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Class 8
Mathematics
अध्याय 14: रैखिक असमिकाएँ (Linear Inequations)

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ICSE • कक्षा 8 • Mathematics • अध्याय 14

अनुमानित समय: 45 Mins

प्रगति: अध्ययनरत

रैखिक असमिकाएँ (Linear Inequations)

आईसीएसई कक्षा 8 गणित में, "रैखिक असमानताएं" एक चर में रैखिक असमानताओं के समाधान, बीजगणितीय गुणों और संख्या रेखा प्रतिनिधित्व की जांच करने वाला एक आधिकारिक, बीजगणितीय रूप से कठोर मास्टर अध्ययन गाइड प्रदान करता है। यह व्यापक अध्याय बताता है कि असमिका क्या है? (बीजगणितीय अभिव्यक्तियों को असमानता संबंध प्रतीकों के साथ जोड़ने वाला गणितीय कथन: $, \ge, \ne$; एक चर में रैखिक असमानता: $ax + b < c$), प्रतिस्थापन सेट / डोमेन बनाम समाधान सेट (प्रतिस्थापन सेट $\mathbb{N}$ [प्राकृतिक संख्या: $\{1, 2, 3, \dots\}$], $\mathbb{W}$ [पूर्ण संख्या: $\{0, 1, 2, \dots\}$], $\mathbb{Z}$ [पूर्णांक: $\{\dots, -1, 0, 1, \dots\}$], $\mathbb{R}$ [वास्तविक संख्याएँ: सतत सातत्य]; समाधान सेट प्रतिस्थापन सेट का वैध उपसमुच्चय है), असमानताओं के मौलिक सिद्धांत (नियम 1: समान वास्तविक मात्रा को जोड़ने या घटाने से असमानता चिह्न सुरक्षित रहता है; नियम 2: सकारात्मक मात्रा से गुणा या भाग करने पर असमानता चिह्न सुरक्षित रहता है; महत्वपूर्ण नियम 3 / स्वर्णिम नियम: किसी नकारात्मक मात्रा से गुणा या भाग करने पर असमानता चिह्न उलट जाता है: $a < b \iff -a > -b$ और $\frac{a}{-k} > \frac{b}{-k}$), ट्रांसपोज़िशन द्वारा व्यवस्थित समाधान (क्रॉस-गुणा के साथ आंशिक असमानताएं, कोष्ठक साफ़ करना), दोहरी असमानताएं ($a \le f(x) < b$: दोनों भागों को एक साथ हल करना), और वास्तविक संख्या रेखा पर रेखांकन ($\mathbb{N}, \mathbb{W}, \mathbb{Z}$ के लिए अलग बिंदु; सख्त बहिष्करण के लिए खोखला खुला सर्कल $\circ$ [$$] बनाम ठोस डार्क डॉट समावेशन के लिए $\bullet$ [$\le, \ge$] $\mathbb{R}$ के लिए छायांकित मोटे खंड/तीर के साथ) 2026-27 सीआईएससीई आईसीएसई पाठ्यक्रम के साथ संरेखित।

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प्रस्तावना अध्याय अवधारणाएँ सूत्र एवं सर्वसमिकाएँ अध्याय सारांश स्व-मूल्यांकन अभ्यास टेस्ट दें

असमानता के दोनों पक्षों को माइनस वन से गुणा करने पर ब्रह्मांड की दिशा पूरी तरह से क्यों पलट जाती है?

