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ICSE • कक्षा 8 • Mathematics • अध्याय 11
अनुमानित समय: 45 Mins
प्रगति: अध्ययनरत

प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम भिन्नताएँ (Direct and Inverse Variations)

आईसीएसई कक्षा 8 गणित में, "प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम विविधताएं" आनुपातिक संबंधों, कार्यात्मक निर्भरता, आनुपातिकता के स्थिरांक और एकात्मक तरीकों की जांच करने वाला एक आधिकारिक, गणितीय रूप से कठोर मास्टर अध्ययन गाइड प्रदान करता है। यह व्यापक अध्याय भिन्नता की अवधारणा की पड़ताल करता है (दो मात्राएँ $x$ और $y$ एक साथ बदलती हैं जैसे कि एक में परिवर्तन दूसरे में एक समान परिवर्तन उत्पन्न करता है), प्रत्यक्ष भिन्नता / अनुपात (दो मात्राएँ सीधे भिन्न होती हैं यदि उनका अनुपात सख्ती से स्थिर रहता है: $\frac{x}{y} = k$ या $\frac{x_1}{y_1} = \frac{x_2}{y_2}$; भिन्नता का स्थिरांक $k > 0$; चित्रमय प्रतिनिधित्व: मूल से गुजरने वाली सीधी रेखा; वास्तविक दुनिया के अनुप्रयोग: वस्तुओं की लागत बनाम मात्रा, दूरी एकसमान गति पर बनाम समय, पेट्रोल की खपत बनाम तय की गई दूरी, स्केल मानचित्र दूरी), व्युत्क्रम भिन्नता / अप्रत्यक्ष अनुपात (यदि उनका उत्पाद पूरी तरह से स्थिर रहता है तो दो मात्राएँ विपरीत रूप से भिन्न होती हैं: $x \times y = k$ या $x_1 y_1 = x_2 y_2$; जैसे-जैसे $x$ बढ़ता है, $y$ आनुपातिक रूप से घटता है; भिन्नता का स्थिरांक $k$; चित्रमय प्रतिनिधित्व: आयताकार हाइपरबोला; वास्तविक दुनिया के अनुप्रयोग: निश्चित दूरी के लिए गति बनाम समय, काम पूरा करने के लिए श्रमिकों की संख्या बनाम दिन, पाइप एक टंकी भरना, गैरीसन भोजन प्रावधान और सैनिक), मिश्रित / मिश्रित विविधताएं, समय और कार्य समस्याएं (1 दिन $= \frac{1}{n}$ में किया गया कार्य; पाइप और टंकी: इनलेट और आउटलेट दरें), और 2026-27 सीआईएससीई आईसीएसई पाठ्यक्रम के साथ संरेखित प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम शब्द समस्याओं के बीच अंतर करना।

अध्याय CBT ऑनलाइन टेस्ट दें सभी अध्याय देखें
प्रस्तावना अध्याय अवधारणाएँ सूत्र एवं सर्वसमिकाएँ अध्याय सारांश स्व-मूल्यांकन अभ्यास टेस्ट दें

किसी निर्माण स्थल पर श्रमिकों की संख्या बढ़ाने से कुल काम बाद में खत्म होने के बजाय कई दिन पहले कैसे खत्म हो सकता है?

यदि आप 100 रुपये में 5 आम खरीदते हैं, तो 10 आमों की कीमत आपको 200 रुपये होगी। दोनों मात्राएँ एक साथ ऊपर की ओर बढ़ती हैं—यह प्रत्यक्ष भिन्नता है! अधिक वस्तुओं का मतलब अधिक पैसा है। लेकिन अब कल्पना कीजिए कि एक निर्माण ठेकेदार 30 दिनों में एक नहर खोदने के लिए 10 श्रमिकों को काम पर रखता है। यदि वह कार्यबल को दोगुना करके 20 कर्मचारी कर दे, तो क्या इसमें 60 दिन लगेंगे? कदापि नहीं! काम सिर्फ 15 दिन में ख़त्म! जैसे-जैसे श्रमिकों की संख्या बढ़ती है, आवश्यक समय कम होता जाता है! यह विपरीत भिन्नता का जादू है! जबकि प्रत्यक्ष भिन्नता अनुपात $\frac{x}{y}$ स्थिर रखती है, उलटा भिन्नता उत्पाद $x \times y$ स्थिर रखती है! यदि 500 ​​सैनिकों की एक सैन्य चौकी के पास 30 दिनों के लिए भोजन का राशन है, और 100 और सैनिक आ जाते हैं, तो भोजन कितने दिनों तक चलेगा? पानी की टंकी को भरने वाला पाइप उसमें से रिसाव के साथ मिलकर कैसे काम करता है? आइए प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम विविधताओं में महारत हासिल करें।

