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CISCE (ICSE & ISC)
Class 8
Mathematics
अध्याय 20: रेखा समरूपता और परावर्तन (Line Symmetry and Reflection)

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ICSE • कक्षा 8 • Mathematics • अध्याय 20

अनुमानित समय: 45 Mins

प्रगति: अध्ययनरत

रेखा समरूपता और परावर्तन (Line Symmetry and Reflection)

आईसीएसई कक्षा 8 गणित में, "रेखा समरूपता और प्रतिबिंब" एक आधिकारिक, ज्यामितीय रूप से कठोर मास्टर अध्ययन मार्गदर्शिका प्रदान करता है जो प्रतिबिंब समरूपता, घूर्णी समरूपता, समन्वय प्रतिबिंब परिवर्तनों और समतल ज्यामितीय आकृतियों के सममित गुणों की जांच करता है। यह व्यापक अध्याय समरूपता की अवधारणा की पड़ताल करता है (एक आकृति में समरूपता होती है यदि इसे समान आधे हिस्सों में विभाजित किया जा सकता है जो प्रतिबिंब या मोड़ने पर बिल्कुल मेल खाते हैं), समरूपता की रेखा / समरूपता की धुरी (एक दर्पण रेखा जिसके बारे में आकृति अपरिवर्तनीय है; सममित आंकड़े: समबाहु त्रिभुज [3 अक्ष], समद्विबाहु त्रिभुज [1 अक्ष], स्केलीन त्रिभुज [0 अक्ष], वर्ग [4 अक्ष], आयत [2 अक्ष], समचतुर्भुज [2 अक्ष: इसके विकर्ण], वृत्त [केंद्र से गुजरने वाली अनंत अक्ष]), घूर्णी समरूपता (घूर्णन का केंद्र, घूर्णन का कोण: न्यूनतम कोण जिसके माध्यम से एक आकृति को उसके केंद्र के चारों ओर घुमाया जाना चाहिए ताकि वह अपनी मूल स्थिति के समान दिखे; घूर्णी समरूपता का क्रम: एक पूर्ण $360^{\circ}$ घूर्णन में एक आकृति अपने आप में फिट होने की संख्या: $\text{Order} = \frac{360^{\circ}}{\text{Angle of Rotation}}$; बिंदु समरूपता: घूर्णी क्रम 2 / $180^{\circ}$ की समरूपता), और कार्तीय तल में समन्वय प्रतिबिंब: 1. $x$-अक्ष ($y = 0$) में परावर्तन: $(x, y) \xrightarrow{M_x} (x, -y)$ (एब्सिस्सा अपरिवर्तित, कोटि चिह्न उल्टा), 2. $y$-अक्ष ($x = 0$) में परावर्तन: $(x, y) \xrightarrow{M_y} (-x, y)$ (एब्सिस्सा चिह्न उल्टा, कोटि अपरिवर्तित), 3. मूल में परावर्तन $O(0, 0)$: $(x, y) \xrightarrow{M_O} (-x, -y)$ (दोनों चिह्न उलटे; $180^{\circ}$ अर्ध-मोड़ घूर्णन के समतुल्य), 4. अक्षों के समानांतर रेखाओं में परावर्तन ($x = a$ और $y = b$), 5. अपरिवर्तनीय बिंदु (प्रतिबिंब रेखा पर सीधे स्थित बिंदु जो प्रतिबिंब के तहत अपरिवर्तित रहते हैं), और बहुभुज और ज्यामितीय परिधि का प्रतिबिंब के साथ संरेखित 2026-27 सीआईएससीई आईसीएसई पाठ्यक्रम।

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प्रस्तावना अध्याय अवधारणाएँ सूत्र एवं सर्वसमिकाएँ अध्याय सारांश स्व-मूल्यांकन अभ्यास टेस्ट दें

बाथरूम के दर्पण में देखने से आपके बाएँ और दाएँ हाथ उलटे क्यों होते हैं, लेकिन आपका सिर और पैर कभी नहीं मुड़ते?

