Home
School Syllabus
CISCE (ICSE & ISC)
Class 8
Mathematics
अध्याय 6: संख्याओं के साथ खेलना (Playing With Numbers)

माध्यम चुनें / Select Medium:

ICSE • कक्षा 8 • Mathematics • अध्याय 6

अनुमानित समय: 45 Mins

प्रगति: अध्ययनरत

संख्याओं के साथ खेलना (Playing With Numbers)

आईसीएसई कक्षा 8 के गणित में, "संख्याओं के साथ खेलना" एक आधिकारिक, संख्या-सैद्धांतिक मास्टर अध्ययन मार्गदर्शिका प्रदान करता है जो संख्याओं के सामान्यीकृत रूपों, विभाज्यता नियमों और उनके बीजगणितीय प्रमाणों, संख्या पहेलियों (अल्फामेटिक्स / क्रिप्टरिदम), और जादुई वर्गों की जांच करता है। यह व्यापक अध्याय सामान्यीकृत रूप में संख्याओं की खोज करता है (दो अंकों की संख्या: $ab = 10a + b$; तीन अंकों की संख्या: $abc = 100a + 10b + c$; उलटे अंक: $ab + ba = 11(a + b)$ हमेशा 11 और $(a + b)$ से विभाज्य होता है; $ab - ba = 9(a - b)$ हमेशा 9 से विभाज्य होता है; तीन अंकों का उलटा: $abc - cba = 99(a - c)$ हमेशा 99 और 9 से विभाज्य होता है; चक्रीय जोड़: $abc + bca + cab = 111(a + b + c) = 37 \times 3(a + b + c)$ हमेशा 37, 3, और $(a + b + c)$ से विभाज्य होता है), विभाज्यता परीक्षण और उनके बीजगणितीय प्रमाण (अंतिम इकाई अंक के आधार पर 10, 5, 2 से विभाज्यता; अंकों के डिजिटल योग के आधार पर 3 और 9 से विभाज्यता $\sum d$; अंतिम दो/तीन अंकों के आधार पर 4 और 8 से विभाज्यता; के योग के बीच के अंतर के आधार पर 11 से विभाज्यता) विषम स्थानों और सम स्थानों पर अंक: $(S_{\text{odd}} - S_{\text{even}})$), क्रिप्टारिथम्स / अल्फ़ामेटिक्स (वर्णमाला अंकगणितीय पहेली को हल करना जहां प्रत्येक विशिष्ट अक्षर 0 से 9 तक एक अद्वितीय अंक का प्रतिनिधित्व करता है: कॉलम जोड़ और गुणा में मान ढूंढना; अग्रणी अंक शून्य नहीं हो सकता), और जादू वर्ग ($3 \times 3$ और $4 \times 4$ ग्रिड; जादू निरंतर सूत्र: $M = \frac{n(n^2 + 1)}{2}$) के साथ संरेखित 2026-27 सीआईएससीई आईसीएसई पाठ्यक्रम।

अध्याय CBT ऑनलाइन टेस्ट दें सभी अध्याय देखें

प्रस्तावना अध्याय अवधारणाएँ सूत्र एवं सर्वसमिकाएँ अध्याय सारांश स्व-मूल्यांकन अभ्यास टेस्ट दें

किसी भी तीन अंकीय संख्या को उसके वृत्ताकार क्रमपरिवर्तन में जोड़ने से हमेशा जादुई संख्या 37 से पूर्णतः विभाजित क्यों हो जाता है?

