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ICSE • कक्षा 8 • Mathematics • अध्याय 8

अनुमानित समय: 45 Mins

प्रगति: अध्ययनरत

प्रतिशतता (Percentage)

आईसीएसई कक्षा 8 गणित में, "प्रतिशत" एक आधिकारिक, गणितीय रूप से कठोर मास्टर अध्ययन गाइड प्रदान करता है जो प्रति सौ गणनाओं के भिन्नात्मक और दशमलव अंकगणित, प्रतिशत वृद्धि और कमी, और बहु-चरण वास्तविक दुनिया के वाणिज्यिक अनुप्रयोगों की जांच करता है। यह व्यापक अध्याय प्रतिशत का अर्थ बताता है (प्रति सौ / भाग प्रति सौ, प्रतीक $\%$; हर 100 के साथ भिन्न: $x\% = \frac{x}{100}$), अंतर-रूपांतरण (प्रतिशत से अंश/दशमलव, अंश/दशमलव से प्रतिशत), किसी दी गई मात्रा का प्रतिशत खोजना ($x\% \text{ of } Q = \frac{x}{100} \times Q$), एक मात्रा को दूसरे के प्रतिशत के रूप में व्यक्त करना ($\frac{A}{B} \times 100\%$ माप की समान इकाइयों के साथ), प्रतिशत परिवर्तन: प्रतिशत वृद्धि और प्रतिशत कमी ($\text{Percentage Increase} = \frac{\text{Increase}}{\text{Original Value}} \times 100\%$; $\text{Percentage Decrease} = \frac{\text{Decrease}}{\text{Original Value}} \times 100\%$; बढ़े/घटे मूल्य से मूल मात्रा ज्ञात करना), क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन ($x\%$ और $y\%$ के दो क्रमिक परिवर्तन: $\text{Net Change} = \left( x + y + \frac{xy}{100} \right)\%$), वस्तु मूल्य-उपभोग लोच (यदि किसी वस्तु की कीमत $r\%$ बढ़ जाती है, तो व्यय को स्थिर रखने के लिए खपत में कमी होती है) $\frac{r}{100 + r} \times 100\%$; यदि कीमत घटती है, तो खपत में वृद्धि $\frac{r}{100 - r} \times 100\%$ है), जनसंख्या वृद्धि और मशीन मूल्यह्रास ($A = P\left(1 \pm \frac{R}{100}\right)^n$), और परीक्षा अंक/वेतन शब्द समस्याएं 2026-27 सीआईएससीई आईसीएसई पाठ्यक्रम के साथ संरेखित हैं।

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प्रस्तावना अध्याय अवधारणाएँ सूत्र एवं सर्वसमिकाएँ अध्याय सारांश स्व-मूल्यांकन अभ्यास टेस्ट दें

एक स्टोर विज्ञापन "कीमतों में 20% की कमी और फिर अतिरिक्त 20% की छूट" के लिए आपको 40% से अधिक की छूट क्यों देनी पड़ती है?

त्योहारी बिक्री के मौसम के दौरान एक शॉपिंग मॉल में घूमें। कपड़े की दुकान की खिड़की पर एक नियॉन बैनर चिल्ला रहा है: "मेगा डबल बचत! सभी कपड़ों पर 20% की छूट लें, साथ ही चेकआउट रजिस्टर पर अतिरिक्त 20% की छूट!" दुकानदार यह सोचकर जश्न मनाते हैं कि उन्हें $40\%$ की छूट ($20 + 20 = 40$) मिल रही है। लेकिन बिलिंग काउंटर पर, $\text{Rs. } 1,000$ कीमत वाली शर्ट की कीमत $\text{Rs. } 600$ नहीं है! पहली $20\%$ कटौती से कीमत $\text{Rs. } 800$ तक गिर जाती है। दूसरी $20\%$ कटौती की गणना मूल रुपये पर नहीं की गई है। 1,000, लेकिन कम रुपये पर. 800, केवल $\text{Rs. } 160$ की बचत और अंतिम बिल रु. 640! वास्तविक शुद्ध छूट केवल 36% थी, 40% नहीं! स्टोर ने कानूनी तौर पर आपके पैसे का अतिरिक्त $4\%$ रखा! $10\%$ वेतन वृद्धि और उसके बाद $10\%$ वेतन कटौती के कारण आपके पास शुरुआत की तुलना में कम पैसा क्यों रह जाता है? ईंधन की कीमतें बढ़ने पर खपत में कटौती की गणना करने का गुप्त सूत्र क्या है? आइए प्रतिशत में महारत हासिल करें।