यह अध्याय क्यों महत्वपूर्ण है

विविधता वैज्ञानिक स्केलिंग कानूनों की नींव है: भौतिकी में ओम का नियम ($V = IR$), न्यूटन का गुरुत्वाकर्षण का नियम ($F \propto \frac{1}{r^2}$), बॉयल का गैस कानून ($PV = k$), निर्माण परियोजना शेड्यूलिंग, और औद्योगिक असेंबली-लाइन लॉजिस्टिक्स। ICSE कक्षा 8 के गणित और प्रतिस्पर्धी योग्यता परीक्षाओं के लिए प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम अनुपात में महारत हासिल करना आवश्यक है।

अध्ययन से पूर्व (आवश्यक ज्ञान)

  • कक्षा 7 से अनुपात और अनुपात के बुनियादी सिद्धांत।
  • एक चर में सरल रैखिक समीकरणों को हल करना।
  • एकात्मक विधि।

इस अध्याय के लक्ष्य

  • पहचानें कि क्या दो भौतिक मात्राएँ प्रत्यक्ष या व्युत्क्रम भिन्नता में हैं।
  • निर्धारित करें प्रत्यक्ष ($\frac{x}{y}=k$) और व्युत्क्रम ($xy=k$) संबंधों के लिए भिन्नता का स्थिरांक $k$।
  • अनुपात समीकरण स्थापित करें और हल करें: $\frac{x_1}{y_1} = \frac{x_2}{y_2}$ और $x_1 y_1 = x_2 y_2$।
  • एकात्मक दिन-दर का उपयोग करके बहु-व्यक्ति समय और कार्य समस्याओं को हल करें।
  • इनलेट नल और जल निकासी दोनों से संबंधित पाइप और सिस्टर्न समस्याओं को हल करें लीक.
  • फूड गैरीसन और कैंप प्रावधान भिन्नता शब्द समस्याएं हल करें.

अध्याय रूपरेखा एवं प्रगति

1 1. प्रत्यक्ष भिन्नता: अनुपात अपरिवर...
2 2. व्युत्क्रम भिन्नता: उत्पाद अपरिव...
3 3. समय एवं कार्य गणितीय ढांचा
4 4. पाइप और सिस्टर्न यांत्रिकी

सम्पूर्ण सैद्धांतिक एवं वैचारिक अध्ययन

1. प्रत्यक्ष भिन्नता: अनुपात अपरिवर्तनीयता

समझें
ए. प्रत्यक्ष भिन्नता की परिभाषा:

दो मात्राएँ $x$ और $y$ को प्रत्यक्ष भिन्नता (या प्रत्यक्ष अनुपात) में कहा जाता है यदि $x$ में वृद्धि (या कमी) $y$ में आनुपातिक वृद्धि (या कमी) उत्पन्न करती है ताकि उनका अनुपात स्थिर रहे:

$$\mathbf{\frac{x}{y} = k \quad (\text{Constant of Variation})} \quad \Longleftrightarrow \quad \mathbf{\frac{x_1}{y_1} = \frac{x_2}{y_2}}$$
  • उदाहरण:
    • तय की गई दूरी और लिया गया समय (स्थिर गति से)।
    • कुल खरीद लागत और खरीदी गई वस्तुओं की संख्या.
    • धातु की छड़ का वजन और उसकी लंबाई.
  • ग्राफिकल प्लॉट: निर्देशांक मूल से सीधे गुजरने वाली एक सीधी रेखा $(0, 0)$.