हर सुबह जब आप दर्पण में देखते हैं, तो आप अपना दाहिना हाथ उठाते हैं, और आपका प्रतिबिंब अपना बायाँ हाथ उठाता है। बाएँ और दाएँ बदले हुए लगते हैं! लेकिन दर्पण आपके सिर और पैरों को क्यों नहीं बदल देता? तुम उल्टे क्यों नहीं खड़े हो? इसका उत्तर समन्वय परावर्तन के शुद्ध गणित में निहित है! एक दर्पण वास्तव में बाएँ और दाएँ उलटा नहीं होता है - यह अक्ष को अपने तल (गहराई अक्ष) के लंबवत को उलट देता है! कार्टेशियन गणित में, यदि आप क्षैतिज $x$-अक्ष पर प्रतिबिंबित करते हैं, तो आपका $x$ समान रहता है, लेकिन आपका $y$ सकारात्मक से नकारात्मक में बदल जाता है: $(x, y) \to (x, -y)$! यदि आप ऊर्ध्वाधर $y$-अक्ष पर प्रतिबिंबित करते हैं, तो $(x, y) \to (-x, y)$! और यदि आप मूल $(0, 0)$ के माध्यम से प्रतिबिंबित करते हैं, तो दोनों निर्देशांक फ़्लिप होते हैं: $(x, y) \to (-x, -y)$! एक समबाहु त्रिभुज में क्रम 3 की सममिति और घूर्णी समरूपता की दोनों 3 रेखाएँ क्यों होती हैं? अपरिवर्तनीय बिंदु क्या है? आइए रेखा समरूपता और प्रतिबिंब में महारत हासिल करें।

यह अध्याय क्यों महत्वपूर्ण है

समरूपता भौतिक ब्रह्मांड का नियामक नियम है: द्विपक्षीय जैविक विकास (मानव शरीर आकृति विज्ञान), वास्तुशिल्प सद्भाव (ताजमहल, पार्थेनन), क्रिस्टलोग्राफी, क्वांटम कण भौतिकी (सीपीटी समरूपता), और डिजिटल कंप्यूटर दृष्टि ग्राफिक परिवर्तन। समन्वय प्रतिबिंबों में महारत हासिल करना एक मुख्य ICSE बीजगणित-ज्यामिति विषय है।

अध्ययन से पूर्व (आवश्यक ज्ञान)

अध्याय 19 से कार्टेशियन समन्वय विमान।
अध्याय 16 से चतुर्भुज और बहुभुज के गुण।
बुनियादी प्रतिबिंब और कागज मोड़ने की अवधारणाएँ।

इस अध्याय के लक्ष्य

मानक ज्यामितीय विमान के लिए समरूपता की रेखाओं की पहचान करें आंकड़े.
नियमित बहुभुजों के लिए घूर्णी समरूपता का कोण और क्रम निर्धारित करें.
$x$-अक्ष में समन्वय प्रतिबिंब नियम लागू करें: $(x, y) \to (x, -y)$.
$y$-अक्ष में समन्वय प्रतिबिंब नियम लागू करें: $(x, y) \to (-x, y)$.
मूल प्रतिबिंब नियम लागू करें: $(x, y) \to (-x, -y)$.
दर्पण रेखाओं पर अपरिवर्तनीय बिंदुओं को पहचानें और परावर्तित बहुभुजों के छवि शीर्ष खोजें।

अध्याय रूपरेखा एवं प्रगति

1 1. ज्यामितीय आकृतियों की रेखा समरूप...

2 2. घूर्णी समरूपता और क्रम

3 3. समन्वय प्रतिबिंब परिवर्तन

4 4. अपरिवर्तनीय बिंदु और बहुभुज

सम्पूर्ण सैद्धांतिक एवं वैचारिक अध्ययन

1. ज्यामितीय आकृतियों की रेखा समरूपता

समझें

ए. सममिति रेखा क्या है?

