान अंग्रेजी गणितज्ञ जी.एच. हार्डी अपने मरते हुए शिष्य, महान भारतीय प्रतिभा श्रीनिवास रामानुजन से मिलने के लिए कमरे में चले गए। हार्डी ने अनापेक्षित रूप से टिप्पणी की: "मैं यहां टैक्सी-कैब संख्या 1729 में सवार हुआ। यह मुझे एक नीरस, अरुचिकर संख्या लगी।" रामानुजन तुरंत बिस्तर पर सीधे बैठ गए, आँखें चमक रही थीं, और उत्तर दिया: "नहीं, हार्डी! यह एक बहुत ही रोचक संख्या है! 1729 दो घनों के योग के रूप में दो अलग-अलग तरीकों से व्यक्त की जाने वाली सबसे छोटी संख्या है!" रामानुजन ने तुरंत कल्पना की कि: $1729 = 1^3 + 12^3 = 1 + 1728$, और $1729 = 9^3 + 10^3 = 729 + 1000$! आज, 1729 को दुनिया भर में हार्डी-रामानुजन संख्या के रूप में मनाया जाता है! जबकि एक वर्ग ($s^2$) समतल द्वि-आयामी सतह क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करता है, एक घन ($s^3$) हमारे भौतिक स्थान के त्रि-आयामी आयतन को दर्शाता है! किसी ऋणात्मक संख्या का घनमूल हमेशा ऋणात्मक क्यों होता है? आप $175,616$ जैसी छह अंकों की संख्या को कैसे देख सकते हैं और अनुमान का उपयोग करके अपने दिमाग में दो सेकंड में इसके घनमूल की गणना कैसे कर सकते हैं? आइए घनों और घनमूलों में महारत हासिल करें।

यह अध्याय क्यों महत्वपूर्ण है

घन गणना 3डी स्थानिक आयतन, रासायनिक इंजीनियरिंग में द्रव टैंक क्षमता, ग्रहीय गुरुत्वाकर्षण घनत्व, तनाव-तनाव टेंसर यांत्रिकी और क्रिस्टल जाली नैनोटेक्नोलॉजी को नियंत्रित करती है। ICSE कक्षा 8 बीजगणित में अभाज्य त्रिक समूहन और अनुमान में महारत हासिल करना एक मूलभूत आवश्यकता है।

अध्ययन से पूर्व (आवश्यक ज्ञान)

  • अध्याय 4 से वर्ग और वर्गमूल।
  • विभाजन का उपयोग करके अभाज्य गुणनखंडन।
  • नकारात्मक पूर्णांकों पर संचालन।

इस अध्याय के लक्ष्य

  • पूर्ण घनों की पहचान करें और इकाई-अंकीय टर्मिनल संबंधों को समझें।
  • खोजें अभाज्य गुणनखंडन त्रिक विधि का उपयोग करके पूर्णांकों का घनमूल।
  • ऋणात्मक पूर्णांकों, भिन्नों और दशमलवों ($\\sqrt[3]{-a} = -\\sqrt[3]{a}$) का घनमूल निकालें।
  • अनुमान त्रिक विधि का उपयोग करके तेजी से बड़े पूर्ण घनों का घनमूल ज्ञात करें।
  • वह सबसे छोटी संख्या खोजें जिससे किसी दी गई संख्या को एक पूर्ण बनने के लिए गुणा या विभाजित किया जाना चाहिए घन.
  • घन आयामों से संबंधित वास्तविक दुनिया की वॉल्यूम शब्द समस्याओं को हल करें।

अध्याय रूपरेखा एवं प्रगति

1 1। घन और इकाई अंक पैटर्न की अवधारणा
2 2. घन और ऋणात्मक घनमूल के गुण
3 3. प्रधान गुणनखंड और अनुमान विधि
4 4. भिन्नों, दशमलवों और सबसे छोटे गु...