दो संख्याओं को देखें: $3$ और $5$। यह निर्विवाद है कि $3 < 5$. अब दोनों पक्षों को $-1$ से गुणा करें: क्या $-3$ $-5$ से कम रहता है? वास्तविक संख्या रेखा को देखें: $-3$, $-5$ के दाईं ओर बैठता है, जिसका अर्थ है $-3 > -5$! असमानता का चिन्ह पूरी तरह से उलटा हो गया! यह पूरे बीजगणित में सबसे खतरनाक गणितीय जाल है: जब भी आप किसी असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या विभाजित करते हैं, तो असमानता का चिह्न उल्टा होना चाहिए! एक रैखिक समीकरण ($2x = 6$) के विपरीत, जिसमें केवल एक अद्वितीय मूल ($x = 3$) होता है, एक रैखिक समीकरण पूरे अनंत समाधानों के ब्रह्मांड को खोलता है! लेकिन आपका अंतिम उत्तर पूरी तरह से आपके प्रतिस्थापन सेट पर निर्भर करता है: यदि आप प्राकृतिक संख्याओं ($\mathbb{N}$) में शिकार कर रहे हैं, तो $x < 3$ $\{1, 2\}$ देता है; पूर्ण संख्याओं ($\mathbb{W}$) में, यह $\{0, 1, 2\}$ देता है; और वास्तविक संख्याओं ($\mathbb{R}$) में, यह एक अनंत सतत छायांकित किरण है! खुले वृत्त ($\circ$) और ठोस बिंदु ($\bullet$) के बीच क्या अंतर है? आइए रैखिक असमिकाओं में महारत हासिल करें।

यह अध्याय क्यों महत्वपूर्ण है

असमानताएँ कंप्यूटर प्रोग्रामिंग (सशर्त यदि-अन्यथा शाखा, सरणी लूप सीमा), व्यवसाय संचालन अनुसंधान (बजट बाधाओं के तहत लाभ अधिकतमकरण), गति सीमा, क्रेडिट रेटिंग और संरचनात्मक भार सुरक्षा मार्जिन के लिए मौलिक हैं। चिह्न उत्क्रमण और संख्या रेखा रेखांकन में महारत हासिल करना एक अनिवार्य ICSE बीजगणित विषय है।

अध्ययन से पूर्व (आवश्यक ज्ञान)

कक्षा 7 से पूर्णांकों और वास्तविक संख्या रेखा पर संचालन।
स्थानांतरण द्वारा सरल रैखिक समीकरणों को हल करना।
नोटेशन (रोस्टर फॉर्म और डोमेन उपसमुच्चय) सेट करता है।

इस अध्याय के लक्ष्य

एक असमानता और एक के बीच अंतर करें समीकरण.
प्रतिस्थापन सेट (डोमेन) और समाधान सेट के बीच अंतर करें.
असमानताओं का स्वर्णिम नियम लागू करें: ऋणात्मक संख्याओं से गुणा या भाग करते समय असमानता चिह्न को उलट दें.
स्थानांतरण का उपयोग करके भिन्नों और कोष्ठकों के साथ बहु-चरणीय रैखिक असमिकाओं को हल करें.
मिश्रित दोहरे समीकरणों को हल करें ($a \le ax + b < c$).
ग्राफ़ समाधान $\mathbb{Z}/\mathbb{W}/\mathbb{N}$ के लिए ठोस बिंदुओं और $\mathbb{R}$ के लिए छायांकित किरणों के साथ खुले/बंद वृत्तों का उपयोग करके संख्या रेखा पर सटीक रूप से सेट होता है।

अध्याय रूपरेखा एवं प्रगति

1 1। असमानताएँ, प्रतिस्थापन सेट और सम...

2 2. असमिकाओं और चिह्न उत्क्रमण के स्...

3 3. असमिकाएँ एवं दोहरी असमिकाएँ हल क...

4 4. वास्तविक संख्या रेखा पर रेखांकन...