एक सीधी रेखा जो एक समतल आकृति को दो समान सर्वांगसम हिस्सों में विभाजित करती है, जैसे कि यदि आकृति को इस रेखा के साथ मोड़ा जाए, तो एक आधा दूसरे आधे से बिल्कुल मेल खाता है।

बी. मानक आकृतियों का समरूपता ऑडिट:

ज्यामितीय आकृति	समरूपता रेखाएं	विवरण
स्केलीन त्रिभुज	0	कोई समरूपता रेखाएँ नहीं
समद्विबाहु त्रिभुज	1	असमान कोण का कोण समद्विभाजक
समबाहु त्रिभुज	3	3 कोण समद्विभाजक/माध्यिका
आयत	2	विपरीत भुजाओं के मध्य बिंदुओं को मिलाने वाली रेखाएँ
रोम्बस	2	दो विकर्ण!
वर्ग	4	2 मध्य-पार्श्व रेखाएं + 2 विकर्ण
नियमित $n$-गोन	$n$	बिलकुल $n$ समरूपता रेखाएं
वृत्त	अनंत ($\\infty$)	केंद्र से होकर गुजरने वाली कोई भी व्यास रेखा

2. घूर्णी समरूपता और क्रम

3. समन्वय प्रतिबिंब परिवर्तन

4. अपरिवर्तनीय बिंदु और बहुभुज

महत्वपूर्ण सूत्र, सर्वसमिकाएँ एवं प्रमेय

X-अक्ष में परावर्तन

$$(x, y) \xrightarrow{M_x} (x, -y)$$

ऑर्डिनेट y संकेत बदलता है; एब्सिस्सा x अपरिवर्तित.

Y-अक्ष में परावर्तन

$$(x, y) \xrightarrow{M_y} (-x, y)$$

Abscissa x चिह्न बदलता है; कोटि y अपरिवर्तित।

उत्पत्ति में परावर्तन

$$(x, y) \xrightarrow{M_O} (-x, -y)$$

दोनों निर्देशांक चिह्न बदलते हैं; क्रम 2 बिंदु समरूपता।

रूपांतरण: समन्वय परावर्तन नियम और समरूपता अक्ष

अध्याय का सार संक्षेप एवं 10 मुख्य निष्कर्ष

मुख्य बिंदु 1

एक आकृति में रेखा समरूपता होती है यदि एक रेखा इसे दो सर्वांगसम हिस्सों में विभाजित करती है जो मोड़ने पर संपाती होती हैं।

मुख्य बिंदु 2

एक समबाहु त्रिभुज में समरूपता की 3 रेखाएँ होती हैं; एक वर्ग में 4 होते हैं; एक आयत और समचतुर्भुज में 2.

मुख्य बिंदु 3

एक वृत्त के केंद्र से होकर गुजरने वाली समरूपता की अनंत रेखाएँ होती हैं।

मुख्य बिंदु 4

घूर्णन समरूपता क्रम: क्रम = 360 / घूर्णन कोण।

मुख्य बिंदु 5

बिंदु समरूपता क्रम 2 (180-डिग्री घूर्णन) की घूर्णी समरूपता है।

मुख्य बिंदु 6

में परावर्तन x-अक्ष: (x, y) बन जाता है (x, -y).

मुख्य बिंदु 7

y-अक्ष में परावर्तन: (x, y) बन जाता है (-x, y).

मुख्य बिंदु 8

मूल में परावर्तन: (x, y) हो जाता है (-x, -y).

मुख्य बिंदु 9

एक अपरिवर्तनीय बिंदु सीधे परावर्तन की रेखा पर स्थित होता है और नीचे अपरिवर्तित रहता है प्रतिबिंब._

मुख्य बिंदु 10

n भुजाओं वाले एक नियमित बहुभुज में बिल्कुल n समरूपता रेखाएं और n क्रम की घूर्णी समरूपता होती है।

स्व-मूल्यांकन अभ्यास (Check Your Understanding)

मूल वैचारिक स्पष्टता की जांच के लिए नैदानिक प्रश्न। पहले स्वयं हल करें, फिर उत्तर देखें।

बिंदु $P(-3, 5)$ की प्रतिबिंब छवि ढूंढें:
(a) $x$-अक्ष, (b) $y$-अक्ष, (c) मूल।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर:

• (ए) $x$-अक्ष ($M_x$) में परावर्तन:
नियम: $(x, y) \to (x, -y)$
§

$$P(-3, 5) \xrightarrow{M_x} \mathbf{P_1(-3, -5)}$$

• (बी) $y$-अक्ष ($M_y$) में परावर्तन:
नियम: $(x, y) \to (-x, y)$

$$P(-3, 5) \xrightarrow{M_y} \mathbf{P_2(3, 5)}$$

• (सी) मूल में प्रतिबिंब ($M_O$):
नियम: $(x, y) \to (-x, -y)$

$$P(-3, 5) \xrightarrow{M_O} \mathbf{P_3(3, -5)}$$

(a) $x$-अक्ष फ़्लिप $y$: $(-3, -5)$. (बी) $y$-अक्ष फ़्लिप $x$: $(3, 5)$। (सी) उत्पत्ति दोनों को फ़्लिप करती है: $(3, -5)$.

