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CISCE (ICSE & ISC)
Class 8
Mathematics
अध्याय 1: गुणनखंडन (Factorisation) (Factorisation)

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ICSE • कक्षा 8 • Mathematics • अध्याय 1

अनुमानित समय: 45 Mins

प्रगति: अध्ययनरत

गुणनखंडन (Factorisation) (Factorisation)

आईसीएसई कक्षा 8 गणित में, "गुणनखंडन" एक आधिकारिक, बीजगणितीय रूप से कठोर मास्टर अध्ययन मार्गदर्शिका प्रदान करता है जो बहुपदों के अपरिवर्तनीय कारकों में अपघटन की जांच करता है। यह व्यापक अध्याय कारकों की मौलिक अवधारणा (प्राकृतिक संख्याओं के गुणनखंड बनाम बीजगणितीय अभिव्यक्तियों के गुणनखंड; अपरिवर्तनीय कारक), सामान्य एकपदी और बहुपद गुणनखंडन (उच्चतम सामान्य गुणनखंड [एचसीएफ] को हटाकर गुणनखंडन: $ab + ac = a(b + c)$; द्विपद और बहुपद सामान्य कोष्ठक का गुणनखंडन), समूहीकरण शर्तों द्वारा गुणनखंडन (चार-अवधि और छह-अवधि समूहन एल्गोरिदम:) की पड़ताल करता है। $ax + bx + ay + by = x(a + b) + y(a + b) = (a + b)(x + y)$; समूहीकरण से पहले शब्दों को पुनर्व्यवस्थित करना), बीजीय पहचान का उपयोग करके गुणनखंडन: 1. दो वर्गों का अंतर ($a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ और नेस्टेड पुनरावृत्तियाँ: $x^4 - y^4 = (x^2 + y^2)(x - y)(x + y)$; वर्गों के अंतर के साथ समूहीकरण का संयोजन: $x^2 - y^2 - 2yz - z^2 = x^2 - (y + z)^2 = (x - y - z)(x + y + z)$), 2. पूर्ण वर्ग त्रिपद ($a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2$), मध्य पद ($x^2 + (p + q)x + pq = (x + p)(x + q)$ और सामान्य) को विभाजित करके द्विघात त्रिपद का गुणनखंडन ट्रिनोमिअल्स $ax^2 + bx + c$ जहां $p \cdot q = ac$ और $p + q = b$; सकारात्मक और नकारात्मक गुणांक संकेतों को संभालना), बहुपद का विभाजन (एकपदी द्वारा एकपदी, एकपदी द्वारा बहुपद, और गुणनखंडन या लंबे बहुपद विभाजन द्वारा बहुपद द्वारा बहुपद), और सामान्य बीजगणितीय नुकसान 2026-27 सीआईएससीई आईसीएसई पाठ्यक्रम के साथ संरेखित।

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प्रस्तावना अध्याय अवधारणाएँ सूत्र एवं सर्वसमिकाएँ अध्याय सारांश स्व-मूल्यांकन अभ्यास टेस्ट दें

600 अंकों की विशाल गणितीय संख्याओं को छोटे-छोटे कारकों में तोड़ना कैसे वैश्विक बैंकिंग क्रिप्टोग्राफी की अटूट ढाल बन गया?

हर बार जब आप एटीएम पर डेबिट कार्ड स्वाइप करते हैं, अमेज़ॅन पर एक किताब खरीदते हैं, या व्हाट्सएप पर एक एन्क्रिप्टेड संदेश भेजते हैं, तो आपका स्मार्टफोन तीन सौ साल पहले आविष्कार की गई एक बिजली की तेजी से गणितीय चाल का प्रदर्शन करता है: कारकीकरण! आधुनिक इंटरनेट साइबर सुरक्षा आरएसए पब्लिक-की क्रिप्टोसिस्टम पर निर्भर करती है। एक कंप्यूटर के लिए 300 अंकों की दो बड़ी अभाज्य संख्याओं को एक माइक्रोसेकंड में एक साथ गुणा करना हास्यास्पद रूप से आसान है। लेकिन अगर कोई आपको वह 600-अंकीय उत्पाद देता है और कहता है कि मूल अभाज्य गुणनखंड खोजें, तो ग्रह पृथ्वी पर सबसे तेज़ सुपर कंप्यूटर को इसे क्रैक करने के लिए दस अरब वर्षों तक गणनाओं में मेहनत करनी होगी! गुणनखंडीकरण अन-गुणा करने की कला है: एक जटिल, बोझिल बीजगणितीय अभिव्यक्ति को उसके सबसे सरल, शुद्धतम निर्माण खंडों में विघटित करना! क्वांटम भौतिकी समीकरणों में दो वर्गों ($a^2 - b^2$) का अंतर क्यों दिखाई देता है? किसी भी द्विघात त्रिपद के मध्य पद को बिना अनुमान लगाए विभाजित करने का गुप्त दो-चरणीय एल्गोरिदम क्या है? आइए गुणनखंडन में महारत हासिल करें।