सम्पूर्ण सैद्धांतिक एवं वैचारिक अध्ययन

1। असमानताएँ, प्रतिस्थापन सेट और समाधान सेट

2. असमिकाओं और चिह्न उत्क्रमण के स्वयंसिद्ध नियम

3. असमिकाएँ एवं दोहरी असमिकाएँ हल करना

4. वास्तविक संख्या रेखा पर रेखांकन समाधान सेट

महत्वपूर्ण सूत्र, सर्वसमिकाएँ एवं प्रमेय

स्वर्णिम असमिका उत्क्रमण नियम

$$a < b \iff -a > -b \quad \land \quad a \le b \iff -a \ge -b$$

एक ऋणात्मक द्वारा गुणन या विभाजन असमानता चिह्न को उलट देता है।

दोहरा असमिका सैंडविच

$$a \le x < b \implies x \in [a, b)$$

एक साथ निचली और ऊपरी सीमाएं।

असमानताएं: उत्क्रमण नियम और संख्या रेखा रेखांकन

अध्याय का सार संक्षेप एवं 10 मुख्य निष्कर्ष

मुख्य बिंदु 1

An असमानता एक बीजगणितीय कथन है जिसमें <, <=, >, >=, या != शामिल है।

मुख्य बिंदु 2

प्रतिस्थापन सेट (डोमेन) वह संख्याएँ प्रदान करता है जिनसे समाधान का चयन किया जा सकता है।

मुख्य बिंदु 3

समाधान सेट प्रतिस्थापन सेट का सबसेट है जो असमानता को सत्य बनाता है।

मुख्य बिंदु 4

दोनों तरफ समान संख्या जोड़ने या घटाने से असमानता चिह्न सुरक्षित रहता है।

मुख्य बिंदु 5

किसी धनात्मक संख्या से गुणा या भाग देने पर असमानता चिह्न सुरक्षित रहता है।

मुख्य बिंदु 6

महत्वपूर्ण नियम: किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता चिह्न उलट जाता है।

मुख्य बिंदु 7

अलग-अलग डोमेन (एन, डब्ल्यू, जेड) के लिए, संख्या रेखा पर पृथक बोल्ड ठोस बिंदुओं को प्लॉट करें।

मुख्य बिंदु 8

वास्तविक संख्याओं (आर) के लिए, <= and >= के लिए एक ठोस बिंदु और इसके लिए एक खोखले खुले वृत्त का उपयोग करें। < and >.

मुख्य बिंदु 9

तीनों भागों में समान संचालन करके दोहरी असमानताओं को हल किया जाता है।

मुख्य बिंदु 10

उत्तर लिखने से पहले हमेशा दिए गए डोमेन के विरुद्ध अंतिम समाधान सेट की जांच करें।

स्व-मूल्यांकन अभ्यास (Check Your Understanding)

मूल वैचारिक स्पष्टता की जांच के लिए नैदानिक प्रश्न। पहले स्वयं हल करें, फिर उत्तर देखें।

असमिका को हल करें: $3 - 2x \ge x - 12$, यह देखते हुए कि प्रतिस्थापन सेट $x \in \mathbb{W}$ (पूर्ण संख्याएं) है। समाधान को एक संख्या रेखा पर आलेखित करें।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर:

चरण 1: $x$ को LHS और $3$ को RHS में स्थानांतरित करें:

$$3 - 2x \ge x - 12$$

$$-2x - x \ge -12 - 3$$

$$-3x \ge -15$$

चरण 2: दोनों पक्षों को $-3$ से विभाजित करें। असमानता चिह्न को उल्टा करें $\ge$ से $\le$ तक:

$$x \le \frac{-15}{-3} \implies \mathbf{x \le 5}$$

चरण 3: प्रतिस्थापन सेट द्वारा फ़िल्टर करें $\mathbb{W} = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, \dots\}$:

$$\text{Solution Set} = \mathbf{\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}}$$

• संख्या रेखा ग्राफ: विशिष्ट रूप से प्लॉट करें बोल्ड ठोस बिंदु ($\\bullet$) विशेष रूप से संख्याओं पर $0, 1, 2, 3, 4,$ और $5$ संख्या रेखा पर।

$-3x \ge -15$ पर स्थानांतरित करें। $-3$ से विभाजित करने पर चिह्न $x \le 5$ पर उलट जाता है। पूर्ण संख्याएँ $\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ हैं।