यह अध्याय क्यों महत्वपूर्ण है

प्रतिशत व्यवसाय, बैंकिंग ब्याज दरों, सरकारी कराधान (जीएसटी, आयकर), वित्तीय मुद्रास्फीति मेट्रिक्स, प्रयोगशाला रासायनिक शुद्धता विश्लेषण, कॉर्पोरेट लाभ मार्जिन और अकादमिक प्रदर्शन ग्रेडिंग की सार्वभौमिक भाषा है। ICSE कक्षा 8 के गणित के लिए प्रतिशत सूत्रों और क्रमिक परिवर्तन अंकगणित में महारत हासिल करना आवश्यक है।

अध्ययन से पूर्व (आवश्यक ज्ञान)

कक्षा 7 से भिन्नों और दशमलवों पर संचालन।
एक चर में सरल रैखिक समीकरणों को हल करना।
इकाइयों का रूपांतरण (रुपये/पैसे, मीटर/सेंटीमीटर, किलोग्राम/ग्राम)।

इस अध्याय के लक्ष्य

के बीच सहज रूप से परिवर्तित करें प्रतिशत, भिन्न, और दशमलव।
भौतिक और मौद्रिक मात्रा पर प्रतिशत वृद्धि और कमी की गणना करें।
इसके बढ़े हुए या घटे हुए प्रतिशत मान को देखते हुए मूल मात्रा का निर्धारण करें।
क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन सूत्र लागू करें: $\text{Net} = \left( x + y + \frac{xy}{100} \right)\%$।
व्यय को बनाए रखने के लिए जब वस्तु की कीमतें बढ़ती हैं तो घरेलू खपत में आवश्यक कटौती की गणना करें स्थिर.
कई वर्षों में जनसंख्या वृद्धि और मशीन मूल्यह्रास की समस्याओं का समाधान करें.

अध्याय रूपरेखा एवं प्रगति

1 1. बुनियादी बातें और अंतर-रूपांतरण

2 2. प्रतिशत वृद्धि और कमी

3 3. क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन

4 4. मूल्य-उपभोग लोच और जनसंख्या वृद्...

सम्पूर्ण सैद्धांतिक एवं वैचारिक अध्ययन

1. बुनियादी बातें और अंतर-रूपांतरण

2. प्रतिशत वृद्धि और कमी

3. क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन

4. मूल्य-उपभोग लोच और जनसंख्या वृद्धि

महत्वपूर्ण सूत्र, सर्वसमिकाएँ एवं प्रमेय

शुद्ध क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन

$$\text{Net Change (\%)} = x + y + \frac{xy}{100}$$

वृद्धि के लिए सकारात्मक और कमी के लिए नकारात्मक का उपयोग करें।

मूल्य-व्यय उपभोग नियम

$$\text{Consumption Cut (\%)} = \frac{r}{100 + r} \times 100$$

जब कीमत r% बढ़ जाती है तो निरंतर व्यय बनाए रखता है।

प्रतिशत: क्रमिक परिवर्तन और मूल्य-उपभोग गतिशीलता

ⁿ + for annual population growth - for machinery depreciation • Double Discounts: 20% + 20% ≠ 40%! Actual discount = 20 + 20 - 4 = 36% PERCENT = PER HUNDRED • NET CHANGE = x + y + xy/100 • EXPENDITURE CUT = r/(100+r)

अध्याय का सार संक्षेप एवं 10 मुख्य निष्कर्ष

मुख्य बिंदु 1

प्रतिशत का अर्थ है प्रति सौ भाग; x% = x / 100.

मुख्य बिंदु 2

भिन्न/दशमलव को प्रतिशत में बदलने के लिए, 100% से गुणा करें; % हटाने के लिए, 100 से विभाजित करें।

मुख्य बिंदु 3

प्रतिशत वृद्धि या कमी की गणना हमेशा मूल आधार मूल्य पर की जाती है।

मुख्य बिंदु 4

क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन x% और y% उपज शुद्ध परिवर्तन = (x + y + xy/100)%।

मुख्य बिंदु 5

10% की वृद्धि के बाद 10% की कमी के परिणामस्वरूप कुल मिलाकर 1% शुद्ध परिणाम मिलता है। कमी।

मुख्य बिंदु 6

यदि वस्तु की कीमत r% बढ़ जाती है, तो खपत को स्थिर रखने के लिए [r / (100 + r)] * 100% कम होना चाहिए।

मुख्य बिंदु 7

यदि वस्तु की कीमत r% गिरती है, तो खपत [r / (100 - r)] * 100% तक बढ़ सकती है।

मुख्य बिंदु 8

n वर्षों के बाद जनसंख्या वृद्धि: A = P(1 + R/100)^n.