कोई भी यादृच्छिक तीन अंकीय संख्या चुनें जहां सभी अंक समान नहीं हैं—मान लीजिए, $427$। अब अंकों को स्थानांतरित करके इसके दो गोलाकार क्रमपरिवर्तन बनाएं: $274$ और $742$। तीनों संख्याओं को एक साथ जोड़ें: $427 + 274 + 742 = 1,443$. अब एक कैलकुलेटर लें और अजीब अभाज्य संख्या 37 से विभाजित करें: $1443 \div 37 = 39$—शून्य शेषफल के साथ एक साफ, सटीक पूर्णांक! इसे $123 + 231 + 312 = 666 \div 37 = 18$ के साथ आज़माएँ! ब्रह्मांड में आप जिस भी तीन अंकीय संख्या का सपना देख सकते हैं, उसके साथ इसे आज़माएँ—यह हमेशा 37 से विभाजित होगी! क्यों? क्योंकि बीजगणित में कोई भी तीन अंकों की संख्या $100a + 10b + c$ होती है। इसके तीन चक्रीय घुमावों का योग करने पर $111(a + b + c)$, और $111$ गुणनखंड $37 \times 3$ प्राप्त होते हैं! 9 से विभाज्यता के परीक्षण के पीछे बीजगणितीय प्रमाण क्या है? आप $3A + 25 = B2$ जैसी वर्णमाला पहेली को कैसे हल करते हैं? आइए संख्याओं के साथ खेलने में महारत हासिल करें।

यह अध्याय क्यों महत्वपूर्ण है

संख्या सिद्धांत डिजिटल क्रिप्टोग्राफी, चेकसम सत्यापन एल्गोरिदम (क्रेडिट कार्ड लुहान एल्गोरिदम, बारकोड आईएसबीएन चेक), डेटाबेस इंडेक्स ट्री में हैशिंग फ़ंक्शन और प्रतिस्पर्धी ओलंपियाड गणित का मूलभूत गणित है। सामान्यीकृत रूपों और बीजगणितीय विभाज्यता प्रमाणों में महारत हासिल करने से शुद्ध तार्किक निगमनात्मक तर्क विकसित होता है।

अध्ययन से पूर्व (आवश्यक ज्ञान)

दशमलव अंकों के स्थानीय मान: इकाइयाँ, दहाई, सैकड़ों।
बुनियादी बीजगणितीय विस्तार और समूहन।
विभाज्यता परिभाषाएँ (कारक और गुणज)।

इस अध्याय के लक्ष्य

दो-अंकीय, तीन-अंकीय और सामान्यीकृत संख्याओं को विस्तारित बीजगणितीय रूप में व्यक्त करें।
उलटे अंकों ($ab \pm ba$ और) के गुणों को गणितीय रूप से सिद्ध करें $abc - cba$).
स्थानीय मान विस्तार का उपयोग करके 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10 और 11 के लिए विभाज्यता नियम प्राप्त करें और सिद्ध करें।
अतिरिक्त और गुणन में अज्ञात अंक अक्षरों को घटाकर अल्फ़ामैटिक / क्रिप्टारिथ्म पहेली को हल करें।
का उपयोग करके $3 \times 3$ जादुई वर्गों का निर्माण और सत्यापन करें। जादुई स्थिरांक सूत्र $M = \frac{n(n^2 + 1)}{2}$.
विशिष्ट विभाज्यता शर्तों को पूरा करने के लिए संख्याओं में लुप्त अंक खोजें।

अध्याय रूपरेखा एवं प्रगति

1 1। सामान्यीकृत प्रपत्र और अंकों के...

2 2. विभाज्यता परीक्षण के बीजगणितीय प...

3 3. क्रिप्टैरिथम्स / अल्फ़ामेटिक्स क...

4 4. जादुई वर्ग ($3 \times 3$)

सम्पूर्ण सैद्धांतिक एवं वैचारिक अध्ययन

1। सामान्यीकृत प्रपत्र और अंकों के गुणों को उलटना

2. विभाज्यता परीक्षण के बीजगणितीय प्रमाण

3. क्रिप्टैरिथम्स / अल्फ़ामेटिक्स को हल करना

4. जादुई वर्ग ($3 \times 3$)

