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ICSE • कक्षा 8 • Mathematics • अध्याय 9
अनुमानित समय: 45 Mins
प्रगति: अध्ययनरत

लाभ, हानि और छूट (Profit, Loss and Discount)

आईसीएसई कक्षा 8 गणित में, "लाभ, हानि और छूट" वाणिज्यिक लेनदेन, लागत लेखांकन, मार्कअप प्रतिशत, क्रमिक व्यापार छूट और मूल्य वर्धित कर (वैट) / माल और सेवा कर (जीएसटी) की जांच करने वाला एक आधिकारिक, वाणिज्यिक अंकगणित मास्टर अध्ययन गाइड प्रदान करता है। यह व्यापक अध्याय मुख्य वाणिज्यिक अवधारणाओं (लागत मूल्य [सीपी], बिक्री मूल्य [एसपी], प्रभावी/कुल सीपी निर्धारित करने के लिए मूल लागत मूल्य में जोड़े गए ओवरहेड व्यय; $SP > CP$: $\text{Profit} = SP - CP$ होने पर लाभ/लाभ; $CP > SP$: $\text{Loss} = CP - SP$ होने पर हानि), लाभ प्रतिशत और हानि प्रतिशत (प्रभावी लागत मूल्य पर कड़ाई से गणना: $\text{Profit}\% = \frac{\text{Profit}}{CP} \times 100\%$;) की पड़ताल करता है। $\text{Loss}\% = \frac{\text{Loss}}{CP} \times 100\%$; सीपी से एसपी और एसपी से सीपी की गणना के लिए मास्टर सूत्र), अंकित मूल्य (एमपी) और व्यापार छूट (चिह्नित मूल्य / सूची मूल्य / मुद्रित मूल्य; अंकित मूल्य पर दी गई छूट: $\text{Discount} = MP - SP$; $\text{Discount}\% = \frac{\text{Discount}}{MP} \times 100\%$; एमपी से एसपी की गणना: $SP = MP\left(1 - \frac{D}{100}\right)$), क्रमिक छूट ($D_1\%$ और $D_2\%$: $\text{Effective Single Discount} = \left( D_1 + D_2 - \frac{D_1 D_2}{100} \right)\%$), वस्तु एवं सेवा कर / जीएसटी (गणना) अंतिम रियायती बिक्री मूल्य पर सख्ती से: $\text{GST Amount} = \frac{\text{GST}\%}{100} \times SP$; उपभोक्ता द्वारा भुगतान की गई कुल कीमत $= SP + \text{GST}$), बेईमान व्यापारी और गलत वजन की समस्याएं, और 2026-27 सीआईएससीई आईसीएसई पाठ्यक्रम के साथ संरेखित जटिल मल्टी-टियर ट्रेडिंग लेनदेन।

अध्याय CBT ऑनलाइन टेस्ट दें सभी अध्याय देखें
प्रस्तावना अध्याय अवधारणाएँ सूत्र एवं सर्वसमिकाएँ अध्याय सारांश स्व-मूल्यांकन अभ्यास टेस्ट दें

19वीं सदी के लंदन के एक शातिर मसाला व्यापारी ने अपनी माँ की बाइबल की शपथ लेते हुए 25% मुनाफ़ा कैसे कमाया, जिसे वह लागत मूल्य पर बेच रहा था?