मुख्य बिंदु 9

n वर्षों के बाद मशीन का मूल्यह्रास मूल्य: A = P(1 - R/100)^n.

मुख्य बिंदु 10

20% और 20% की दो क्रमिक छूटें 36% (40% नहीं) की शुद्ध एकल छूट के बराबर होती हैं।

स्व-मूल्यांकन अभ्यास (Check Your Understanding)

मूल वैचारिक स्पष्टता की जांच के लिए नैदानिक प्रश्न। पहले स्वयं हल करें, फिर उत्तर देखें।

यदि पेट्रोल की कीमत $25\%$ बढ़ जाती है, तो एक मोटर चालक को अपनी कीमत में कितने प्रतिशत की कमी करनी होगी खपत ताकि पेट्रोल पर उसका कुल व्यय अपरिवर्तित रहे?

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: माना कि पेट्रोल की मूल कीमत $\text{Rs. } 100$ प्रति लीटर है और मूल खपत $100\text{ liters}$ है।
मूल व्यय $= 100 \times 100 = \text{Rs. } 10,000$.
पेट्रोल की नई कीमत $= 100 + 25 = \text{Rs. } 125$ प्रति लीटर है।
व्यय को $\text{Rs. } 10,000$ पर अपरिवर्तित रखने के लिए, नई खपत है:
$$\text{New Consumption} = \frac{10,000}{125} = 80\text{ liters}$$
खपत में कमी $= 100 - 80 = 20\text{ liters}$.
$$\text{Percentage Reduction} = \frac{20}{100} \times 100\% = \mathbf{20\%}$$

• *प्रत्यक्ष फॉर्मूला सत्यापन:*
$$\text{Reduction} = \left( \frac{r}{100 + r} \times 100 \right)\% = \left( \frac{25}{100 + 25} \times 100 \right)\% = \frac{25}{125} \times 100\% = \mathbf{20\%}$$.
$[r / (100 + r)] \times 100\% = (25 / 125) \times 100\% = 20\%$ लागू करें.

एक कर्मचारी का वेतन $20\%$ बढ़ाया गया था, लेकिन कंपनी के खराब प्रदर्शन के कारण, नया वेतन बाद में $20\%$ कम कर दिया गया था। उसके वेतन में शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन क्या है?

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर:

क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन फॉर्मूला लागू करें:

$$\text{Net Change} = \left( x + y + \frac{xy}{100} \right)\%$$

यहां $x = +20$ (वृद्धि) और $y = -20$ (कमी):

$$\text{Net Change} = 20 - 20 + \frac{(20)(-20)}{100}$$

$$= 0 - \frac{400}{100} = \mathbf{-4\%}$$

• नकारात्मक चिह्न कमी का संकेत देता है।
• कर्मचारी को कष्ट होता है उसके मूल वेतन में शुद्ध $4\%$ कमी!

कुल परिवर्तन $= 20 - 20 + (20 \times -20)/100 = 0 - 4 = -4\%$। (शुद्ध 4% की कमी)।

एक परीक्षा में, उत्तीर्ण होने के लिए $35\%$ अंकों की आवश्यकता होती है। एक छात्र को $145$ अंक मिलते हैं और वह $30$ अंकों से अनुत्तीर्ण हो जाता है। परीक्षा के अधिकतम कुल अंक ज्ञात करें।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर:

चरण 1: आवश्यक उत्तीर्ण अंकों की गणना करें:

$$\text{Passing Marks} = 145 + 30 = 175\text{ marks}$$

चरण 2: मान लें कि अधिकतम कुल अंक $M$ हैं। प्रश्न के अनुसार:

$$35\% \text{ of } M = 175$$

$$\frac{35}{100} \times M = 175$$

$$M = \frac{175 \times 100}{35}$$

$175$ को $35$ से विभाजित करें ($175 \div 35 = 5$):

$$M = 5 \times 100 = \mathbf{500\text{ marks}}$$

.
परीक्षा के अधिकतम कुल अंक $500$ हैं.