महत्वपूर्ण सूत्र, सर्वसमिकाएँ एवं प्रमेय

चक्रीय क्रमपरिवर्तन योग पहचान

$$abc + bca + cab = 111(a + b + c) = 37 \times 3(a + b + c)$$

हमेशा 37, 3, और (a+b+c) से विभाज्य।

जादुई स्थिरांक सूत्र

$$M = \frac{n(n^2 + 1)}{2}$$

एक n x n जादुई वर्ग के लिए जादुई योग।

संख्या सिद्धांत: चक्रीय संख्या योग और 3x3 जादू वर्ग

अध्याय का सार संक्षेप एवं 10 मुख्य निष्कर्ष

मुख्य बिंदु 1

दो अंकों की संख्या ab को 10a + b के रूप में लिखा जाता है; एक तीन अंकों की संख्या abc 100a + 10b + c है।

मुख्य बिंदु 2

दो अंकों की संख्या और उसके विपरीत (ab + ba) का योग हमेशा 11 और (a + b) से विभाज्य होता है।

मुख्य बिंदु 3

दो अंकों की संख्या और उसके विपरीत (ab - ba) का अंतर हमेशा 9 और (a - b) से विभाज्य होता है।

मुख्य बिंदु 4

a का अंतर तीन अंकों की संख्या और इसका उलटा (एबीसी - सीबीए) हमेशा 99 से विभाज्य होता है।

मुख्य बिंदु 5

तीन चक्रीय क्रमपरिवर्तनों (एबीसी + बीसीए + कैब) का योग हमेशा 37, 3, और (ए + बी + सी) से विभाज्य होता है।

मुख्य बिंदु 6

एक संख्या 9 या 3 से विभाज्य होती है यदि और केवल यदि उसके अंकों का योग 9 या 3 से विभाज्य हो।

मुख्य बिंदु 7

यदि अंतर (S_odd - S_even) 0 है या 11 का गुणज है तो एक संख्या 11 से विभाज्य होती है।

मुख्य बिंदु 8

क्रिप्टरिदम में, प्रत्येक अक्षर 0 से 9 तक एक अद्वितीय अंक का प्रतिनिधित्व करता है, और अग्रणी अंक 0 नहीं हो सकते।

मुख्य बिंदु 9

एक जादुई वर्ग में सभी पंक्तियों, स्तंभों और विकर्णों के लिए समान योग होते हैं: M = n(n^2 + 1) / 2.

मुख्य बिंदु 10

संख्याओं 1-9 के 3x3 जादुई वर्ग के लिए, जादुई योग 15 है और केंद्र संख्या हमेशा 5 है।

स्व-मूल्यांकन अभ्यास (Check Your Understanding)

मूल वैचारिक स्पष्टता की जांच के लिए नैदानिक प्रश्न। पहले स्वयं हल करें, फिर उत्तर देखें।

निम्नलिखित जोड़ क्रिप्टारिथ्म में अक्षर $A$ और $B$ के मान खोजें:
$$\begin{array}{r} 3 \; A \\ + \; 2 \; 5 \\ \hline B \; 2 \end{array}$$

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर:

चरण 1: इकाई के कॉलम को देखें: $A + 5 = 2$ (या $2$ में समाप्त होता है, जिसका अर्थ है $12$)।

$$A + 5 = 12 \implies A = 12 - 5 = \mathbf{7}$$

चूंकि योग $12$ है, $2$ लिखें और $1$ को दहाई के कॉलम में ले जाएं।
चरण 2: दहाई के कॉलम को कैरीओवर के साथ देखें $1$:

$$1 + 3 + 2 = B \implies B = \mathbf{6}$$

• अंतिम उत्तर:

$$\mathbf{A = 7, \quad B = 6}$$

जांचें: $37 + 25 = 62$. सही!

यूनिट का कॉलम: $A + 5 = 12 \implies A = 7$ (1 ले जाएं)। दहाई का कॉलम: $1 + 3 + 2 = 6 \implies B = 6$.