दोहरे असमिका को हल करें: $-1 \le 3 + 4x < 23$, यह देखते हुए कि $x \in \mathbb{R}$ (वास्तविक संख्याएँ)। समाधान सेट को संख्या रेखा पर निरूपित करें।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर:

चरण 1: सभी तीन भागों से $3$ घटाएं:

$$-1 - 3 \le 4x < 23 - 3$$

$$-4 \le 4x < 20$$

चरण 2: सभी भागों को $4$ से विभाजित करें (सकारात्मक, चिह्न अपरिवर्तित):

$$\frac{-4}{4} \le \frac{4x}{4} < \frac{20}{4}$$

$$\mathbf{-1 \le x < 5}$$

चरण 3: संख्या रेखा प्रतिनिधित्व:
• एक बनाएं ठोस बंद वृत्त ($\\bullet$) $-1$ (शामिल) पर।
• $5$ (बहिष्कृत) पर एक खोखला खुला वृत्त ($\\circ$) बनाएं।
• $-1$ और को जोड़ने वाला एक मोटा, बोल्ड छायांकित रेखा खंड बनाएं $5$.

सभी भागों से 3 घटाएँ: $-4 \le 4x < 20$। 4 से विभाजित करें: $-1 \le x < 5$. -1 पर ठोस बिंदु, 5.

पर खुला वृत्त हल करें: $\frac{2x - 1}{3} \ge \frac{3x - 2}{4} - \frac{2 - x}{5}$, जहां $x \in \mathbb{Z}$ (पूर्णांक)। $x$ का सबसे बड़ा मान क्या है?

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर:

चरण 1: सभी पदों को हर के LCM ($3, 4, 5$) से गुणा करें, जो $60$ है:

$$60 \left( \frac{2x - 1}{3} \right) \ge 60 \left( \frac{3x - 2}{4} \right) - 60 \left( \frac{2 - x}{5} \right)$$

$$20(2x - 1) \ge 15(3x - 2) - 12(2 - x)$$

चरण 2: विस्तार करें कोष्ठक:

$$40x - 20 \ge 45x - 30 - 24 + 12x$$

$$40x - 20 \ge 57x - 54$$

चरण 3: $57x$ को LHS और $-20$ को RHS में स्थानांतरित करें:

$$40x - 57x \ge -54 + 20$$

$$-17x \ge -34$$

चरण 4: $-17$ से विभाजित करें और असमानता को उल्टा करें चिह्न:

$$x \le \frac{-34}{-17} \implies \mathbf{x \le 2}$$

• $x \in \mathbb{Z}$ के बाद से, समाधान सेट $\{\dots, -1, 0, 1, 2\}$ है.
• $x$ का सबसे बड़ा पूर्णांक मान $2$ है.

60 से गुणा करें: $40x - 20 \ge 57x - 54 \implies -17x \ge -34 \implies x \le 2$. सबसे बड़ा पूर्णांक 2.

है यदि प्रतिस्थापन सेट $\mathbb{Z}^-$ (नकारात्मक पूर्णांक) है, तो इसका समाधान सेट ढूंढें: $2(x - 3) < 4x - 2$।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर:

चरण 1: कोष्ठक का विस्तार करें:

$$2x - 6 < 4x - 2$$

चरण 2: $4x$ को LHS और $-6$ को RHS में स्थानांतरित करें:

$$2x - 4x < -2 + 6$$

$$-2x < 4$$

9§चरण 3: $-2$ से विभाजित करें और उलटा करें चिह्न:

$$x > \frac{4}{-2} \implies \mathbf{x > -2}$$

चरण 4: प्रतिस्थापन सेट द्वारा फ़िल्टर करें $\mathbb{Z}^- = \{-1, -2, -3, \dots\}$:
ऋणात्मक पूर्णांक $-2$ से पूर्णतः बड़ा केवल $-1$.

$$\text{Solution Set} = \mathbf{\{-1\}}$$

$-2x < 4 \implies x > -2$ है। -2 से बड़ा ऋणात्मक पूर्णांक केवल $\{-1\}$ है।

बीजगणितीय रूप से समझाएं कि किसी असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा करने पर असमानता का प्रतीक क्यों उलट जाता है।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर:

