प्रायिकता (Probability)

नमूना स्थान $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \implies n(S) = 6$ है।

• (ए) अभाज्य संख्या: अभाज्य परिणाम $\{2, 3, 5\}$ हैं ($1$ न तो अभाज्य है और न ही संयुक्त):

$$n(E) = 3 \implies P(\text{Prime}) = \frac{3}{6} = \mathbf{\frac{1}{2}}$$

• (बी) $4$ से बड़ी संख्या: अनुकूल परिणाम $\{5, 6\}$ हैं:

$$n(E) = 2 \implies P(> 4) = \frac{2}{6} = \mathbf{\frac{1}{3}}$$

• (सी) $3$ से विभाज्य: अनुकूल परिणाम हैं $\{3, 6\}$:

$$n(E) = 2 \implies P(\text{Div by 3}) = \frac{2}{6} = \mathbf{\frac{1}{3}}$$

• (डी) संख्या $6$ से बड़ी: किसी भी चेहरे की संख्या नहीं है $> 6$ (असंभव घटना):

$$n(E) = 0 \implies P(> 6) = \frac{0}{6} = \mathbf{0}$$

.

नमूना स्थान $S = \{HH, HT, TH, TT\} \implies n(S) = 4$ है।

• (ए) बिल्कुल एक हेड: परिणाम हैं $\{HT, TH\}$:

$$n(E) = 2 \implies P(\text{Exactly 1 Head}) = \frac{2}{4} = \mathbf{\frac{1}{2}}$$

• (बी) कम से कम एक चित (1 या 2 चित): परिणाम $\{HT, TH, HH\}$:

$$n(E) = 3 \implies P(\text{At least 1 Head}) = \mathbf{\frac{3}{4}}$$

• (सी) अधिकतम एक चित (0 या 1 चित): परिणाम $\{TT, HT, TH\}$:

$$n(E) = 3 \implies P(\text{At most 1 Head}) = \mathbf{\frac{3}{4}}$$

हैं।

कुल परिणाम $n(S) = 52$.

• (ए) रेड फेस कार्ड: 6 रेड फेस कार्ड हैं (किंग, क्वीन, जैक ऑफ हार्ट्स और हीरे):

$$P(\text{Red Face Card}) = \frac{6}{52} = \mathbf{\frac{3}{26}}$$

• (बी) एक इक्का: डेक में 4 इक्के हैं:

$$P(\text{Ace}) = \frac{4}{52} = \mathbf{\frac{1}{13}}$$

• (सी) एक हुकुम: 13 हुकुम कार्ड हैं:

$$P(\text{Spade}) = \frac{13}{52} = \mathbf{\frac{1}{4}}$$

• (डी) एक काली रानी: 2 काली रानियाँ हैं (हुकुम की रानी और क्लबों की रानी):

$$P(\text{Black Queen}) = \frac{2}{52} = \mathbf{\frac{1}{26}}$$

.

चरण 1: बैग में कुल गेंदों की गणना करें:

$$n(S) = 5 + 8 + 4 + 7 = \mathbf{24\text{ balls}}$$

• (ए) काली गेंद: $n(\text{Black}) = 7$:

$$P(\text{Black}) = \mathbf{\frac{7}{24}}$$

• (बी) हरी गेंद नहीं:
विधि 1: गेंदें जो हरी नहीं हैं $= 5 + 8 + 7 = 20$.

$$P(\text{Not Green}) = \frac{20}{24} = \mathbf{\frac{5}{6}}$$

विधि 2: पूरक संभाव्यता का उपयोग करना:

$$P(\text{Green}) = \frac{4}{24} = \frac{1}{6} \implies P(\text{Not Green}) = 1 - \frac{1}{6} = \mathbf{\frac{5}{6}}$$

.

• नहीं, कोई भी मान संभव नहीं है।
• संभाव्यता के मूलभूत सिद्धांतों के अनुसार, किसी भी घटना की संभावना $E$ को अपरिवर्तनीय असमानता को संतुष्ट करना चाहिए:

$$\mathbf{0 \le P(E) \le 1}$$

• एक संभावना कभी भी नकारात्मक नहीं हो सकती क्योंकि अनुकूल परिणामों की गिनती $n(E) \ge 0$.
• एक संभावना कभी भी अधिक नहीं हो सकती $1$ क्योंकि अनुकूल परिणामों की संख्या संभावित परिणामों की कुल संख्या ($n(E) \le n(S)$) से अधिक नहीं हो सकती है।

• सरल (प्राथमिक) घटना: एक घटना जिसमें नमूना स्थान से बिल्कुल एक एकल नमूना बिंदु (परिणाम) होता है।
उदाहरण: एक पासा ($S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$) घुमाने में, संख्या $5$ (घटना $E = \{5\}$) प्राप्त करना एक प्रारंभिक प्रक्रिया है घटना.
• मिश्रित घटना: एक घटना जिसमें दो या दो से अधिक नमूना बिंदु होते हैं.
उदाहरण: पासे पर एक सम संख्या प्राप्त करना (घटना $E = \{2, 4, 6\}$) एक मिश्रित घटना है क्योंकि यह तीन प्रारंभिक परिणामों के संयोजन से बनती है।