विक्टोरियन लंदन में, एक बेईमान व्यापारी ने अपनी मसाले की दुकान के बाहर एक विशाल चिन्ह लटका दिया: "सभी के लिए दान! शुद्ध पिसी हुई दालचीनी बिल्कुल लागत मूल्य पर शून्य लाभ के साथ बेची गई!" भीड़ जमा हो गई। व्यापारी ने एक किलोग्राम दालचीनी तोली, थोक बिल का मिलान किया, और उदारतापूर्वक मुस्कुराया। फिर भी हर शाम, वह अपने पिछले कमरे में ठोस सोने की संप्रभुता के बैग गिनता था! लागत मूल्य पर बेचते हुए वह इतनी संपत्ति कैसे अर्जित कर सका? व्यापारी ने नकली दोषपूर्ण स्केल का उपयोग किया: उसके लोहे के "1 किलोग्राम" काउंटर-वेट का वजन वास्तव में केवल $800\text{ grams}$ था! काउंटर पर प्रत्येक 800 ग्राम दालचीनी सौंपने के लिए, उसने पूरी 1,000 ग्राम लागत कीमत वसूल की! उसका असली लाभ था: $\frac{1000 - 800}{800} \times 100\% = \mathbf{25\%\text{ PROFIT}}$! गणित ने धोखाधड़ी के माध्यम से सही देखा! लाभ या हानि की गणना हमेशा लागत मूल्य पर क्यों की जाती है, जबकि छूट की गणना हमेशा अंकित मूल्य पर की जाती है? आप $20\%, 10\%,$ और $5\%$ की क्रमिक कटौती के लिए एकल समकक्ष छूट की गणना कैसे करते हैं? आइए लाभ, हानि और छूट पर महारत हासिल करें।

यह अध्याय क्यों महत्वपूर्ण है

वाणिज्यिक अंकगणित आधुनिक वाणिज्य का आवश्यक व्यावहारिक कौशल है: खुदरा व्यवसायों का प्रबंधन करना, कॉर्पोरेट ऑपरेटिंग मार्जिन की गणना करना, जीएसटी बिक्री चालान को समझना, त्योहारी ई-कॉमर्स बिक्री छूट का मूल्यांकन करना और घरेलू खर्चों का बजट बनाना। आईसीएसई वाणिज्यिक अंकगणित में शीर्ष अंक प्राप्त करने के लिए इन सूत्र लिंकेज में महारत हासिल करने की आवश्यकता है।

अध्ययन से पूर्व (आवश्यक ज्ञान)

  • अध्याय 8 से प्रतिशत और अंश अंतर-रूपांतरण।
  • बुनियादी बीजीय समीकरण और एक अज्ञात चर $x$ के लिए समाधान।
  • बुनियादी अंकगणितीय संचालन।

इस अध्याय के लक्ष्य

  • लाभ, हानि, लाभ की गणना करें प्रतिशत, और प्रभावी लागत मूल्य पर हानि प्रतिशत।
  • सीपी और लाभ/हानि% दिए गए विक्रय मूल्य (एसपी) की गणना करें, और एसपी दिए गए सीपी की रिवर्स-गणना करें।
  • अंकित मूल्य (एमपी), छूट और छूट प्रतिशत की गणना करें।
  • दो या अधिक लगातार व्यापार के लिए एकल समकक्ष छूट निर्धारित करें छूट।
  • रियायती बिक्री मूल्यों पर माल और सेवा कर (जीएसटी) की गणना करें और अंतिम ग्राहक बिलिंग की गणना करें।
  • मार्कअप, छूट और शुद्ध लाभ से संबंधित जटिल बहु-चरण खुदरा शब्द समस्याओं को हल करें।

अध्याय रूपरेखा एवं प्रगति

1 1। लागत मूल्य, विक्रय मूल्य और ओवरह...
2 2. एसपी और सीपी के लिए मास्टर सूत्र
3 3. अंकित मूल्य एवं व्यापार छूट
4 4. क्रमिक छूट और जीएसटी कराधान