यह अध्याय क्यों महत्वपूर्ण है

गुणनखंडन द्वितीयक और उच्च बीजगणित का मूलभूत मूल है: द्विघात समीकरणों को हल करना, तर्कसंगत बीजगणितीय अंशों को सरल बनाना, कैलकुलस में बहुपद जड़ें ढूंढना, विद्युत फिल्टर सर्किट डिजाइन करना और कम्प्यूटेशनल संख्या सिद्धांत। आईसीएसई कक्षा 8 और 10 बीजगणित में 100% स्कोर करना गुणनखंडन में महारत हासिल करने से शुरू होता है।

अध्ययन से पूर्व (आवश्यक ज्ञान)

कक्षा 7 से बीजगणितीय अभिव्यक्तियों (एकपदी और बहुपद) का गुणन।
बुनियादी बीजगणितीय पहचान: $(a + b)^2, (a - b)^2$, और $(a + b)(a - b)$।
उच्चतम सामान्य गुणनखंड ढूँढना (HCF) पूर्णांकों का।

इस अध्याय के लक्ष्य

बीजगणितीय पदों और बहुपदों के अप्रासंगिक कारकों की पहचान करें।
सामान्य एकपदी/बहुपद HCF निकालकर बीजगणितीय अभिव्यक्तियों का गुणनखंडन करें।
रणनीतिक समूहीकरण और पुनर्व्यवस्था द्वारा बहु-पदीय अभिव्यक्तियों का गुणनखंडन करें।
दो वर्गों की पहचान के अंतर को लागू करें ($a^2 - b^2$) और इसके नेस्टेड रूप।
मध्य पद को विभाजित करके $x^2 + bx + c$ और $ax^2 + bx + c$ रूप के द्विघात त्रिपदों का गुणनखंड बनाएं।
गुणनखंडन तकनीकों का उपयोग करके बहुपदों को एकपदी और द्विपद द्वारा विभाजित करें।

अध्याय रूपरेखा एवं प्रगति

1 1। गुणनखंडन की अवधारणा और एचसीएफ नि...

2 2. समूहन शर्तों द्वारा गुणनखंडन

3 3. दो वर्गों और पूर्ण वर्गों के अंत...

4 4. द्विघात त्रिपदों का गुणनखंडन (मध...

सम्पूर्ण सैद्धांतिक एवं वैचारिक अध्ययन

1। गुणनखंडन की अवधारणा और एचसीएफ निकालना

2. समूहन शर्तों द्वारा गुणनखंडन

3. दो वर्गों और पूर्ण वर्गों के अंतर के माध्यम से गुणनखंडन

4. द्विघात त्रिपदों का गुणनखंडन (मध्य पद को विभाजित करना)

महत्वपूर्ण सूत्र, सर्वसमिकाएँ एवं प्रमेय

दो वर्गों का अंतर

$$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$$

ऋण चिह्न द्वारा अलग किए गए किन्हीं दो वर्ग पदों पर लागू होता है।

मध्यावधि स्थिति को विभाजित करना

$$ax^2 + bx + c \implies p \cdot q = ac \quad \land \quad p + q = b$$

उत्पाद और योग दोनों को संतुष्ट करने वाले पूर्णांकों की जोड़ी ढूंढें।

बीजगणित: गुणनखंडन टूलकिट और मध्यावधि विभाजन

² - b² = (a - b)(a + b) x⁴ - 16 = (x² + 4)(x - 2)(x + 2) 4. Perfect Square Trinomials: a² ± 2ab + b² = (a ± b)² SPLITTING THE MIDDLE TERM ax² + bx + c ⇒ Find p and q: p × q = a × c AND p + q = b • Example: 6x² - 17x + 12 Product a×c = 6 × 12 = 72 • Sum b = -17 Numbers are -9 and -8 ((-9)×(-8)=72, -9-8=-17) = 6x² - 9x - 8x + 12 = 3x(2x - 3) - 4(2x - 3) = (2x - 3)(3x - 4) FACTORISATION IS REVERSE EXPANSION • a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) • CHECK FOR COMMON HCF FIRST

अध्याय का सार संक्षेप एवं 10 मुख्य निष्कर्ष

मुख्य बिंदु 1

कारकीकरण व्यक्त करता है अपरिवर्तनीय कारकों के उत्पाद के रूप में एक बीजगणितीय अभिव्यक्ति।

मुख्य बिंदु 2

हमेशा पहले सामान्य एकपदी या बहुपद एचसीएफ की जांच करें और निकालें।

मुख्य बिंदु 3

चार-अवधि वाले बहुपदों को अक्सर जोड़े में पदों को समूहीकृत करके गुणनखंडित किया जा सकता है।

मुख्य बिंदु 4

दो वर्गों की पहचान का अंतर: a2 - b2 = (a - b)(a + b).