सम्पूर्ण सैद्धांतिक एवं वैचारिक अध्ययन

1। घन और इकाई अंक पैटर्न की अवधारणा

समझें
ए. घन क्या है?

किसी संख्या का घन उस संख्या को तीन बार गुणा करने पर प्राप्त गुणनफल है:

$$\mathbf{n = m^3 = m \times m \times m}$$
  • घन खोजने की उलटी प्रक्रिया को घनमूल निकालना कहा जाता है (प्रतीक: $\mathbf{\sqrt[3]{\phantom{x}}}$)। $$m^3 = n \iff m = \sqrt[3]{n}$$
बी. टर्मिनल यूनिट डिजिट इनवेरिएंस:
में समाप्त होता है में जोड़ रहे हैं में जोड़ रहे हैं में जोड़ रहे हैं
संख्या 22§ में समाप्त होती है घननियम/पूरक
0, 1, 4, 5, 6, 90, 1, 4, 5, 6, 9§35ठीक उसी अंक पर समाप्त होता है!
28पूरक 10 ($2 + 8 = 10$)
82पूरक 10 ($8 + 2 = 10$)
3710 में जोड़ने वाले पूरक ($3 + 7 = 10$)
73पूरक 10 ($7 + 3 = 10$)

2. घन और ऋणात्मक घनमूल के गुण

गुण
  1. समता:
    • एक सम संख्या का घन हमेशा सम होता है: $4^3 = 64, 6^3 = 216$.
    • एक विषम संख्या का घन हमेशा विषम होता है: $3^3 = 27, 5^3 = 125$.
  2. नकारात्मक संख्याएँ (विषम घात):

    वर्गमूलों के विपरीत (जो वास्तविक संख्याओं के लिए ऋणात्मक नहीं हो सकता), ऋणात्मक संख्या का घन हमेशा ऋणात्मक होता है, और ऋणात्मक संख्या का घनमूल हमेशा ऋणात्मक होता है:

    $$\mathbf{(-a)^3 = -a^3 \quad \Longleftrightarrow \quad \sqrt[3]{-x} = -\sqrt[3]{x}}$$ उदाहरण: $\sqrt[3]{-216} = -\sqrt[3]{216} = \mathbf{-6}$.
  3. टर्मिनल शून्य: एक घन संख्या हमेशा तीन शून्य ($3, 6, 9$ शून्य) के गुणज में समाप्त होती है। यदि कोई संख्या $1$ या $2$ शून्य पर समाप्त होती है, तो वह कभी भी पूर्ण घन नहीं हो सकती।

3. प्रधान गुणनखंड और अनुमान विधि

निष्कर्षण विधियाँ
विधि 1: अभाज्य गुणनखंडीकरण (तीनों में समूहन):

संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में हल करें, समान गुणनखंडों को तीन के त्रिक में समूहित करें, और प्रत्येक त्रिक से एक गुणनखंड लें:

$$\sqrt[3]{216} = \sqrt[3]{(2 \times 2 \times 2) \times (3 \times 3 \times 3)} = 2 \times 3 = \mathbf{6}$$
विधि 2: पूर्ण घनों के लिए तीव्र अनुमान:

एक बड़े पूर्ण घन का घनमूल ज्ञात करने के लिए (जैसे, $175,616$):

  1. दाईं ओर से शुरू करके तीन अंकों (त्रिकोण) का समूह बनाएं: समूह 1 (इकाइयाँ समूह): $616$; समूह 2 (दस का समूह): $175$.
  2. इकाई का अंक: समूह 1 $6$ में समाप्त होता है। चूँकि केवल $6^3$ $6$ में समाप्त होता है, घनमूल की इकाई का अंक $6$ होना चाहिए।
  3. दस का अंक: समूह 2 $175$ है। ज्ञात कीजिए कि यह किन दो पूर्ण घनों के बीच स्थित है: $$5^3 = 125 < 175 < 6^3 = 216$$ छोटा घन $5^3$ है, इसलिए दहाई का अंक $5$ है।
  4. अंकों का संयोजन देता है: $$\mathbf{\sqrt[3]{175616} = 56}$$ !