सम्पूर्ण सैद्धांतिक एवं वैचारिक अध्ययन

1। लागत मूल्य, विक्रय मूल्य और ओवरहेड्स

समझें
ए. मौलिक शर्तें:
  • लागत मूल्य (CP): किसी वस्तु का खरीद मूल्य.
  • ओवरहेड शुल्क: परिवहन, माल ढुलाई, मरम्मत, या श्रम पर किए गए अतिरिक्त व्यय। $$\mathbf{\text{Effective (Total) CP} = \text{Basic Cost Price} + \text{Overhead Expenses}}$$
  • विक्रय मूल्य (एसपी): वह मूल्य जिस पर ग्राहक को वस्तु बेची जाती है।
बी. लाभ बनाम हानि:
  • यदि $SP > CP$: $\mathbf{\text{Profit (Gain)} = SP - CP}$ $$\mathbf{\text{Profit \%} = \frac{\text{Profit}}{\text{CP}} \times 100\%}$$
  • यदि $CP > SP$: $\mathbf{\text{Loss} = CP - SP}$ $$\mathbf{\text{Loss \%} = \frac{\text{Loss}}{\text{CP}} \times 100\%}$$
  • *वाणिज्य का स्वर्णिम नियम:* लाभ% और हानि% हमेशा लागत मूल्य (सीपी) पर गणना की जाती है जब तक कि स्पष्ट रूप से अन्यथा न कहा गया हो!

2. एसपी और सीपी के लिए मास्टर सूत्र

मास्टर सूत्र
ए. सीपी दिए जाने पर विक्रय मूल्य (एसपी) ज्ञात करना:
$$\mathbf{SP = \frac{100 + \text{Profit \%}}{100} \times CP} \quad \Big| \quad \mathbf{SP = \frac{100 - \text{Loss \%}}{100} \times CP}$$
बी. एसपी दिए जाने पर लागत मूल्य (सीपी) ज्ञात करना:
$$\mathbf{CP = \frac{100}{100 + \text{Profit \%}} \times SP} \quad \Big| \quad \mathbf{CP = \frac{100}{100 - \text{Loss \%}} \times SP}$$

3. अंकित मूल्य एवं व्यापार छूट

छूट और मार्कअप
ए. अंकित मूल्य (एमपी) और छूट:
  • चिह्नित मूल्य (सूची मूल्य/मुद्रित मूल्य): किसी वस्तु के लेबल पर मुद्रित मूल्य.
  • छूट ($D$): अंकित मूल्य पर विक्रेता द्वारा दी जाने वाली कटौती: $$\mathbf{\text{Discount} = MP - SP} \quad \Big| \quad \mathbf{SP = MP - \text{Discount}}$$
  • *महत्वपूर्ण नियम:* छूट की गणना हमेशा अंकित मूल्य (एमपी) पर की जाती है! $$\mathbf{\text{Discount \%} = \frac{\text{Discount}}{\text{MP}} \times 100\%}$$ $$\mathbf{SP = \frac{100 - \text{Discount \%}}{100} \times MP}$$

4. क्रमिक छूट और जीएसटी कराधान

उन्नत वाणिज्य
ए. क्रमिक छूट के लिए एकल समतुल्य छूट:

यदि अंकित मूल्य पर $D_1\%$ और $D_2\%$ की दो क्रमिक छूटें दी जाती हैं:

$$\mathbf{\text{Single Equivalent Discount} = \left( D_1 + D_2 - \frac{D_1 D_2}{100} \right)\%}$$

उदाहरण: $20\%$ और $10\%$ की दो क्रमिक छूट: $$20 + 10 - \frac{20 \times 10}{100} = 30 - 2 = \mathbf{28\% \text{ (NOT 30%!)}}.$$

बी. वस्तु एवं सेवा कर (जीएसटी):

जीएसटी एक उपभोग कर है जो सरकार द्वारा सभी छूटों को काटने के बाद वास्तविक अंतिम बिक्री मूल्य ($SP$) पर सख्ती से लगाया जाता है:

$$\mathbf{\text{GST Amount} = \frac{\text{GST \%}}{100} \times SP}$$ $$\mathbf{\text{Total Bill Paid by Consumer} = SP + \text{GST Amount}}$$

महत्वपूर्ण सूत्र, सर्वसमिकाएँ एवं प्रमेय

लाभ फॉर्मूला के साथ बिक्री मूल्य
$$SP = \frac{100 + \text{Profit \%}}{100} \times CP$$
सीधे बिक्री मूल्य की गणना करता है।
समतुल्य एकल छूट फॉर्मूला
$$D_{\text{equiv}} = \left( D_1 + D_2 - \frac{D_1 D_2}{100} \right)\%$$
दो लगातार छूट के बराबर एकल छूट।