एक अपरिवर्तनीय बिंदु क्या है? $a$ और $b$ के मान ज्ञात कीजिए यदि: (ए) $(a, 0)$ $x$-अक्ष में परिलक्षित होता है, (बी) $(0, b)$ $y$-अक्ष में परिलक्षित होता है, (सी) $(a - 2, 5)$ $y$-अक्ष में प्रतिबिंब के तहत अपरिवर्तनीय है।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर:

• एक अपरिवर्तनीय बिंदु एक ऐसा बिंदु है जो पूरी तरह से बना रहता है प्रतिबिंब के बाद अपरिवर्तित (यह अपनी छवि के साथ मेल खाता है)। एक बिंदु अपरिवर्तनीय है यदि और केवल यदि वह दर्पण रेखा पर स्थित है।
• (ए) कोई भी बिंदु $(a, 0)$ $x$-अक्ष पर स्थित है, इसलिए यह $x$-अक्ष में प्रतिबिंब के तहत $a$ के सभी वास्तविक मानों के लिए अपरिवर्तनीय है।
• (बी) कोई भी बिंदु $(0, b)$ पर स्थित है $y$-अक्ष, इसलिए यह 9§ के सभी वास्तविक मानों के लिए $y$-अक्ष में प्रतिबिंब के तहत अपरिवर्तनीय है।
• (सी) $y$-अक्ष ($x = 0$) में प्रतिबिंब के तहत अपरिवर्तनीय होने के लिए एक बिंदु के लिए, इसका $x$-निर्देशांक होना चाहिए $0$:

$$a - 2 = 0 \implies \mathbf{a = 2}$$

$y$-अक्ष पर एक बिंदु पर $x = 0$ होना चाहिए। इसलिए $a - 2 = 0 \implies a = 2$.

एक नियमित षट्भुज के लिए समरूपता की रेखाओं की संख्या और घूर्णी समरूपता का क्रम बताएं।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर:

$n$ भुजाओं वाले किसी भी नियमित बहुभुज के लिए, समरूपता की रेखाओं की संख्या $n$ है, और घूर्णी समरूपता का क्रम $n$ है।
एक नियमित षट्भुज ($n = 6$) के लिए:
• रेखाओं की संख्या समरूपता: $6\text{ lines}$ (विपरीत शीर्षों को जोड़ने वाले 3$+ 3$ विपरीत भुजाओं के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाले)।
• घूर्णन कोण: $\frac{360^{\circ}}{6} = 60^{\circ}$.
• घूर्णी समरूपता का क्रम: $\mathbf{6}$.

नियमित षट्भुज में $n = 6$: 6 रेखाएँ होती हैं क्रम 6 की समरूपता और घूर्णी समरूपता।

एक त्रिभुज में शीर्ष $A(2, 3), B(4, 1),$ और $C(1, -2)$ होते हैं। यह $y$-अक्ष में परावर्तित होकर $\triangle A'B'C'$ बनाता है। $A', B',$ और $C'$ के निर्देशांक लिखें।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर:

$y$-अक्ष प्रतिबिंब नियम लागू करें: $(x, y) \xrightarrow{M_y} (-x, y)$:
• $A(2, 3) \xrightarrow{M_y} \mathbf{A'(-2, 3)}$
• $B(4, 1) \xrightarrow{M_y} \mathbf{B'(-4, 1)}$
• $C(1, -2) \xrightarrow{M_y} \mathbf{C'(-1, -2)}$
छवि त्रिकोण शीर्ष हैं: $A'(-2, 3), B'(-4, 1), C'(-1, -2)$.

$x$-निर्देशांक के चिह्न को पलटें: $A'(-2, 3), B'(-4, 1), C'(-1, -2)$.