बीजगणितीय रूप से सिद्ध करें कि किसी भी तीन अंकों की संख्या $abc$ और उसके विपरीत $cba$ (जहाँ $a > c$) के बीच का अंतर हमेशा $99$ से विभाज्य होता है।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर:

• संख्याओं को सामान्यीकृत स्थानीय मान में लिखें फॉर्म:

$$abc = 100a + 10b + c$$

$$cba = 100c + 10b + a$$

• $abc$ में से $cba$ घटाएं:

$$abc - cba = (100a + 10b + c) - (100c + 10b + a)$$

$$= 100a - a + 10b - 10b + c - 100c$$

$$= 99a - 99c$$

$$= \mathbf{99(a - c)}$$

• चूंकि $99(a - c)$ में एक स्पष्ट कारक के रूप में $99$ है, इसलिए अंतर हमेशा $99$ से विभाज्य होता है (और परिणामस्वरूप $9$ और $11$ से भी)।

$(100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = 99a - 99c = 99(a - c)$, जो 99 से विभाज्य होता है।

यदि चार अंकों की संख्या $24x5$, $9$ का गुणज है, तो लुप्त अंक $x$ का मान क्या है?

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर:

• $9$ के विभाज्यता नियम के अनुसार, एक संख्या $9$ से विभाज्य होती है यदि और केवल यदि उसके अंकों का योग $9$ का गुणज हो।
• के योग की गणना करें अंक:

$$\text{Sum} = 2 + 4 + x + 5 = 11 + x$$

• चूंकि $x$ एक एकल अंक ($0 \le x \le 9$) है, $9$ के संभावित गुणज $11$ से अधिक या उसके बराबर $18$ और $27$ हैं।
• सेटिंग $11 + x = 18$:

$$x = 18 - 11 = \mathbf{7}$$

(सेटिंग $11 + x = 27$ से $x = 16$ मिलता है, जो एक अंक नहीं है).
• अंतिम उत्तर:

$$\mathbf{x = 7}$$

अंकों का योग $= 11 + x$. $11 + x$ को 9 का गुणज बनाने के लिए, $x$ को $18 - 11 = 7$ होना चाहिए।

$y$ का मान ज्ञात कीजिए ताकि संख्या $31y5$ $3$ से विभाज्य हो। $y$ के कितने संभावित मान हो सकते हैं?

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर:

• एक संख्या $3$ से विभाज्य होती है यदि उसके अंकों का योग $3$ से विभाज्य हो।

$$\text{Sum} = 3 + 1 + y + 5 = 9 + y$$

• $(9 + y)$ को $3$ का गुणज बनाने के लिए, $y$ कोई भी एकल अंक हो सकता है जैसे कि $y$ का गुणज हो $3$ ($0 \le y \le 9$).
• $y$ के संभावित मान:

$$\mathbf{y = 0, \quad y = 3, \quad y = 6, \quad y = 9}$$

• $y$ के लिए $4$ संभावित मान हैं.

अंकों का योग $= 9 + y$. 3 के गुणज $y = 0, 3, 6, 9$ (4 संभावित मान) होने पर होते हैं।

विभाज्यता परीक्षण का उपयोग करके जांचें कि संख्या $10824$, $11$ से विभाज्य है या नहीं।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर:

• दाएं से बाएं लेबल अंक स्थिति (इकाई स्थिति 1 है):
संख्या: $1 \; 0 \; 8 \; 2 \; 4$
• विषम स्थानों पर अंक (पहला, तीसरा, 5वां): $4, 8, 1$

$$\text{Sum of odd place digits } (S_{\text{odd}}) = 4 + 8 + 1 = 13$$

• सम स्थानों पर अंक (दूसरा, चौथा): $2, 0$

$$\text{Sum of even place digits } (S_{\text{even}}) = 2 + 0 = 2$$

• गणना करें अंतर:

$$\text{Difference} = S_{\text{odd}} - S_{\text{even}} = 13 - 2 = \mathbf{11}$$

• चूंकि अंतर ($11$) $11$ का गुणज है, संख्या $10824$ $11$ से पूर्णतः विभाज्य है।

विषम स्थानों पर योग $= 4+8+1 = 13$। सम स्थानों पर योग $= 2+0 = 2$. अंतर $= 13 - 2 = 11$ (11 से विभाज्य).

क्रिप्टारिथ्म गुणन पहेली को हल करें: $A B \times 3 = C A B$.