4. भिन्नों, दशमलवों और सबसे छोटे गुणकों के घनमूल

अंश और गुणक
ए. उत्पाद एवं भागफल नियम:
$$\mathbf{\sqrt[3]{a \times b} = \sqrt[3]{a} \times \sqrt[3]{b} \quad \land \quad \sqrt[3]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}}}$$

उदाहरण: $\sqrt[3]{0.027} = \sqrt[3]{\frac{27}{1000}} = \frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{1000}} = \frac{3}{10} = \mathbf{0.3}$.

बी. सबसे छोटी गुणक या भाजक समस्याएँ:

संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में हल करें:

  • इसे एक पूर्ण घन बनाने के लिए न्यूनतम गुणक खोजने के लिए: अपूर्ण त्रिक को पूरा करने के लिए आवश्यक लुप्त गुणनखंडों की आपूर्ति करें।
  • न्यूनतम भाजक ज्ञात करने के लिए: बचे हुए कारकों से विभाजित करें जो पूर्ण त्रिक नहीं बनाते हैं।

महत्वपूर्ण सूत्र, सर्वसमिकाएँ एवं प्रमेय

ऋणात्मक घनमूल पहचान
$$\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}$$
नकारात्मक वास्तविक संख्या का घनमूल पूर्णतः ऋणात्मक होता है।
घनों का योग सूत्र
$$1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3 = \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2$$
पहले n घनों का योग उनके योग के वर्ग के बराबर होता है।

घन ज्यामिति: इकाई अंक पूरक और अनुमान त्रिक

Cubes & Cube Roots: Unit Digit Rules & Estimation Triads UNIT DIGIT TRANSFORMATION RULES • Digits that REMAIN IDENTICAL in Cube: 0 → 0 • 1 → 1 • 4 → 4 • 5 → 5 • 6 → 6 • 9 → 9 • The "Sum to 10" Complement Pairs: 2 ↔ 8 (23=8, 83=512) 3 ↔ 7 (33=27, 73=343) • Negative Cubes: √[3](-x) = -√[3](x) • √[3](-216) = -6 • Cubes must end in multiples of 3 zeros (000) ESTIMATION METHOD: √[3](175616) Group 2: 175 (Ten's Digit) Group 1: 616 (Unit's Digit) Step 1: Unit's Place from 616: Number ends in 6 ⇒ Unit's digit = 6 Step 2: Ten's Place from 175: 53 = 125 < 175 < 63 = 216 ⇒ Ten's digit = 5 √[3](175616) = 56 CUBE ROOT OF NEGATIVE IS NEGATIVE • PAIRS: 2↔8 AND 3↔7 • GROUP IN TRIADS OF THREE

अध्याय का सार संक्षेप एवं 10 मुख्य निष्कर्ष

मुख्य बिंदु 1
A पूर्ण घन किसी संख्या को उसी संख्या से तीन बार गुणा करने पर बनता है (n = m^3).
मुख्य बिंदु 2
सम संख्याओं के घन सम होते हैं; विषम संख्याओं के घन विषम होते हैं।
मुख्य बिंदु 3
एक ऋणात्मक पूर्णांक का घन और घनमूल हमेशा ऋणात्मक होता है: (-a)^3 = -a^3.
मुख्य बिंदु 4
अंक 0, 1, 4, 5, 6, 9 घनों में अपनी पहचान बनाए रखते हैं; 8 के साथ 2 जोड़े, और 7 के साथ 3 जोड़े।
मुख्य बिंदु 5
एक पूर्ण घन को तीन शून्य (000, 000000) के गुणज में समाप्त होना चाहिए।
मुख्य बिंदु 6
अभाज्य गुणनखंड द्वारा घनमूल के लिए कारकों को तीन समान अभाज्यों के त्रिक में समूहीकृत करने की आवश्यकता होती है।
मुख्य बिंदु 7
अनुमान विधि तेजी से बड़े पूर्ण घनों के घनमूलों को त्रिक में समूहित करके ढूंढती है।
मुख्य बिंदु 8
किसी उत्पाद का घनमूल: क्यूबरूट(a*b) = क्यूबरूट(a) * क्यूबरूट(b).
मुख्य बिंदु 9
अंश का घनमूल: क्यूबरूट(a/b) = क्यूबरूट(a) / क्यूबरूट(b).
मुख्य बिंदु 10
घन का आयतन V = s^3 है; भुजा की लंबाई आयतन का घनमूल है (s = घनमूल(V))।