2. व्युत्क्रम भिन्नता: उत्पाद अपरिवर्तनीयता

व्युत्क्रमानुपाती
ए. व्युत्क्रम भिन्नता की परिभाषा:

दो मात्राएँ $x$ और $y$ को व्युत्क्रम भिन्नता (या अप्रत्यक्ष अनुपात) में कहा जाता है यदि $x$ में वृद्धि $y$ (और इसके विपरीत) में आनुपातिक कमी उत्पन्न करती है ताकि उनका उत्पाद स्थिर रहे:

$$\mathbf{x \times y = k \quad (\text{Constant})} \quad \Longleftrightarrow \quad \mathbf{x_1 y_1 = x_2 y_2}$$
  • उदाहरण:
    • वाहन की गति और एक निश्चित यात्रा दूरी तय करने में लगने वाला समय।
    • कर्मचारियों की संख्या और किसी विशिष्ट कार्य को पूरा करने में लगने वाला समय.
    • भोजन सामग्री साझा करने वाले लोगों की संख्या और भोजन कितने दिनों तक चलता है।
  • ग्राफिकल प्लॉट: एक चिकना आयताकार हाइपरबोला दोनों अक्षों की ओर स्पर्शोन्मुख रूप से वक्रित होता है।

3. समय एवं कार्य गणितीय ढांचा

समय और कार्य
कार्य के मौलिक सिद्धांत:
  1. यदि कोई व्यक्ति किसी कार्य को $n$ दिन में पूरा कर सकता है, तो उस व्यक्ति द्वारा $1\text{ day}$ में किया गया कार्य है: $$\mathbf{\text{Work done in 1 day} = \frac{1}{n}}$$
  2. इसके विपरीत, यदि कोई व्यक्ति $\frac{1}{n}$ कार्य को 1 दिन में पूरा करता है, तो पूरे कार्य को पूरा करने में लगने वाला कुल समय $n\text{ days}$ है।
  3. यदि व्यक्ति $A$ काम को $x$ दिनों में और व्यक्ति $B$ को $y$ दिनों में पूरा करता है, तो उनका संयुक्त 1-दिन का काम है: $$\text{Combined 1-day work} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{x + y}{xy}$$ $$\mathbf{\text{Total Days Together} = \frac{xy}{x + y}}$$

4. पाइप और सिस्टर्न यांत्रिकी

पाइप और टंकी
  • इनलेट पाइप: टैंक भरता है। यदि यह एक टैंक को $T_1$ घंटे में भरता है, तो इसकी 1 घंटे की भरने की दर $+\frac{1}{T_1}$ है।
  • आउटलेट/लीक पाइप: टैंक को खाली करता है। यदि यह टैंक को $T_2$ घंटे में खाली कर देता है, तो इसकी 1 घंटे की खाली होने की दर $-\frac{1}{T_2}$ है।
  • यदि दोनों पाइप एक साथ खुले हों: $$\mathbf{\text{Net 1-hour Work} = \frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2} = \frac{T_2 - T_1}{T_1 T_2}}$$ $$\mathbf{\text{Time to Fill Tank} = \frac{T_1 T_2}{T_2 - T_1} \quad (T_2 > T_1)}$$

महत्वपूर्ण सूत्र, सर्वसमिकाएँ एवं प्रमेय

प्रत्यक्ष भिन्नता सूत्र
$$\frac{x_1}{y_1} = \frac{x_2}{y_2} \quad \left( \frac{x}{y} = k \right)$$
अनुपात स्थिर रहता है।
व्युत्क्रम भिन्नता सूत्र
$$x_1 y_1 = x_2 y_2 \quad (x \cdot y = k)$$
उत्पाद स्थिर रहता है।

गणित: प्रत्यक्ष बनाम व्युत्क्रम भिन्नता वक्र

Direct vs Inverse Variations: Algebraic Laws & Graphs DIRECT VARIATION (RATIO CONSTANT) y = kx x / y = k ⇒ x1 / y1 = x2 / y2 • Straight line through origin (0, 0) • More items = More cost • More speed = More distance INVERSE VARIATION (PRODUCT CONSTANT) xy = k x × y = k ⇒ x1 y1 = x2 y2 • Rectangular hyperbola curve • More workers = Fewer days • Faster speed = Less time DIRECT: x1/y1 = x2/y2 (RATIO CONSTANT) • INVERSE: x1*y1 = x2*y2 (PRODUCT CONSTANT)

