आलेखों से परिचय (Introduction to Graphs) (Introduction to Graphs)

• (ए) $P(3, -5)$: एब्सिस्सा सकारात्मक है ($+3$) और कोटि नकारात्मक है ($-5$) $\implies$ क्वाड्रेंट IV.
• (बी) $Q(-4, -7)$: एब्सिस्सा और कोटि दोनों नकारात्मक हैं $\implies$ चतुर्थांश III.
• (c) $R(0, 8)$: भुज $0$ है, कोटि $\implies$ धनात्मक $y$-अक्ष.
• (d) $S(-6, 0)$: कोटि $0$ है, भुजिका ऋणात्मक है $\implies$ नकारात्मक $x$-अक्ष.
• (e) $T(-2, 9)$: भुज ऋणात्मक है और कोटि धनात्मक है $\implies$ चतुर्थांश II.

चरण 1: $\text{Distance} = \text{Speed} \times \text{Time}$ ($d = 60t$) का उपयोग करके मानों की तालिका बनाएं:
• $t = 0\text{ h} \implies d = 0\text{ km}$
• $t = 1\text{ h} \implies d = 60\text{ km}$
• $t = 2\text{ h} \implies d = 120\text{ km}$
• $t = 3\text{ h} \implies d = 180\text{ km}$
• $t = 4\text{ h} \implies d = 240\text{ km}$
• $t = 5\text{ h} \implies d = 300\text{ km}$

चरण 2: उत्पत्ति जांच: $t = 0$ पर, दूरी $d = 0$। इसलिए, हां, ग्राफ सीधे मूल बिंदु $(0, 0)$ से होकर गुजरता है।
चरण 3: ढलान गणना:

$$\text{Slope} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{120 - 60}{2 - 1} = \mathbf{60\text{ km/h}}$$

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ढलान कार की निरंतर एकसमान गति को दर्शाता है।

• भुजा $s$ वाले वर्ग के क्षेत्रफल का सूत्र है: $A = s^2$.
• आइए मानों का परीक्षण करें:
• भुजा $s = 1 \implies A = 1$
• भुजा $s = 2 \implies A = 4$ (बदलें $= 3$)
• भुजा $s = 3 \implies A = 9$ (बदलें) $= 5$)
• पक्ष $s = 4 \implies A = 16$ (बदलें $= 7$)
• परिवर्तन की दर $\frac{\Delta A}{\Delta s}$ स्थिर नहीं है; यह तेजी से बढ़ता है।
• जब प्लॉट किया जाता है, तो यह एक घुमावदार परवलय उत्पन्न करता है, सीधी रेखा नहीं।
• इसलिए, नहीं, यह एक रैखिक ग्राफ नहीं है।

• रैखिक संबंध है: $y = 80x$ ($(0, 0)$ से गुजरने वाला सीधा अनुपात)।
• $x = 4.5\text{ kg}$ के लिए:

$$y = 80 \times 4.5 = 80 \times \frac{9}{2} = 40 \times 9 = \mathbf{\text{Rs } 360}$$

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$4.5\text{ kg}$ सेब की कीमत है $\text{Rs } 360$.

• (ए) $x$-अक्ष से दूरी: किसी भी बिंदु $(x, y)$ की लंबवत दूरी $x$-अक्ष इसके $y$-निर्देशांक (ऑर्डिनेट) के निरपेक्ष मान द्वारा दिया जाता है:

$$\text{Distance from } x\text{-axis} = |y| = |7| = \mathbf{7\text{ units}}$$

• (बी) $y$-अक्ष से दूरी: $y$-अक्ष से किसी भी बिंदु $(x, y)$ की लंबवत दूरी इसके $x$-निर्देशांक के निरपेक्ष मान द्वारा दी जाती है (एब्सिस्सा):

$$\text{Distance from } y\text{-axis} = |x| = |-5| = \mathbf{5\text{ units}}$$

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• समय अक्ष के समानांतर एक क्षैतिज सपाट रेखा का मतलब है कि जैसे-जैसे समय आगे बढ़ता है ($x$ बढ़ता है), दूरी मान ($y$) पूरी तरह से अपरिवर्तित रहता है ($\Delta y = 0$).
• इसलिए:

$$\text{Speed} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{0}{\Delta x} = \mathbf{0}$$

• यह दर्शाता है कि वस्तु पूरी तरह से स्थिर (आराम की स्थिति में) है।

• (ए) $x$-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन: सेट $y = 0$ समीकरण में:

$$2x + 3(0) = 12 \implies 2x = 12 \implies x = 6$$

निर्देशांक: $(6, 0)$.

• (बी) $y$-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन: समीकरण में $x = 0$ सेट करें:

$$2(0) + 3y = 12 \implies 3y = 12 \implies y = 4$$

निर्देशांक: $(0, 4)$.

• रेखा ग्राफ़: लगातार सीधी रेखा खंडों से जुड़े डेटा बिंदुओं की एक श्रृंखला। समग्र ग्राफ़ झुक सकता है, टेढ़ा-मेढ़ा हो सकता है, बढ़ सकता है और गिर सकता है (कुल मिलाकर गैर-रैखिक, उदाहरण के लिए, साप्ताहिक स्टॉक मूल्य या तापमान रुझान)।
• रैखिक ग्राफ़: संपूर्ण ग्राफ़ में इसके पूरे डोमेन में एक एकल, अखंड निरंतर सीधी रेखा होती है, जो परिवर्तन की निरंतर दर ($y = mx + c$) दर्शाती है।