स्व-मूल्यांकन अभ्यास (Check Your Understanding)

मूल वैचारिक स्पष्टता की जांच के लिए नैदानिक प्रश्न। पहले स्वयं हल करें, फिर उत्तर देखें।

1
प्रधान गुणनखंड विधि का उपयोग करके $-17576$ का घनमूल ज्ञात करें।
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर: चरण 1: ऋणात्मक घनमूल गुण का उपयोग करना: $\sqrt[3]{-17576} = -\sqrt[3]{17576}$.
चरण 2: अभाज्य गुणनखंड $17576$:
• $17576 \div 2 = 8788$
• $8788 \div 2 = 4394$
• $4394 \div 2 = 2197$
• $2197 \div 13 = 169$
• $169 \div 13 = 13$
• $13 \div 13 = 1$
$$17576 = (2 \times 2 \times 2) \times (13 \times 13 \times 13)$$
चरण 3: त्रिक में समूह बनाएं और प्रत्येक त्रिक से एक गुणनखंड लें:
$$\sqrt[3]{17576} = 2 \times 13 = 26$$
चरण 4: नकारात्मक चिह्न शामिल करें:
$$\mathbf{\sqrt[3]{-17576} = -26}$$.
17576 को $2^3 \times 13^3$ में गुणनखंडित करें। घनमूल $2 \times 13 = 26$ है. नकारात्मक चिह्न शामिल करें: $-26$.
2
वह सबसे छोटी संख्या ढूंढें जिससे $675$ को गुणा किया जाना चाहिए ताकि उत्पाद एक पूर्ण घन बन जाए।
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर:

चरण 1: अभाज्य गुणनखंड $675$:
• $675 \div 5 = 135$
• $135 \div 5 = 27$
• $27 \div 3 = 9$
• $9 \div 3 = 3$
• $3 \div 3 = 1$

$$675 = (3 \times 3 \times 3) \times (5 \times 5)$$


चरण 2: अभाज्य गुणनखंड त्रिक की जांच करें:
• अभाज्य गुणनखंड $3$ एक पूर्ण त्रिक बनाता है: $(3 \times 3 \times 3)$.
• अभाज्य गुणनखंड $5$ केवल दो बार प्रकट होता है: $(5 \times 5)$—इसमें त्रिक को पूरा करने के लिए एक और 5 का अभाव है।
• इसलिए, सबसे छोटी संख्या जिससे $675$ को गुणा किया जाना चाहिए वह है $5$.
(जांचें: $675 \times 5 = 3375 = 15^3$).


प्राइम फ़ैक्टराइज़: $3^3 \times 5^2$. 5s के त्रिक को पूरा करने के लिए इसे एक और 5 की आवश्यकता है।
3
वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात करें जिससे $8640$ को विभाजित किया जाना चाहिए ताकि भागफल एक पूर्ण घन हो।
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर:

चरण 1: अभाज्य गुणनखंड $8640$:
• $8640 = 2 \times 4320 = 2^2 \times 2160 = 2^3 \times 1080 = 2^4 \times 540 = 2^5 \times 270 = 2^6 \times 135$
• $135 = 3 \times 45 = 3^2 \times 15 = 3^3 \times 5$

$$8640 = (2 \times 2 \times 2) \times (2 \times 2 \times 2) \times (3 \times 3 \times 3) \times 5 = 2^6 \times 3^3 \times 5$$


चरण 2: त्रिक में समूहित करें:
• $2^3, 2^3,$ और $3^3$ सभी पूर्ण त्रिक बनाते हैं।
• गुणनखंड $5$ बचा हुआ है और त्रिक नहीं बना सकता।
• इसलिए, सबसे छोटी संख्या जिससे $8640$ को विभाजित किया जाना चाहिए वह है $5$.
(जांचें: $8640 \div 5 = 1728 = 12^3$).