वाणिज्यिक गणित: मूल्य निर्धारण यात्रा (सीपी से एमपी से एसपी से बिल तक)

Commercial Math: The Pricing Journey from Cost Price to Final Bill COST PRICE (CP) Purchase + Overheads Base of Profit/Loss % +Markup MARKED PRICE (MP) Printed List Price Base of Discount % -Discount SELLING PRICE (SP) Actual Sale Price SP - CP = Profit! +GST FINAL BILL Consumer Price SP + GST Amount GOLDEN RULES OF COMMERCIAL ARITHMETIC • Rule 1: Profit % or Loss % is ALWAYS calculated on COST PRICE (CP)! • Rule 2: Discount % is ALWAYS calculated on MARKED PRICE (MP)! • Rule 3: GST is ALWAYS calculated on the final discounted SELLING PRICE (SP)! • Rule 4: Successive Discounts D1 & D2 ⇒ Single Equivalent D = D1 + D2 - (D1×D2)/100 PROFIT% ON CP • DISCOUNT% ON MP • GST ON SP • EQUIVALENT DISCOUNT = D1 + D2 - D1*D2/100

अध्याय का सार संक्षेप एवं 10 मुख्य निष्कर्ष

मुख्य बिंदु 1
कुल लागत मूल्य (सीपी) में खरीद मूल्य और सभी परिवहन और मरम्मत ओवरहेड्स शामिल हैं।
मुख्य बिंदु 2
लाभ = एसपी - सीपी (जब एसपी > सीपी); हानि = सीपी - एसपी (जब सीपी > एसपी)।
मुख्य बिंदु 3
लाभ% और हानि% की गणना लागत मूल्य पर सख्ती से की जाती है: (लाभ/सीपी) * 100%।
मुख्य बिंदु 4
एसपी के लिए फॉर्मूला: एसपी = [(100 + लाभ%) / 100] * सीपी या [(100 - हानि%) / 100] * CP.
मुख्य बिंदु 5
CP के लिए फॉर्मूला: CP = [100 / (100 + लाभ%)] * SP या [100 / (100 - हानि%)] * SP.
मुख्य बिंदु 6
अंकित मूल्य (MP) सूची मूल्य है; छूट = MP - SP.
मुख्य बिंदु 7
छूट प्रतिशत की गणना अंकित मूल्य पर सख्ती से की जाती है: (छूट / MP) * 100%।
मुख्य बिंदु 8
छूट के बाद बिक्री मूल्य: SP = [(100 - छूट%) / 100] * MP.
मुख्य बिंदु 9
क्रमिक छूट D1% और D2% समान एकल छूट D = D1 + D2 - (D1*D2)/100 %.
मुख्य बिंदु 10
वस्तु एवं सेवा कर (GST) की गणना रियायती विक्रय मूल्य (SP) पर सख्ती से की जाती है।

स्व-मूल्यांकन अभ्यास (Check Your Understanding)

मूल वैचारिक स्पष्टता की जांच के लिए नैदानिक प्रश्न। पहले स्वयं हल करें, फिर उत्तर देखें।