अध्याय का सार संक्षेप एवं 10 मुख्य निष्कर्ष

मुख्य बिंदु 1
प्रत्यक्ष भिन्नता तब होती है जब दो मात्राएँ एक साथ बढ़ती या घटती हैं: x/y = k.
मुख्य बिंदु 2
प्रत्यक्ष भिन्नता में, x1 / y1 = x2 / y2; इसका ग्राफ मूल बिंदु से होकर जाने वाली एक सीधी रेखा है।
मुख्य बिंदु 3
व्युत्क्रम भिन्नता तब होती है जब एक में वृद्धि दूसरे में कमी का कारण बनती है: x * y = k.
मुख्य बिंदु 4
व्युत्क्रम भिन्नता में, x1 * y1 = x2 * y2; इसका ग्राफ एक आयताकार हाइपरबोला है।
मुख्य बिंदु 5
कार्यकर्ता-समय संबंध विपरीत भिन्नताएं हैं: अधिक श्रमिकों को कम दिन लगते हैं।
मुख्य बिंदु 6
एक निश्चित दूरी के लिए गति और यात्रा का समय विपरीत भिन्नता में होता है।
मुख्य बिंदु 7
समय और कार्य में, n दिनों में एक कार्य पूरा करने वाला व्यक्ति 1 दिन में 1/n कार्य पूरा करता है।
मुख्य बिंदु 8
दो श्रमिकों के लिए संयुक्त समय (x *) है y) / (x + y) दिन.
मुख्य बिंदु 9
एक टंकी को भरने वाले पाइप कार्य जोड़ते हैं (+1/T1); जल निकासी रिसाव से काम कम हो जाता है (-1/T2).
मुख्य बिंदु 10
गणना करने से पहले हमेशा सत्यापित करें कि समस्या परिदृश्य प्रत्यक्ष (अनुपात) है या उलटा (उत्पाद)।

स्व-मूल्यांकन अभ्यास (Check Your Understanding)

मूल वैचारिक स्पष्टता की जांच के लिए नैदानिक प्रश्न। पहले स्वयं हल करें, फिर उत्तर देखें।

1
यदि $15$ पुरुष $48\text{ hours}$ में एक दीवार बना सकते हैं, तो $30\text{ hours}$ में उसी दीवार को बनाने के लिए कितने श्रमिकों की आवश्यकता होगी?
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर:

चरण 1: के प्रकार की पहचान करें भिन्नता:
एक ही दीवार बनाने में अधिक श्रमिकों को कम समय की आवश्यकता होगी। इसलिए, यह एक व्युत्क्रम भिन्नता समस्या है।
चरण 2: मान लें कि आवश्यक श्रमिकों की संख्या $x_2$ है।
यहां $x_1 = 15$ पुरुष, $y_1 = 48$ घंटे; $y_2 = 30$ घंटे.
चरण 3: व्युत्क्रम भिन्नता सूत्र ($x_1 y_1 = x_2 y_2$) लागू करें:

$$15 \times 48 = x_2 \times 30$$


$$720 = 30 x_2$$


$$x_2 = \frac{720}{30} = \mathbf{24\text{ men}}$$

.
बिल्कुल $24$ श्रमिकों की आवश्यकता होगी.


विपरीत भिन्नता: $15 \times 48 = x \times 30 \implies x = 720 / 30 = 24\text{ men}$.
2
एक भरा हुआ ट्रक $25\text{ minutes}$ में $14\text{ kilometers}$ यात्रा करता है। यदि गति स्थिर रहती है, तो यह $5\text{ hours}$ में कितनी दूरी तक यात्रा करेगी?
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर:

चरण 1: भिन्नता के प्रकार की पहचान करें:
निरंतर गति पर, अधिक समय का मतलब है अधिक दूरी तय की गई। इसलिए, यह एक प्रत्यक्ष भिन्नता समस्या है।
चरण 2: समय को एक ही इकाई (मिनट) में बदलें:

$$5\text{ hours} = 5 \times 60 = 300\text{ minutes}$$


चरण 3: मान लीजिए कि तय की गई दूरी $x_2\text{ km}$ है।
यहां $x_1 = 14\text{ km}, y_1 = 25\text{ mins}; y_2 = 300\text{ mins}$.
चरण 4: प्रत्यक्ष भिन्नता सूत्र लागू करें ($\frac{x_1}{y_1} = \frac{x_2}{y_2}$):

$$\frac{14}{25} = \frac{x_2}{300}$$


$$x_2 = \frac{14 \times 300}{25} = 14 \times 12 = \mathbf{168\text{ kilometers}}$$

.