$8640 = 2^6 \times 3^3 \times 5$. बचा हुआ गुणनखंड 5 है, इसलिए $1728 = 12^3$ प्राप्त करने के लिए 5 से भाग दें।
4
अनुमान विधि का उपयोग करके, बड़े पूर्ण घन $493,039$ का घनमूल ज्ञात करें।
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर:

चरण 1: संख्या को दाएँ से बाएँ दो त्रिक (3 अंकों के समूह) में विभाजित करें:
समूह 1 (दाएँ): $\mathbf{039}$; समूह 2 (बाएं): $\mathbf{493}$.

चरण 2: समूह 1 ($039$) से इकाई का अंक निर्धारित करें:
संख्या $9$ में समाप्त होती है। केवल $9^3 = 729$ $9$ में समाप्त होता है।
इसलिए, घनमूल की इकाई का अंक $9$ है।

चरण 3: समूह 2 ($493$) से दस का अंक निर्धारित करें:
दो लगातार पूर्ण घन खोजें जिनके बीच $493$ झूठ:

$$7^3 = 343 < 493 < 8^3 = 512$$


छोटा घन $7^3 = 343$ है, इसलिए दहाई का अंक $7$ है।

चरण 4: अंकों को मिलाएं:

$$\mathbf{\sqrt[3]{493039} = 79}$$

.