• मान लीजिए कि $a$ और $b$ कोई दो वास्तविक संख्याएँ हैं जैसे कि $a < b$।
• दोनों ओर से $(a + b)$ घटाएँ असमानता:

$$a - (a + b) < b - (a + b)$$

$$a - a - b < b - a - b$$

$$-b < -a$$

• जो गणितीय रूप से इसके बराबर है:

$$\mathbf{-a > -b}$$

• ध्यान दें कि हमने $a < b$ से शुरुआत की और $-a > -b$ पर पहुंचे।
• इसलिए, दोनों पक्षों को $-1$ से गुणा करने पर असमानता उलट जाती है प्रतीक $<$ से $>$ तक.

दोनों तरफ से $(a + b)$ घटाएं: $a - (a+b) < b - (a+b) \implies -b < -a \implies -a > -b$.

एक संख्या रेखा पर, वास्तविक संख्या $\mathbb{R}$ के सेट पर $x \ge 2$ और $x > 2$ के बीच ग्राफिकल अंतर क्या है?

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर:

• $x \ge 2$ (समावेशी असमानता) के लिए: एक ठोस, भरा हुआ अंधेरा बिंदु ($\\bullet$) को $2$ पर प्लॉट किया गया है ताकि यह इंगित किया जा सके कि संख्या $2$ स्वयं समाधान सेट में शामिल है, जिसमें एक मोटा छायांकित तीर सकारात्मक अनंत की ओर दाईं ओर फैला हुआ है।
• $x > 2$ (सख्त असमानता) के लिए: ए खोखला खुला सर्कल ($\\circ$) को $2$ पर खींचा गया है ताकि यह दर्शाया जा सके कि अंतिम बिंदु $2$ को समाधान सेट से सख्ती से बाहर रखा गया है, जिसमें एक मोटा छायांकित तीर दाईं ओर फैला हुआ है।

सॉलिड डॉट ($ullet$) में 2 ($\ge$) शामिल हैं; खोखले वृत्त ($\circ$) में 2 ($>$) शामिल नहीं हैं।

असमिका को संतुष्ट करने वाला सबसे छोटा पूर्णांक ढूंढें: $4x - 3 \ge 2(x + 5)$.

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर:

चरण 1: कोष्ठक का विस्तार करें:

$$4x - 3 \ge 2x + 10$$

चरण 2: $2x$ को LHS और $-3$ को स्थानांतरित करें आरएचएस:

$$4x - 2x \ge 10 + 3$$

$$2x \ge 13$$

$$x \ge \frac{13}{2} \implies \mathbf{x \ge 6.5}$$

चूंकि $x \in \mathbb{Z}$, $6.5$ से बड़ा या उसके बराबर सबसे छोटा पूर्णांक $7$ है।

$2x \ge 13 \implies x \ge 6.5$। सबसे छोटा पूर्णांक 7.

है, जिसे $x \in \mathbb{W}$ दिया गया है, इसका समाधान सेट ढूंढें: $-2 \le x < 4$.

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: • दी गई असमानता $-2 \le x < 4$ है.
• प्रतिस्थापन सेट $\mathbb{W} = \{0, 1, 2, 3, 4, \dots\}$ है.
• फ़िल्टर मान: पूर्ण संख्याएं जो $-2$ से अधिक या उसके बराबर हैं और सख्ती से कम हैं $4$ हैं:
$$\text{Solution Set} = \mathbf{\{0, 1, 2, 3\}}$$.
*(ऋणात्मक संख्याएँ $-2$ और $-1$ अस्वीकार कर दी जाती हैं क्योंकि वे पूर्ण संख्याएँ नहीं हैं)*.
पूर्ण संख्याएँ 0 से शुरू होती हैं, इसलिए समाधान $\{0, 1, 2, 3\}$ हैं।

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