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ICSE • कक्षा 8 • Mathematics • अध्याय 3

अनुमानित समय: 45 Mins

प्रगति: अध्ययनरत

घातांक (Exponents)

आईसीएसई कक्षा 8 गणित में, "एक्सपोनेंट्स" अभिन्न घातांक, नकारात्मक घातांक, शून्य घातांक और वैज्ञानिक संकेतन (मानक रूप) के नियमों की जांच करने वाला एक आधिकारिक, गणितीय रूप से कठोर मास्टर अध्ययन गाइड प्रदान करता है। यह व्यापक अध्याय घातीय संकेतन (आधार $a$ और घातांक/सूचकांक/शक्ति $n$: $a^n = a \times a \times \dots \times a$ [$n$ गुना]; सकारात्मक, नकारात्मक और भिन्नात्मक आधार), अभिन्न शक्तियों के लिए घातांक के नियम (1. उत्पाद कानून: $a^m \times a^n = a^{m+n}$, 2. भागफल कानून: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, 3. एक शक्ति कानून की शक्ति:) की पड़ताल करता है। $(a^m)^n = a^{mn}$, 4. उत्पाद कानून की शक्ति: $(ab)^n = a^n b^n$, 5. भागफल कानून की शक्ति: $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$, 6. नकारात्मक घातांक कानून: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ और $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$, 7. शून्य घातांक कानून: $a \ne 0$ के लिए $a^0 = 1$), जटिल बीजगणितीय और संख्यात्मक घातीय अभिव्यक्तियों को सरल बनाना (नेस्टेड अंशों, भिन्नात्मक को संभालना) आधार, मिश्रित आधारों का अभाज्य गुणनखंडन), वैज्ञानिक संकेतन / मानक प्रपत्र ($k \times 10^n$ जहां $1 \le k < 10$ और $n \in \mathbb{Z}$; खगोलीय संख्याओं को व्यक्त करना [जैसे, प्रकाश की गति $3 \times 10^8\text{ m/s}$, पृथ्वी का द्रव्यमान $5.97 \times 10^{24}\text{ kg}$] और उपपरमाण्विक सूक्ष्म माप [जैसे, बैक्टीरिया का आकार $5 \times 10^{-7}\text{ m}$, इलेक्ट्रॉन पर आवेश $1.6 \times 10^{-19}\text{ C}$]), और 2026-27 सीआईएससीई आईसीएसई पाठ्यक्रम के अनुरूप वैज्ञानिक संकेतन में संख्याओं की तुलना करना।

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चंद्रमा तक इसकी मोटाई पहुंचने से पहले आपको कागज की एक साधारण शीट को कितनी बार आधा मोड़ना होगा?

प्रिंटर पेपर का एक साधारण टुकड़ा लें, लगभग $0.1\text{ millimeter}$ मोटा। इसे एक बार आधा मोड़ें: अब यह $0.2\text{ mm}$ ($2^1$) है। इसे फिर से मोड़ें: $0.4\text{ mm}$ ($2^2$)। इसे तीन बार मोड़ें: $0.8\text{ mm}$ ($2^3$)। यह छोटा लगता है. लेकिन घातीय वृद्धि भौतिक ब्रह्मांड में सबसे विस्फोटक शक्ति है! यदि आप उस कागज को 42 बार आधा मोड़ सकें, तो इसकी मोटाई $0.1\text{ mm} \times 2^{42} \approx 440,000\text{ KILOMETERS}$ होगी—इतनी मोटी कि यह आपके डेस्क से चंद्रमा तक फैल सके! यदि आप इसे 103 बार मोड़ेंगे, तो इसकी मोटाई संपूर्ण अवलोकनीय ब्रह्मांड ($93\text{ billion light-years}$) के व्यास से अधिक हो जाएगी! यह प्रतिपादकों का जादू है! किसी भी संख्या को घात शून्य ($a^0$) तक बढ़ाने पर वह बिल्कुल एक के बराबर क्यों हो जाती है? किसी अंश को उल्टा करने से नकारात्मक शक्ति सकारात्मक शक्ति में क्यों बदल जाती है: $(\frac{2}{3})^{-3} = (\frac{3}{2})^3$? आइए प्रतिपादकों में महारत हासिल करें।

यह अध्याय क्यों महत्वपूर्ण है

प्रतिपादक घातीय जनसंख्या वृद्धि, पुरातत्व में रेडियोधर्मी कार्बन क्षय, भूकंपीय रिक्टर भूकंप के पैमाने, ध्वनि डेसिबल, चक्रवृद्धि ब्याज संचय और नासा के खगोल भौतिकीविदों द्वारा उपयोग किए जाने वाले वैज्ञानिक संकेतन को नियंत्रित करते हैं। आईसीएसई कक्षा 8 बीजगणित में 100% अंक प्राप्त करने के लिए घातीय कानूनों में महारत हासिल करना आवश्यक है।