1
एक व्यापारी $\text{Rs. } 1,200$ में एक वस्तु खरीदता है और उसके परिवहन पर $\text{Rs. } 300$ खर्च करता है। वह इसे $\text{Rs. } 1,800$ में बेचता है। उसका लाभ प्रतिशत ज्ञात करें।
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर: चरण 1: प्रभावी कुल लागत मूल्य की गणना करें:
$$\text{Effective CP} = \text{Basic CP} + \text{Overhead Expenses} = 1200 + 300 = \mathbf{\text{Rs. } 1,500}$$
चरण 2: विक्रय मूल्य $SP = \text{Rs. } 1,800$। $SP > CP$ के बाद से, एक लाभ है:
$$\text{Profit} = SP - CP = 1800 - 1500 = \text{Rs. } 300$$
चरण 3: लाभ प्रतिशत की गणना करें (प्रभावी सीपी पर):
$$\text{Profit \%} = \frac{\text{Profit}}{\text{Effective CP}} \times 100\% = \frac{300}{1500} \times 100\% = \frac{1}{5} \times 100\% = \mathbf{20\%}$$.
प्रभावी सीपी $= 1200 + 300 = 1500$। लाभ $= 1800 - 1500 = 300$. लाभ% $= (300 / 1500) \times 100 = 20\%$.
2
एक घड़ी को $\text{Rs. } 1,440$ में बेचने पर, एक दुकानदार को $10\%$ का नुकसान होता है। $15\%$ हासिल करने के लिए उसे इसे किस कीमत पर बेचना चाहिए?
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर: चरण 1: पहली शर्त से लागत मूल्य (CP) ज्ञात करें:
दिए गए $SP = \text{Rs. } 1,440$ और $\text{Loss} = 10\%$:
$$CP = \frac{100}{100 - \text{Loss \%}} \times SP = \frac{100}{100 - 10} \times 1440 = \frac{100}{90} \times 1440$$
$$CP = 100 \times 16 = \mathbf{\text{Rs. } 1,600}$$
चरण 2: $15\%$ का लाभ प्राप्त करने के लिए नए SP की गणना करें $CP = 1600$:
$$\text{New } SP = \frac{100 + \text{Profit \%}}{100} \times CP = \frac{100 + 15}{100} \times 1600 = \frac{115}{100} \times 1600$$
$$\text{New } SP = 115 \times 16 = \mathbf{\text{Rs. } 1,840}$$.
पहले $CP = (1440 \times 100) / 90 = 1600$ खोजें। फिर नया $SP = 1600 \times 1.15 = \text{Rs. } 1,840$.
3
$20\%$ और $10\%$ की दो क्रमिक छूटों के बराबर एकल छूट ढूंढें।
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर: क्रमिक छूट फॉर्मूला लागू करें:
$$\text{Single Equivalent Discount} = \left( D_1 + D_2 - \frac{D_1 D_2}{100} \right)\%$$
यहां $D_1 = 20\%$ और $D_2 = 10\%$:
$$= \left( 20 + 10 - \frac{20 \times 10}{100} \right)\% = \left( 30 - \frac{200}{100} \right)\% = 30 - 2 = \mathbf{28\%}$$.
*(ध्यान दें कि यह है $28\%$, $30\%!$ नहीं)*.
$20 + 10 - (20 \times 10)/100 = 30 - 2 = 28\%$.
4
एक व्यापारी अपने माल पर लागत मूल्य से $40\%$ अधिक अंकित करता है और अंकित मूल्य पर $25\%$ की छूट देता है। उसका शुद्ध लाभ या हानि प्रतिशत ज्ञात करें।
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर: मान लें कि लागत मूल्य (CP) $\text{Rs. } 100$ है।
चरण 1: अंकित मूल्य की गणना करें (CP पर $40\%$ मार्कअप):
$$MP = 100 + 40 = \text{Rs. } 140$$
चरण 2: विक्रय मूल्य की गणना करें ($25\%$ पर छूट) एमपी):
$$\text{Discount} = 25\% \text{ of } 140 = \frac{25}{100} \times 140 = \text{Rs. } 35$$
$$SP = MP - \text{Discount} = 140 - 35 = \text{Rs. } 105$$
चरण 3: एसपी और सीपी की तुलना करें:
चूंकि $SP (105) > CP (100)$, एक लाभ है:
$$\text{Profit} = 105 - 100 = \text{Rs. } 5$$