समूह 1 ($039$) 9 $\to$ इकाई अंक 9 में समाप्त होता है। समूह 2 ($493$) $7^3$ (343) और $8^3$ (512) $\to$ दहाई अंक 7 के बीच है। मूल 79 है।
5
मूल्यांकन करें: $\sqrt[3]{\frac{729}{2197}}$.
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर: भागफल नियम लागू करें $\sqrt[3]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}}$:
• खोजें $\sqrt[3]{729}$:
$$729 = 9 \times 9 \times 9 = 3^6 \implies \sqrt[3]{729} = 9$$
• $\sqrt[3]{2197}$:
$$2197 = 13 \times 13 \times 13 \implies \sqrt[3]{2197} = 13$$
$$\mathbf{\sqrt[3]{\frac{729}{2197}} = \frac{9}{13}}$$.
$\sqrt[3]{729} = 9$ और $\sqrt[3]{2197} = 13$ खोजें। परिणाम $9/13$ है.
6
मूल्यांकन करें: $\sqrt[3]{0.000125}$.
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर: दशमलव को भिन्न में बदलें:
$$0.000125 = \frac{125}{1,000,000}$$
घनमूल भागफल नियम लागू करें:
$$\sqrt[3]{\frac{125}{1,000,000}} = \frac{\sqrt[3]{125}}{\sqrt[3]{1,000,000}}$$
• $\sqrt[3]{125} = 5$ ($5^3 = 125$ से)
• $\sqrt[3]{1,000,000} = 100$ ($100^3 = 1,000,000$ से)
$$= \frac{5}{100} = \mathbf{0.05}$$.
$125 / 1,000,000$ में बदलें। घनमूल $5 / 100 = 0.05$ है।
7
तीन संख्याएँ $1 : 2 : 3$ के अनुपात में हैं और उनके घनों का योग $4500$ है। तीन संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर: मान लीजिए कि तीन संख्याएँ $x, 2x,$ और $3x$ हैं।
समस्या के अनुसार:
$$x^3 + (2x)^3 + (3x)^3 = 4500$$
$$x^3 + 8x^3 + 27x^3 = 4500$$
$$36x^3 = 4500$$
$36$ से विभाजित करें:
$$x^3 = \frac{4500}{36} = 125$$
दोनों का घनमूल निकालें पक्ष:
$$x = \sqrt[3]{125} = 5$$
• तीन संख्याएँ हैं:
पहली संख्या $= x = \mathbf{5}$
दूसरी संख्या $= 2x = 2(5) = \mathbf{10}$
तीसरी संख्या $= 3x = 3(5) = \mathbf{15}$.
*(जाँचें: $5^3 + 10^3 + 15^3 = 125 + 1000 + 3375 = 4500$)*.
$x^3 + 8x^3 + 27x^3 = 36x^3 = 4500 \implies x^3 = 125 \implies x = 5$. संख्याएँ 5, 10, 15 हैं।
8
एक घनाकार जल भंडार का आयतन $91.125\text{ cubic meters}$ है। इसके किनारे की लंबाई मीटर में ज्ञात करें।
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर: घन का आयतन $V = s^3 = 91.125\text{ m}^3$.
$$\text{Side } s = \sqrt[3]{91.125} = \sqrt[3]{\frac{91125}{1000}}$$
• अभाज्य गुणनखंडन या अनुमान द्वारा $\sqrt[3]{91125}$ ज्ञात करें:
समूह 1: $125 \to 5$; समूह 2: $91 \to 4^3 = 64 < 91 < 5^3 = 125 \to 4$. तो $\sqrt[3]{91125} = 45$.
• $\sqrt[3]{1000} = 10$.
$$\text{Side } s = \frac{45}{10} = \mathbf{4.5\text{ meters}}$$.
$\sqrt[3]{91.125} = \sqrt[3]{91125 / 1000} = 45 / 10 = 4.5\text{ meters}$ खोजें।
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अध्याय 1: गुणनखंडन (Factorisation) (Factorisation) अध्याय 2: परिमेय संख्याएँ (Rational Numbers) अध्याय 3: घातांक (Exponents) अध्याय 4: वर्ग और वर्गमूल (Squares and Square Roots) अध्याय 5: घन और घनमूल (Cubes and Cube Roots) अध्याय 6: संख्याओं के साथ खेलना (Playing With Numbers) अध्याय 7: समुच्चय (Sets) अध्याय 8: प्रतिशतता (Percentage) अध्याय 9: लाभ, हानि और छूट (Profit, Loss and Discount) अध्याय 10: सरल एवं चक्रवृद्धि ब्याज (Simple and Compound Interest) अध्याय 11: प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम भिन्नताएँ (Direct and Inverse Variations) अध्याय 12: बीजीय व्यंजक (Algebraic Expressions) अध्याय 13: बीजगणितीय सर्वसमिकाएँ (Algebraic Identities) अध्याय 14: रैखिक असमिकाएँ (Linear Inequations) अध्याय 15: रैखिक समीकरण (Linear Equations) अध्याय 16: आकारों की समझ (Understanding Shapes) अध्याय 17: त्रिविमीय आकारों का द्विविमीय निरूपण (Representing 3D in 2D) अध्याय 18: विशेष प्रकार के चतुर्भुजों का निर्माण (Construction of Special Types of Quadrilaterals) अध्याय 19: आलेखों से परिचय (Introduction to Graphs) (Introduction to Graphs) अध्याय 20: रेखा समरूपता और परावर्तन (Line Symmetry and Reflection) अध्याय 21: घेरा (Circle) अध्याय 22: सरलरेखीय आकृतियों का क्षेत्रफल (Area of Rectilinear Figures) अध्याय 23: ठोसों का सतही क्षेत्रफल और आयतन (Surface Area and Volume of Solids) अध्याय 24: आँकड़ों का प्रबंधन (Data Handling) अध्याय 25: प्रायिकता (Probability)

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