अध्ययन से पूर्व (आवश्यक ज्ञान)

कक्षा 7 से पूर्णांकों और भिन्नों का गुणन।
दशमलव संकेतन में 10 की मूल घातें।
मिश्र संख्याओं का अभाज्य गुणनखंड।

इस अध्याय के लक्ष्य

संख्यात्मक और बीजगणितीय अभिव्यक्तियों को सरल बनाने के लिए घातांक के 7 मौलिक नियम लागू करें।
$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ का उपयोग करके नकारात्मक घातांक का मूल्यांकन करें और $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.
गणितीय रूप से साबित करें कि किसी भी गैर-शून्य वास्तविक संख्या के लिए $a^0 = 1$ क्यों है।
बहुत बड़ी खगोलीय संख्याओं और बहुत छोटी सूक्ष्म संख्याओं को वैज्ञानिक मानक रूप ($k \times 10^n$) में व्यक्त करें।
मानक वैज्ञानिक रूप से संख्याओं को वापस विस्तारित दशमलव रूप में बदलें।
घातांकीय बीजीय समीकरणों को हल करें अज्ञात शक्तियां ($a^{f(x)} = a^k \implies f(x) = k$).

अध्याय रूपरेखा एवं प्रगति

1 1. घातीय संकेतन और 7 मौलिक नियम

2 2. $a^0 = 1$ और नकारात्मक शक्तियों...

3 3. जटिल घातीय अभिव्यक्तियों को सरल...

4 4. वैज्ञानिक संकेतन (मानक प्रपत्र)

सम्पूर्ण सैद्धांतिक एवं वैचारिक अध्ययन

1. घातीय संकेतन और 7 मौलिक नियम

2. $a^0 = 1$ और नकारात्मक शक्तियों का गणितीय प्रमाण

3. जटिल घातीय अभिव्यक्तियों को सरल बनाना

4. वैज्ञानिक संकेतन (मानक प्रपत्र)

महत्वपूर्ण सूत्र, सर्वसमिकाएँ एवं प्रमेय

नकारात्मक भिन्नात्मक घातांक नियम

$$\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n = \frac{b^n}{a^n}$$

आधार फ़्लिप का व्युत्क्रम शक्ति का संकेत।

वैज्ञानिक संकेतन प्रारूप

$$N = k \times 10^n \quad (1 \le k < 10, \; n \in \mathbb{Z})$$

बहुत बड़ी या सूक्ष्म संख्याओं के लिए मानक प्रारूप।

प्रतिपादक: 7 कानून और वैज्ञानिक रूप स्केल

^m × aⁿ = a^m+n 2. Quotient: a^m ÷ aⁿ = a^m-n 3. Power of Power: (a^m)ⁿ = a^mn 4. Product Power: (ab)ⁿ = aⁿbⁿ 5. Negative Power: a^-n = 1 / aⁿ (a/b)^-n = (b/a)ⁿ (Flip fraction!) 6. Zero Power: a⁰ = 1 (a ≠ 0) • Always convert composite numbers to prime bases! SCIENTIFIC NOTATION: k × 10^n k × 10ⁿ where 1 ≤ k < 10 • Very Large Numbers (n is positive): Speed of Light = 300,000,000 m/s = 3.0 × 10⁸ m/s Mass of Earth = 5.97 × 10²⁴ kg • Microscopic Numbers (n is negative): Size of Bacteria = 0.0000005 m = 5.0 × 10^-7 m Electron Charge = 1.6 × 10^-19 C a^m × a^n = a^(m+n) • a^0 = 1 • a^(-n) = 1/a^n • SCIENTIFIC NOTATION: 1 ≤ k < 10

अध्याय का सार संक्षेप एवं 10 मुख्य निष्कर्ष

मुख्य बिंदु 1

एक घातांक आधार के बार-बार गुणन को व्यक्त करता है: a^n = a x a x ... x a (n बार)।

मुख्य बिंदु 2

उत्पाद कानून: a^m * a^n = a^(m+n); भागफल नियम: a^m / a^n = a^(m-n).

मुख्य बिंदु 3

शक्ति नियम की शक्ति: (a^m)^n = a^(mn).

मुख्य बिंदु 4

किसी भी गैर-शून्य आधार को शक्ति शून्य तक बढ़ाया गया एक के बराबर होता है: a^0 = 1 (a != 0).

मुख्य बिंदु 5

नकारात्मक घातांक नियम: a^(-n) = 1 / a^n और (a/b)^(-n) = (b/a)^n.