$$\mathbf{\text{Profit \%} = 5\%}$$.
मान लीजिए $CP = 100 \implies MP = 140$। $25\%$ छूट $SP = 140 \times 0.75 = 105$ देती है। लाभ $5\%$ है।
5
एक रेफ्रिजरेटर का अंकित मूल्य $\text{Rs. } 28,000$ है। दुकानदार $10\%$ की छूट प्रदान करता है। यदि बिक्री मूल्य पर $18\%$ का जीएसटी लगाया जाता है, तो उपभोक्ता द्वारा भुगतान की जाने वाली कुल राशि की गणना करें।
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर: दिया गया: अंकित मूल्य $MP = \text{Rs. } 28,000$, छूट $= 10\%$, जीएसटी $= 18\%$.
चरण 1: छूट के बाद विक्रय मूल्य की गणना करें:
$$\text{Discount Amount} = 10\% \text{ of } 28,000 = \text{Rs. } 2,800$$
$$SP = 28,000 - 2,800 = \mathbf{\text{Rs. } 25,200}$$
चरण 2: विक्रय मूल्य पर जीएसटी की गणना करें:
$$\text{GST Amount} = 18\% \text{ of } 25,200 = \frac{18}{100} \times 25,200 = 18 \times 252 = \mathbf{\text{Rs. } 4,536}$$
चरण 3: भुगतान की गई अंतिम राशि की गणना करें उपभोक्ता द्वारा:
$$\text{Total Bill} = SP + \text{GST} = 25,200 + 4,536 = \mathbf{\text{Rs. } 29,736}$$.
छूट $SP = 28000 \times 0.90 = 25200$. अंतिम बिल प्राप्त करने के लिए $18\%$ जीएसटी ($4536$) जोड़ें: $\text{Rs. } 29,736$.
6
एक बेईमान डीलर अपने माल को लागत मूल्य पर बेचने का दावा करता है, लेकिन $1\text{ kilogram}$ वजन के लिए $950\text{ grams}$ के गलत वजन का उपयोग करता है। उसका लाभ प्रतिशत ज्ञात करें।
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर: • सही मान $= 1\text{ kg} = 1000\text{ grams}$.
• इस्तेमाल किया गया गलत वजन $= 950\text{ grams}$.
• त्रुटि/धोखाधड़ी मात्रा $= 1000 - 950 = 50\text{ grams}$.
• गलत वजन लाभ फॉर्मूला लागू करें:
$$\text{Gain \%} = \frac{\text{Error}}{\text{True Value} - \text{Error}} \times 100\% = \frac{\text{Error}}{\text{False Weight}} \times 100\%$$
$$\text{Gain \%} = \frac{50}{950} \times 100\% = \frac{5}{95} \times 100\% = \frac{1}{19} \times 100\% = \mathbf{5 \frac{5}{19}\% \approx 5.26\%}$$.
लाभ% $= (\text{Error} / \text{False Weight}) \times 100\% = (50 / 950) \times 100\% = 5\frac{5}{19}\%$.
7
एक वस्तु $15\%$ के नुकसान पर $\text{Rs. } 680$ में बेची जाती है। इसका लागत मूल्य ज्ञात करें।
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर: दिया गया: $SP = \text{Rs. } 680$, $\text{Loss} = 15\%$.
सूत्र लागू करें:
$$CP = \frac{100}{100 - \text{Loss \%}} \times SP = \frac{100}{100 - 15} \times 680 = \frac{100}{85} \times 680$$
ध्यान दें कि $680 \div 85 = 8$:
$$CP = 100 \times 8 = \mathbf{\text{Rs. } 800}$$.
$CP = (680 \times 100) / 85 = \text{Rs. } 800$.
8
छूट की गणना हमेशा अंकित मूल्य पर क्यों की जाती है, लागत पर कभी नहीं कीमत?
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर: • लागत मूल्य (सीपी) एक निजी, गोपनीय आंकड़ा है जो केवल व्यापारी को ज्ञात होता है जो उनके विनिर्माण या खरीद व्यय का प्रतिनिधित्व करता है।
अंकित मूल्य खरीदार द्वारा देखा जाने वाला सार्वजनिक मूल्य टैग है; लागत मूल्य विक्रेता के लिए निजी है।
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