प्रत्यक्ष भिन्नता: $14 / 25 = x / 300 \implies x = 14 \times 12 = 168\text{ km}$.
3
$A$ किसी कार्य को $12\text{ days}$ में पूरा कर सकता है, जबकि $B$ उसी कार्य को $24\text{ days}$ में पूरा कर सकता है। वे एक साथ काम कितने दिनों में पूरा कर सकते हैं?
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर: चरण 1: प्रत्येक व्यक्ति के लिए 1-दिन के कार्य की गणना करें:
• $A$ द्वारा $1\text{ day} = \frac{1}{12}$
में किया गया कार्य• $B$ द्वारा $1\text{ day} = \frac{1}{24}$
में किया गया कार्य चरण 2: उनके संयुक्त 1-दिन की गणना करें कार्य:
$$\text{Work done by } (A + B) \text{ in 1 day} = \frac{1}{12} + \frac{1}{24} = \frac{2 + 1}{24} = \frac{3}{24} = \frac{1}{8}$$
चरण 3: आवश्यक कुल समय उनके 1-दिन के कार्य का व्युत्क्रम है:
$$\text{Total Days} = \mathbf{8\text{ days}}$$.
संयुक्त 1-दिवसीय कार्य $1/12 + 1/24 = 3/24 = 1/8$ है। कुल समय 8 दिन है।
4
$300$ सैनिकों की एक सैन्य चौकी के पास $45\text{ days}$ के लिए प्रावधान थे। $15\text{ days}$ के बाद, $50$ और सैनिक गैरीसन में शामिल हो गए। शेष प्रावधान कितने दिनों तक चलेंगे?
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर: चरण 1: शेष खाद्य प्रावधानों की गणना करें:
$15\text{ days}$ के बाद बचा हुआ प्रावधान $(45 - 15) = \mathbf{30\text{ days}}$.
के लिए मूल $300$ सैनिकों के लिए पर्याप्त है। चरण 2: गैरीसन में नए कुल सैनिक:
$$\text{New count} = 300 + 50 = \mathbf{350\text{ soldiers}}$$
चरण 3: अधिक सैनिक कम दिनों में भोजन समाप्त कर देंगे (उलटा) भिन्नता):
$$x_1 y_1 = x_2 y_2$$
$$300 \times 30 = 350 \times y_2$$
$$9000 = 350 y_2$$
$$y_2 = \frac{9000}{350} = \frac{900}{35} = \frac{180}{7} = \mathbf{25 \frac{5}{7}\text{ days}}$$.
300 पुरुषों के लिए, भोजन 30 दिनों तक चलता है। 350 पुरुषों के लिए, $300 \times 30 = 350 \times y \implies y = 180 / 7 = 25\frac{5}{7}$ दिन।
5
एक नल एक टंकी को $8\text{ hours}$ में भर सकता है, जबकि एक आउटलेट पाइप इसे $12\text{ hours}$ में खाली कर सकता है। यदि दोनों पाइप एक साथ खोले जाते हैं, तो खाली टंकी कितने घंटों में पूरी भर जाएगी?
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर:

चरण 1: $1\text{ hour} = +\frac{1}{8}$.
में भरने की दर चरण 2: $1\text{ hour} = -\frac{1}{12}$ में खाली होने की दर।
चरण 3: $1\text{ hour}$ में शुद्ध भरने का काम किया जाता है जब दोनों खुले होते हैं:

$$\text{Net Rate} = \frac{1}{8} - \frac{1}{12}$$


8 का एलसीएम और 12 है 24:

$$= \frac{3 - 2}{24} = \mathbf{\frac{1}{24}}$$


चरण 4: चूंकि 1 घंटे में टैंक का $\frac{1}{24}$ भर जाता है, इसलिए टंकी $24\text{ hours}$ में पूरी तरह भर जाएगी।


शुद्ध दर $1/8 - 1/12 = (3 - 2)/24 = 1/24$ है। लिया गया समय 24 घंटे है।
6
$75\text{ km/h}$ की एक समान गति से यात्रा करने वाली एक ट्रेन $4\text{ hours}$ में एक निश्चित दूरी तय करती है। यदि ट्रेन की गति $100\text{ km/h}$ तक बढ़ा दी जाए तो समान यात्रा में कितना समय लगेगा?
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर:

चरण 1: उच्च गति के लिए कम यात्रा समय की आवश्यकता होती है (उलटा परिवर्तन):

$$x_1 y_1 = x_2 y_2$$


यहां $x_1 = 75\text{ km/h}, y_1 = 4\text{ hours}; x_2 = 100\text{ km/h}, y_2 = ?$

$$75 \times 4 = 100 \times y_2$$


$$300 = 100 y_2 \implies y_2 = \frac{300}{100} = \mathbf{3\text{ hours}}$$

.
यात्रा में समय लगेगा $3\text{ hours}$.