मुख्य बिंदु 5

वर्गों के नेस्टेड अंतर की जांच करें, जैसे कि x4 - y4 = (x2 + y2)(x - y)(x + y).

मुख्य बिंदु 6

पूर्ण वर्ग त्रिपद: a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 और a2 - 2ab + b2 = (a - b)2.

मुख्य बिंदु 7

द्विघात त्रिपद ax2 + bx + c को p, q ज्ञात करके गुणनखंडित किया जाता है जैसे कि p*q = ac और p + q = b.

मुख्य बिंदु 8

नकारात्मक सामान्य कोष्ठकों का गुणनखंड करते समय नकारात्मक चिह्नों से सावधान रहें: -(a - b) = -a + b.

मुख्य बिंदु 9

एक बहुपद का द्विपद से विभाजन, अंश को पूरी तरह से गुणनखंडित करके किया जाता है।

मुख्य बिंदु 10

एक पूरी तरह से गुणनखंडित अभिव्यक्ति में केवल अघुलनशील अभाज्य बीजीय गुणनखंड होते हैं।

स्व-मूल्यांकन अभ्यास (Check Your Understanding)

मूल वैचारिक स्पष्टता की जांच के लिए नैदानिक प्रश्न। पहले स्वयं हल करें, फिर उत्तर देखें।

पूरी तरह से गुणनखंड: $16x^4 - 81y^4$.

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर:

दो वर्गों के अंतर के रूप में पहचानें:

$$16x^4 - 81y^4 = (4x^2)^2 - (9y^2)^2$$

$$= (4x^2 - 9y^2)(4x^2 + 9y^2)$$

ध्यान दें कि पहला कारक $(4x^2 - 9y^2)$ स्वयं दो वर्गों का अंतर है ($[2x]^2 - [3y]^2$):

$$4x^2 - 9y^2 = (2x - 3y)(2x + 3y)$$

दूसरा कारक $(4x^2 + 9y^2)$ वर्गों का योग है और नहीं हो सकता वास्तविक संख्याओं पर गुणनखंड।
• अंतिम पूर्ण गुणनखंडन:

$$\mathbf{16x^4 - 81y^4 = (2x - 3y)(2x + 3y)(4x^2 + 9y^2)}$$

वर्गों का अंतर दो बार लागू करें: $(4x^2 - 9y^2)(4x^2 + 9y^2)$, फिर पहले पद का फिर से गुणनखंड करें।

मध्य पद को विभाजित करके द्विघात त्रिपद का गुणनखंड करें: $6x^2 + 11x - 10$।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: यहां $a = 6, b = 11, c = -10$.
चरण 1: उत्पाद $ac = 6 \times (-10) = -60$.
की गणना करेंचरण 2: दो संख्याएं $p$ और $q$ खोजें जिनका गुणनफल $-60$ है और जिनका योग $+11$.
है $60$ के कारक युग्मों का परीक्षण: $(15) \times (-4) = -60$ और $15 + (-4) = +11$.
चरण 3: मध्य पद $11x$ को $+15x - 4x$ में विभाजित करें:
$$6x^2 + 15x - 4x - 10$$
चरण 4: शब्दों को जोड़े में समूहित करें और सामान्य गुणनखंड निकालें:
$$3x(2x + 5) - 2(2x + 5)$$
चरण 5: सामान्य द्विपद कोष्ठक का गुणनखंड निकालें $(2x + 5)$:
$$\mathbf{(2x + 5)(3x - 2)}$$.
उत्पाद $ac = -60$, योग $b = 11$. संख्याएँ $+15$ और $-4$ हैं। परिणाम: $(2x + 5)(3x - 2)$.

समूहीकरण द्वारा गुणनखंड: $ab(x^2 + y^2) - xy(a^2 + b^2)$.

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: चरण 1: कोष्ठक को पूरी तरह से विस्तृत करें:
$$abx^2 + aby^2 - a^2xy - b^2xy$$
चरण 2: सामान्य चरों को समूहीकृत करने के लिए शब्दों को पुनर्व्यवस्थित करें:
$$(abx^2 - a^2xy) + (aby^2 - b^2xy)$$
चरण 3: प्रत्येक से एचसीएफ का गुणनखंड करें जोड़ी:
$$ax(bx - ay) - by(bx - ay)$$
चरण 4: सामान्य द्विपद $(bx - ay)$:
$$\mathbf{(bx - ay)(ax - by)}$$ का गुणनखंड करें।
पहले कोष्ठक का विस्तार करें, सामान्य चर $ax$ और $by$ वाले शब्दों को फिर से समूहित करें, फिर $(bx - ay)$ निकालें।

पूरी तरह से गुणनखंड करें: $x^2 - y^2 - 2y - 1$.