Pass अंक $= 145 + 30 = 175$. चूँकि कुल $= 175$ का $35\%$, कुल $= (175 \times 100) / 35 = 500$।

एक कस्बे की जनसंख्या $5\%$ प्रति वर्ष की दर से बढ़ती है। यदि इसकी वर्तमान जनसंख्या $185,220$ है, तो 3 वर्ष पहले की जनसंख्या ज्ञात करें।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर:

मान लीजिए कि 3 वर्ष पहले की जनसंख्या $P$ थी।
वार्षिक वृद्धि दर $R = 5\%$, समय $n = 3\text{ years}$, वर्तमान जनसंख्या $A = 185,220$.
जनसंख्या वृद्धि लागू करें सूत्र:

$$A = P \left( 1 + \frac{R}{100} \right)^n$$

$$185,220 = P \left( 1 + \frac{5}{100} \right)^3 = P \left( 1 + \frac{1}{20} \right)^3 = P \left( \frac{21}{20} \right)^3$$

$$185,220 = P \times \frac{9261}{8000}$$

$P$ के लिए हल करें:

$$P = \frac{185,220 \times 8000}{9261}$$

ध्यान दें कि $185,220 \div 9261 = 20$:

$$P = 20 \times 8000 = \mathbf{160,000}$$

.
3 वर्ष पहले जनसंख्या थी $160,000$.

$185,220 = P \times (21/20)^3 = P \times (9261/8000) \implies P = 20 \times 8000 = 160,000$.

एक स्कूटर $\text{Rs. } 42,000$ में खरीदा गया था। इसका मूल्य प्रति वर्ष $8\%$ की दर से घटता है। 1 वर्ष के बाद इसका मूल्य ज्ञात करें।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: दिया गया: प्रारंभिक लागत $P = \text{Rs. } 42,000$, मूल्यह्रास दर $R = 8\%$, समय $n = 1\text{ year}$.
मूल्यह्रास सूत्र लागू करें:
$$\text{Value after 1 year} = P \left( 1 - \frac{R}{100} \right)^1$$
$$= 42,000 \times \left( 1 - \frac{8}{100} \right) = 42,000 \times \left( \frac{92}{100} \right)$$
$$= 420 \times 92 = \mathbf{\text{Rs. } 38,640}$$.
मूल्य $= 42,000 \times (1 - 0.08) = 42,000 \times 0.92 = \text{Rs. } 38,640$.

$2\text{ kilograms}$ का कितना प्रतिशत $65\text{ grams}$ है?

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर:

चरण 1: दोनों मात्राओं को समान इकाई ($1\text{ kg} = 1000\text{ g}$) में परिवर्तित करें:

$$2\text{ kg} = 2 \times 1000\text{ g} = 2000\text{ grams}$$

चरण 2: प्रतिशत की गणना करें:

$$\text{Percentage} = \frac{65}{2000} \times 100\% = \frac{65}{20}\% = \frac{13}{4}\% = \mathbf{3.25\%}$$

2 किग्रा को परिवर्तित करें 2000 ग्राम: $(65 / 2000) \times 100\% = 3.25\%$.

$18\%$ जीएसटी सहित एक टेलीविजन सेट की कीमत $\text{Rs. } 33,040$ है। जीएसटी जोड़े जाने से पहले टेलीविजन की मूल कीमत ज्ञात करें।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर:

टीवी की मूल कीमत $\text{Rs. } x$.
GST दर $= 18\%$.
GST सहित कीमत:

$$x + 18\% \text{ of } x = 33,040$$

$$x \left( 1 + \frac{18}{100} \right) = 33,040$$

$$x \left( \frac{118}{100} \right) = 33,040$$

$$x = \frac{33,040 \times 100}{118}$$

विभाजन करें $33,040$ द्वारा $118$ ($33,040 \div 118 = 280$):

$$x = 280 \times 100 = \mathbf{\text{Rs. } 28,000}$$

.
टीवी की मूल कीमत $\text{Rs. } 28,000$ थी.

Set $1.18x = 33,040 \implies x = 33,040 / 1.18 = \text{Rs. } 28,000$.

एक संख्या को पहले $10\%$ बढ़ाया जाता है और फिर $10\%$ घटाया जाता है। एक अन्य संख्या $20\%$ कम हो गई है। परिणामों की तुलना करें।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर:

• पहले नंबर के लिए (मान लीजिए $N = 100$):
$10\% \to 110$ से वृद्धि। फिर $10\% \to 110 - 11 = 99$.
की कमी से शुद्ध परिवर्तन $1\%$ कमी है.
• दूसरी संख्या के लिए: सीधे $20\%$ (100 से 80 तक) की कमी हुई.
• दूसरी संख्या में पहली संख्या ($1\%$) की तुलना में बहुत बड़ी कमी ($20\%$) होती है.

पहली संख्या प्रभावित होती है शुद्ध 1% की कमी ($100 \to 110 \to 99$); दूसरे नंबर में 20% ($100 \to 80$) की गिरावट आई है।

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