एक समांतर चतुर्भुज में सममिति की कोई रेखा क्यों नहीं होती, भले ही इसमें क्रम 2 की घूर्णी समरूपता हो?

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर:

• यदि आप किसी सामान्य गैर-रम्बिक समांतर चतुर्भुज को किसी विकर्ण के साथ या विपरीत भुजाओं के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखाओं के पार मोड़ते हैं, तो विपरीत किनारे संपाती नहीं होते; कोने बाहर चिपके रहते हैं।
• इसलिए, एक सामान्य समांतर चतुर्भुज में $0$ समरूपता की रेखाएं होती हैं।
• हालाँकि, यदि आप एक समांतर चतुर्भुज को उसके विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु के बारे में $180^{\circ}$ से घुमाते हैं, तो यह बिल्कुल समान रूपरेखा पर कब्जा कर लेता है।
• इसलिए, इसमें क्रम 2 की घूर्णी समरूपता (केंद्र के बारे में बिंदु समरूपता) होती है, जिससे साबित होता है कि एक आकृति हो सकती है रेखा समरूपता के बिना घूर्णी समरूपता है!

विकर्णों के साथ मोड़ना किनारों (समरूपता की 0 रेखाएं) से मेल नहीं खाता है, लेकिन $180^{\circ}$ घुमाव रूपरेखा (क्रम 2) से मेल खाता है।

अंग्रेजी वर्णमाला के कौन से अक्षर हैं: (ए) केवल क्षैतिज रेखा समरूपता, (बी) केवल ऊर्ध्वाधर रेखा समरूपता, (सी) क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर रेखा समरूपता दोनों?

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर:

• (ए) केवल क्षैतिज रेखा समरूपता: अक्षर बी, सी, डी, ई, के.
• (बी) केवल लंबवत रेखा समरूपता: अक्षर ए, एम, टी, यू, वी, डब्ल्यू, वाई.
• (सी) दोनों क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर रेखा समरूपता: अक्षर एच, आई, ओ, एक्स (इनमें भी है क्रम 2 की घूर्णी समरूपता!)।

क्षैतिज: बी, सी, डी, ई। लंबवत: ए, एम, टी, वी, डब्ल्यू। दोनों: एच, आई, ओ, एक्स।

बिंदु $P(4, -3)$ मूल से $P'$ तक प्रतिबिंबित होता है, और फिर $P'$ $x$-अक्ष से $P''$ तक परिलक्षित होता है। $P''$ के निर्देशांक खोजें।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर:

चरण 1: $P(4, -3)$ को मूल में प्रतिबिंबित करें ($M_O$):
नियम: $(x, y) \to (-x, -y)$

$$P(4, -3) \xrightarrow{M_O} P'(-4, 3)$$

चरण 2: $P'(-4, 3)$ को $x$-अक्ष ($M_x$) में प्रतिबिंबित करें:
नियम: $(x, y) \to (x, -y)$

$$P'(-4, 3) \xrightarrow{M_x} \mathbf{P''(-4, -3)}$$

• $P''$ के निर्देशांक $(-4, -3)$.
* हैं (ध्यान दें कि यह क्रम $y$-अक्ष में एकल प्रतिबिंब के बराबर है: $(4, -3) \to (-4, -3)$!)*.

Origin $(-4, 3)$ देता है। $x$-अक्ष में प्रतिबिंबित करने से $(-4, -3)$ मिलता है।

किसी आकृति के लिए घूर्णन का कोण निर्धारित करें जिसमें क्रम की घूर्णी समरूपता है: (ए) $5$, (बी) $8$.

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर:

सूत्र लागू करें: $\text{Angle of Rotation} = \frac{360^{\circ}}{\text{Order}}$:
• (ए) क्रम $5$:

$$\text{Angle} = \frac{360^{\circ}}{5} = \mathbf{72^{\circ}}$$

• (बी) आदेश $8$:

$$\text{Angle} = \frac{360^{\circ}}{8} = \mathbf{45^{\circ}}$$

(a) $360^{\circ} / 5 = 72^{\circ}$. (बी) $360^{\circ} / 8 = 45^{\circ}$.

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फाउंडेशन टेस्ट

15 MCQs • मूल अवधारणाएँ

एडवांस्ड टेस्ट

15 MCQs • HOTS और ट्रैप्स