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: ध्यान दें कि नकारात्मक चिह्न के साथ समूहीकृत होने पर अंतिम तीन पद एक पूर्ण वर्ग त्रिपद बनाते हैं:
$$x^2 - (y^2 + 2y + 1)$$
पहचानें कि $y^2 + 2y + 1 = (y + 1)^2$:
$$x^2 - (y + 1)^2$$
अब दो वर्गों की पहचान का अंतर लागू करें ($a^2 - b^2 = [a - b][a + b]$) जहां $a = x$ और $b = (y + 1)$:
$$[x - (y + 1)][x + (y + 1)]$$
$$\mathbf{= (x - y - 1)(x + y + 1)}$$.
अंतिम तीन पदों को समूहित करें: $x^2 - (y + 1)^2$. फिर $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Factorise: $x^2 + \frac{1}{x^2} - 2 - 3x + \frac{3}{x}$ लागू करें।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: चरण 1: पहले तीन पदों को समूहित करें और पूर्ण वर्ग को पहचानें:
$$\left( x^2 - 2 + \frac{1}{x^2} \right) - 3 \left( x - \frac{1}{x} \right)$$
चूंकि $\left( x - \frac{1}{x} \right)^2 = x^2 - 2(x)\left(\frac{1}{x}\right) + \frac{1}{x^2} = x^2 - 2 + \frac{1}{x^2}$:
$$= \left( x - \frac{1}{x} \right)^2 - 3 \left( x - \frac{1}{x} \right)$$
चरण 2: सामान्य द्विपद $\left( x - \frac{1}{x} \right)$:
$$\mathbf{= \left( x - \frac{1}{x} \right) \left( x - \frac{1}{x} - 3 \right)}$$ का गुणनखंड निकालें।
$(x - 1/x)^2 = x^2 - 2 + 1/x^2$ को पहचानें। $(x - 1/x)$ का गुणनखंड निकालें।

गुणनखंडन का उपयोग करके बहुपद $(x^2 - 7x + 12)$ को $(x - 3)$ से विभाजित करें।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: चरण 1: अंश द्विघात त्रिपद $x^2 - 7x + 12$:
उत्पाद $= 12$, योग $= -7$ का गुणनखंड करें। संख्याएं $-3$ और $-4$ ($(-3)(-4) = 12, -3 - 4 = -7$) हैं।
$$x^2 - 7x + 12 = x^2 - 3x - 4x + 12 = x(x - 3) - 4(x - 3) = (x - 3)(x - 4)$$
चरण 2: हर से विभाजित करें $(x - 3)$:
$$\frac{x^2 - 7x + 12}{x - 3} = \frac{(x - 3)(x - 4)}{(x - 3)}$$
सामान्य गुणनखंड को रद्द करें $(x - 3)$:
$$\mathbf{= x - 4}$$.
Factorise $(x - 3)(x - 4)$ में अंश लिखें और $x - 4$ प्राप्त करने के लिए $(x - 3)$ को रद्द करें।

गुणनखंड: $2a^2 - 8ab + 8b^2$.

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर:

चरण 1: हमेशा पहले सामान्य संख्यात्मक HCF निकालें! यहां, $2$ सभी पदों के लिए सामान्य है:

$$2(a^2 - 4ab + 4b^2)$$

चरण 2: कोष्ठक के अंदर पूर्ण वर्ग त्रिपद को पहचानें:

$$a^2 - 4ab + 4b^2 = a^2 - 2(a)(2b) + (2b)^2 = (a - 2b)^2$$

• अंतिम उत्तर:

$$\mathbf{2(a - 2b)^2}$$

पहले सामान्य गुणनखंड 2 निकालें: $2(a^2 - 4ab + 4b^2) = 2(a - 2b)^2$.

गुणनखंड: $x(x - 1) - y(y - 1)$.

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: चरण 1: कोष्ठक का विस्तार करें:
$$x^2 - x - y^2 + y$$
चरण 2: वर्ग पदों और रैखिक पदों को अलग-अलग समूहित करें:
$$(x^2 - y^2) - (x - y)$$
चरण 3: दो वर्गों का अंतर लागू करें $(x^2 - y^2)$:
$$(x - y)(x + y) - 1(x - y)$$
चरण 4: सामान्य द्विपद का गुणनखंड करें $(x - y)$:
$$\mathbf{= (x - y)(x + y - 1)}$$.
$x^2 - y^2 - (x - y) = (x - y)(x + y) - (x - y) = (x - y)(x + y - 1)$ तक विस्तृत करें.

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