मुख्य बिंदु 6

घातांक कानूनों को लागू करने से पहले समग्र संख्यात्मक आधारों को अभाज्य कारकों में परिवर्तित करें।

मुख्य बिंदु 7

वैज्ञानिक संकेतन संख्याओं को k * 10^n के रूप में व्यक्त करते हैं जहां 1 <= k < 10 और n एक पूर्णांक है।

मुख्य बिंदु 8

बड़ी संख्याओं में 10 की सकारात्मक शक्तियां होती हैं; सूक्ष्म दशमलव संख्याओं की ऋणात्मक शक्तियाँ 10 हैं।

मुख्य बिंदु 9

यदि a^x = a^y और a != 0, 1, -1, तो घातांक बराबर होने चाहिए: x = y.

मुख्य बिंदु 10

-a^n को (-a)^n: -2^4 = -16 के साथ कभी भ्रमित न करें, लेकिन (-2)^4 = +16.

स्व-मूल्यांकन अभ्यास (Check Your Understanding)

मूल वैचारिक स्पष्टता की जांच के लिए नैदानिक प्रश्न। पहले स्वयं हल करें, फिर उत्तर देखें।

सरल बनाएं और सकारात्मक घातांक के साथ व्यक्त करें: $\frac{25 \times t^{-4}}{5^{-3} \times 10 \times t^{-8}}$ (जहाँ $t \ne 0$).

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: चरण 1: सभी भाज्य संख्याओं को अभाज्य आधारों के रूप में व्यक्त करें ($25 = 5^2, 10 = 2 \times 5$):
$$= \frac{5^2 \times t^{-4}}{5^{-3} \times (2 \times 5^1) \times t^{-8}}$$
चरण 2: हर में 5 की घातों को संयोजित करें ($5^{-3} \times 5^1 = 5^{-3+1} = 5^{-2}$):
$$= \frac{5^2 \times t^{-4}}{2 \times 5^{-2} \times t^{-8}}$$
चरण 3: भागफल नियम का उपयोग करके घातों को स्थानांतरित करें ($a^m / a^n = a^{m-n}$):
$$= \frac{5^{2 - (-2)} \times t^{-4 - (-8)}}{2} = \frac{5^{2 + 2} \times t^{-4 + 8}}{2}$$
$$= \frac{5^4 \times t^4}{2} = \frac{625 t^4}{2} = \mathbf{\frac{625}{2} t^4}$$.
भाज्य संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों ($25 = 5^2, 10 = 2 \times 5$) में बदलें, फिर भागफल कानून लागू करें।

$x$ का मान ज्ञात करें जिसके लिए: $\left( \frac{5}{3} \right)^{-4} \times \left( \frac{5}{3} \right)^{-5} = \left( \frac{5}{3} \right)^{3x}$.

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: चरण 1: एलएचएस पर उत्पाद कानून ($a^m \times a^n = a^{m+n}$) लागू करें:
$$\left( \frac{5}{3} \right)^{-4 + (-5)} = \left( \frac{5}{3} \right)^{3x}$$
$$\left( \frac{5}{3} \right)^{-9} = \left( \frac{5}{3} \right)^{3x}$$
चरण 2: चूंकि दोनों तरफ के आधार समान हैं (और $0, 1, -1$ नहीं), समान करें घातांक:
$$-9 = 3x \implies x = \frac{-9}{3} = \mathbf{-3}$$.
LHS $(5/3)^{-9}$ हो जाता है। घातांक को समान करने से $3x = -9 \implies x = -3$.

प्राप्त होता है। मूल्यांकन करें: $\left\{ \left( -\frac{2}{3} \right)^2 \right\}^{-2}$.

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: चरण 1: शक्ति नियम की शक्ति लागू करें ($(a^m)^n = a^{mn}$):
$$\left( -\frac{2}{3} \right)^{2 \times (-2)} = \left( -\frac{2}{3} \right)^{-4}$$
चरण 2: ऋणात्मक घातांक नियम लागू करें ($(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$):
$$= \left( -\frac{3}{2} \right)^4$$
चरण 3: EVEN घात तक उठाया गया ऋणात्मक आधार धनात्मक हो जाता है:
$$= \frac{(-3)^4}{2^4} = \frac{81}{16} = \mathbf{\frac{81}{16}}$$.
घातांकों को गुणा करें: $2 \times (-2) = -4$। उलटा भिन्न: $(-3/2)^4 = 81/16$.

निम्नलिखित संख्याओं को वैज्ञानिक मानक प्रपत्र ($k \times 10^n$) में व्यक्त करें:
(a) $0.000000000085$
(b) $602,000,000,000,000,000,000,000$ (Avogadro की संख्या).