विपरीत भिन्नता: $75 \times 4 = 100 \times y \implies y = 300 / 100 = 3\text{ hours}$.
7
यदि मोटे कागज की $12$ शीटों का वजन $40\text{ grams}$ है, तो उसी कागज की कितनी शीटों का वजन $2 \frac{1}{2}\text{ kilograms}$ होगा?
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर: चरण 1: प्रत्यक्ष भिन्नता (अधिक शीटों का वजन अधिक होता है):
$2 \frac{1}{2}\text{ kg}$ को ग्राम में बदलें: $2.5 \times 1000 = 2500\text{ grams}$.
चरण 2: शीटों की संख्या होने दें $x_2$.
$$\frac{x_1}{y_1} = \frac{x_2}{y_2}$$
$$\frac{12}{40} = \frac{x_2}{2500}$$
$$x_2 = \frac{12 \times 2500}{40} = \frac{30,000}{40} = \mathbf{750\text{ sheets}}$$.
प्रत्यक्ष भिन्नता: $12 / 40 = x / 2500 \implies x = (12 \times 2500) / 40 = 750\text{ sheets}$.
8
यह कैसे निर्धारित करें कि मूल्यों की दी गई तालिका प्रत्यक्ष भिन्नता या व्युत्क्रम भिन्नता का प्रतिनिधित्व करती है।
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर:

• प्रत्यक्ष भिन्नता परीक्षण: अनुपात की गणना करें प्रत्येक डेटा जोड़ी के लिए $\frac{x}{y}$ $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$। यदि सभी जोड़ियों के लिए अनुपात $\frac{x}{y} = k$ स्थिर है, तो संबंध प्रत्यक्ष भिन्नता है।
• व्युत्क्रम भिन्नता परीक्षण: प्रत्येक डेटा जोड़ी के लिए उत्पाद $x \times y$ की गणना करें। यदि उत्पाद $x \times y = k$ सभी जोड़ियों के लिए स्थिर है, तो संबंध व्युत्क्रम भिन्नता है।


जांचें कि क्या अनुपात $x/y$ स्थिर (प्रत्यक्ष) है या यदि उत्पाद $x \times y$ स्थिर (व्युत्क्रम) है।
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कक्षा 8 Mathematics के सभी अध्याय

अध्याय 1: गुणनखंडन (Factorisation) (Factorisation) अध्याय 2: परिमेय संख्याएँ (Rational Numbers) अध्याय 3: घातांक (Exponents) अध्याय 4: वर्ग और वर्गमूल (Squares and Square Roots) अध्याय 5: घन और घनमूल (Cubes and Cube Roots) अध्याय 6: संख्याओं के साथ खेलना (Playing With Numbers) अध्याय 7: समुच्चय (Sets) अध्याय 8: प्रतिशतता (Percentage) अध्याय 9: लाभ, हानि और छूट (Profit, Loss and Discount) अध्याय 10: सरल एवं चक्रवृद्धि ब्याज (Simple and Compound Interest) अध्याय 11: प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम भिन्नताएँ (Direct and Inverse Variations) अध्याय 12: बीजीय व्यंजक (Algebraic Expressions) अध्याय 13: बीजगणितीय सर्वसमिकाएँ (Algebraic Identities) अध्याय 14: रैखिक असमिकाएँ (Linear Inequations) अध्याय 15: रैखिक समीकरण (Linear Equations) अध्याय 16: आकारों की समझ (Understanding Shapes) अध्याय 17: त्रिविमीय आकारों का द्विविमीय निरूपण (Representing 3D in 2D) अध्याय 18: विशेष प्रकार के चतुर्भुजों का निर्माण (Construction of Special Types of Quadrilaterals) अध्याय 19: आलेखों से परिचय (Introduction to Graphs) (Introduction to Graphs) अध्याय 20: रेखा समरूपता और परावर्तन (Line Symmetry and Reflection) अध्याय 21: घेरा (Circle) अध्याय 22: सरलरेखीय आकृतियों का क्षेत्रफल (Area of Rectilinear Figures) अध्याय 23: ठोसों का सतही क्षेत्रफल और आयतन (Surface Area and Volume of Solids) अध्याय 24: आँकड़ों का प्रबंधन (Data Handling) अध्याय 25: प्रायिकता (Probability)

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