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर:

चरण 1: इकाई के स्थान पर, $B \times 3$ $B$ में समाप्त होता है.
$B$ के लिए परीक्षण अंक:
• $0 \times 3 = 0$ (में समाप्त होता है $0 \implies B = 0$)
• $5 \times 3 = 15$ ($5 \implies B = 5$ में समाप्त होता है)
चरण 2: यदि $B = 0$: $A0 \times 3 = CA0$. 10 से विभाजित करें: $A \times 3 = CA$. कोई भी गैर-शून्य एकल अंक इसे संतुष्ट नहीं करता है।
चरण 3: यदि $B = 5$:

$$A5 \times 3 = CA5$$

$5 \times 3 = 15$ ($5$ लिखें, $1$ रखें)।
दस के कॉलम में: $(A \times 3) + 1$ को $A$ में समाप्त होना चाहिए।
परीक्षण अंक $A$ के लिए:
• यदि $A = 2$: $(2 \times 3) + 1 = 7$ ($2$ में समाप्त नहीं होता है).
• यदि $A = 5$: $A$ $B$ के बराबर नहीं हो सकता है.
• यदि $A = 7$: $(7 \times 3) + 1 = 22$ (में समाप्त नहीं होता है) $7$).
• यदि $A = 0$: अग्रणी अंक 0.
नहीं हो सकता, प्रतीक्षा करें, परीक्षण $50 \times 3 = 150$: यहां $A = 5, B = 0, C = 1$! जांचें: $50 \times 3 = 150$ ($AB \times 3 = CAB$).
• अंतिम उत्तर:

$$\mathbf{A = 5, \quad B = 0, \quad C = 1}$$

$50 \times 3 = 150$. यहां $A = 5, B = 0, C = 1$.

बताएं कि एक ही अंक को तीन बार दोहराने से बनी कोई भी 3-अंकीय संख्या (जैसे, $222, 555, 777$) हमेशा $3$ और $37$ दोनों से विभाज्य क्यों होती है।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर:

• माना कि दोहराया गया अंक $a$ ($1 \le a \le 9$) है।
संख्या $aaa = 100a + 10a + a = 111a$ है।
• संख्या का गुणनखंड करें $111$:

$$111 = 3 \times 37$$

$$aaa = 3 \times 37 \times a$$

• चूंकि $3$ और $37$ $111a$ में स्पष्ट अभाज्य गुणनखंड हैं, ऐसी कोई भी संख्या हमेशा होती है $3$ और $37$ दोनों से विभाज्य (उदाहरण के लिए, $777 \div 37 = 21, 777 \div 3 = 259$).

$aaa = 111a = 3 \times 37 \times a$, इसलिए इसमें हमेशा 3 और 37 अभाज्य गुणनखंड होते हैं।

$1$ से संख्याओं का उपयोग करके $4 \times 4$ जादुई वर्ग के लिए जादुई स्थिरांक $M$ की गणना करें $16$.

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर:

जादुई स्थिरांक सूत्र लागू करें: $M = \frac{n(n^2 + 1)}{2}$.
यहां $n = 4$:

$$M = \frac{4(4^2 + 1)}{2} = \frac{4(16 + 1)}{2} = \frac{4(17)}{2} = 2 \times 17 = \mathbf{34}$$

.
$4 \times 4$ जादुई वर्ग में, प्रत्येक पंक्ति, स्तंभ और विकर्ण का योग $34$.

$M = [4(16 + 1)] / 2 = (4 \times 17) / 2 = 34$ होता है।

अध्याय का अध्ययन पूर्ण हुआ?

अभ्यास के लिए तैयार?

ऑनलाइन CBT टेस्ट देकर तैयारी का मूल्यांकन करें

झारखण्ड बोर्ड परीक्षा पैटर्न पर आधारित बहुविकल्पीय प्रश्नों का ऑनलाइन टेस्ट दें। तुरंत परिणाम, समय विश्लेषण और प्रत्येक प्रश्न का विस्तृत हल प्राप्त करें।

फाउंडेशन टेस्ट

15 MCQs • मूल अवधारणाएँ

एडवांस्ड टेस्ट

15 MCQs • HOTS और ट्रैप्स