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर:

• (a) $0.000000000085$:
दशमलव बिंदु $11$ स्थानों पर स्थानांतरित करें $8.5$ ($1 \le k < 10$) प्राप्त करने का अधिकार:

$$\mathbf{8.5 \times 10^{-11}}$$

• (b) $602,000,000,000,000,000,000,000$:
$6.02$ प्राप्त करने के लिए दशमलव बिंदु $23$ को बाईं ओर खिसकाएँ:

$$\mathbf{6.02 \times 10^{23}}$$

(a) 11 स्थान दाईं ओर ले जाएँ: $8.5 \times 10^{-11}$. (बी) 23 स्थानों को बाईं ओर ले जाएं: $6.02 \times 10^{23}$.

सरल बनाएं: $\frac{3^{-5} \times 10^{-5} \times 125}{5^{-7} \times 6^{-5}}$.

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: सभी आधारों को अभाज्य गुणनखंडों में बदलें ($10 = 2 \times 5, 125 = 5^3, 6 = 2 \times 3$):
$$= \frac{3^{-5} \times (2 \times 5)^{-5} \times 5^3}{5^{-7} \times (2 \times 3)^{-5}}$$
$$= \frac{3^{-5} \times 2^{-5} \times 5^{-5} \times 5^3}{5^{-7} \times 2^{-5} \times 3^{-5}}$$
अंश में $3^{-5}$ और $2^{-5}$ को रद्द करें और हर:
$$= \frac{5^{-5 + 3}}{5^{-7}} = \frac{5^{-2}}{5^{-7}} = 5^{-2 - (-7)} = 5^{-2 + 7} = 5^5 = \mathbf{3,125}$$.
अभाज्य आधारों 2, 3, 5 में विघटित करें। 2 और 3 वाले पद $5^5 = 3,125$ छोड़कर पूरी तरह से रद्द हो जाते हैं।

बीजगणितीय रूप से साबित करें कि किसी भी गैर-शून्य वास्तविक संख्या $a$, $a^0 = 1$ के लिए।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: • घातांक के मौलिक भागफल नियम के अनुसार:
$$\frac{a^m}{a^n} = a^{m - n}$$
• मान लीजिए $m = n$ (जहाँ $n$ कोई धनात्मक पूर्णांक है):
$$\frac{a^n}{a^n} = a^{n - n} = a^0$$
• लेकिन कोई भी गैर-शून्य मात्रा स्वयं से विभाजित होने पर समान रूप से $1$ ($\frac{a^n}{a^n} = 1$) के बराबर होती है।
• दोनों पक्षों की तुलना करना: $$\mathbf{a^0 = 1 \quad (\text{for } a \ne 0)}$$.
$a^n / a^n = a^{n-n} = a^0$, और $a^n / a^n = 1 \implies a^0 = 1$ का उपयोग करें.

यदि $2^{x-1} + 2^{x+1} = 320$, तो $x$ का मान ज्ञात करें.

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: चरण 1: घातांक कानूनों ($2^{x-1} = 2^x \times 2^{-1} = \frac{2^x}{2}$ और $2^{x+1} = 2^x \times 2^1 = 2 \cdot 2^x$) का उपयोग करके फिर से लिखें:
$$\frac{2^x}{2} + 2(2^x) = 320$$
चरण 2: $2^x$:
$$2^x \left( \frac{1}{2} + 2 \right) = 320$$
$$2^x \left( \frac{5}{2} \right) = 320$$
का गुणनखंड निकालें चरण 3: $2^x$ के लिए हल करें:
$$2^x = 320 \times \frac{2}{5} = 64 \times 2 = 128$$
चरण 4: $128$ को $2$ की शक्ति के रूप में व्यक्त करें ($128 = 2^7$):
$$2^x = 2^7 \implies \mathbf{x = 7}$$.
गुणक $2^x(1/2 + 2) = 320 \implies 2^x(5/2) = 320 \implies 2^x = 128 = 2^7 \implies x = 7$.

मूल्यांकन करें: $\left( \frac{1}{3} \right)^{-2} + \left( \frac{1}{4} \right)^{-2} + \left( \frac{1}{2} \right)^{-3}$.

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: ऋणात्मक घातांक नियम लागू करें $(\frac{1}{a})^{-n} = a^n$:
• $\left( \frac{1}{3} \right)^{-2} = 3^2 = 9$
• $\left( \frac{1}{4} \right)^{-2} = 4^2 = 16$
• $\left( \frac{1}{2} \right)^{-3} = 2^3 = 8$
मानों का योग करें:
$$9 + 16 + 8 = \mathbf{33}$$.
भिन्नों को उलटा करें: $3^2 + 4^2 + 2^3 = 9 + 16 + 8 = 33$.

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15 MCQs • HOTS और ट्रैप्स