समुच्चय (Sets)

ए. सेट क्या है?

A Set विभिन्न वस्तुओं का एक अच्छी तरह से परिभाषित संग्रह है। "अच्छी तरह से परिभाषित" का अर्थ है कि एक स्पष्ट नियम है जो यह निर्धारित करता है कि कोई दी गई वस्तु संग्रह से संबंधित है या नहीं:

• मान्य सेट: "अंग्रेजी वर्णमाला में स्वर" $\to \{a, e, i, o, u\}$ (सार्वभौमिक समझौता).
• एक सेट नहीं: "भारत में ईमानदार लोगों का संग्रह" (अस्पष्ट और व्यक्तिपरक; "ईमानदार" की कोई सार्वभौमिक परिभाषा नहीं)।

बी. प्रतिनिधित्व के दो रूप:

1. रोस्टर / सारणीबद्ध प्रपत्र: तत्वों को स्पष्ट रूप से घुंघराले कोष्ठक के अंदर अल्पविराम द्वारा अलग किया गया है $\{ \}$: $$V = \{a, e, i, o, u\}$$ *(क्रम मायने नहीं रखता, और तत्व कभी दोहराए नहीं जाते: $\{1, 2, 2, 3\} = \{1, 2, 3\}$)*.
2. सेट-बिल्डर / नियम प्रपत्र: सभी तत्वों द्वारा साझा की गई एक सामान्य विशेषता संपत्ति $P(x)$ बताई गई है: $$A = \{x : x \in \mathbb{N} \text{ and } 3 < x \le 8\} = \{4, 5, 6, 7, 8\}$$

ए. सेट के प्रकार:

• खाली / शून्य सेट ($\emptyset$ या $\{ \}$): इसमें शून्य तत्व ($n(\emptyset) = 0$) हैं। *(नोट: $\{0\}$ खाली नहीं है; यह एक सिंगलटन है जिसमें संख्या 0 है!)*.
• सिंगलटन सेट: इसमें बिल्कुल एक तत्व शामिल है (जैसे, $\{7\}$).
• कार्डिनल संख्या $n(A)$: एक परिमित सेट में अलग-अलग तत्वों की गिनती $A$.
• समान समुच्चय ($A = B$): बिल्कुल वही तत्व।
• समतुल्य सेट ($A \approx B$): तत्वों की समान संख्या: $n(A) = n(B)$.

बी. सबसेट और पावर सेट:

• सबसेट ($A \subseteq B$): $A$ का प्रत्येक तत्व $B$ का एक तत्व भी है.
• खाली सेट $\emptyset$ प्रत्येक सेट का एक उपसमुच्चय है: $\emptyset \subseteq A$.
• प्रत्येक समुच्चय स्वयं का एक उपसमुच्चय है: $A \subseteq A$.
• उपसमुच्चय की संख्या: $n$ तत्वों वाले एक सेट में सख्ती से $2^n$ उपसमुच्चय और $2^n - 1$ उचित उपसमुच्चय होते हैं।
• पावर सेट $P(A)$: $A$ के सभी सबसेट का सेट। यदि $A = \{1, 2\}$, तो: $$P(A) = \{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\}\} \quad [n(P(A)) = 2^2 = 4]$$

1. संघ ($A \cup B$): $A$, या $B$, या दोनों से संबंधित तत्वों का सेट: $$A \cup B = \{x : x \in A \lor x \in B\}$$
2. इंटरसेक्शन ($A \cap B$): $A$ और $B$ दोनों के लिए सामान्य तत्वों का सेट: $$A \cap B = \{x : x \in A \land x \in B\}$$ *(यदि $A \cap B = \emptyset$, तो सेट को डिसजॉइंट सेट कहा जाता है)*.
3. अंतर ($A - B$): तत्व $A$ से संबंधित हैं लेकिन $B$ से संबंधित नहीं हैं: $$A - B = \{x : x \in A \land x \notin B\}$$
4. एक सेट का पूरक ($A'$ या $A^c$): यूनिवर्सल सेट $U$ के तत्व जो $A$ से संबंधित नहीं हैं: $$\mathbf{A' = U - A = \{x \in U : x \notin A\}}$$

डी मॉर्गन के नियम:

एक वेन आरेख में, यूनिवर्सल सेट $U$ को एक बड़े बाहरी आयत द्वारा दर्शाया गया है, और उपसमुच्चय को इसके भीतर प्रतिच्छेदी या असंयुक्त वृत्त के रूप में खींचा गया है।

दो सेटों के लिए मौलिक कार्डिनैलिटी फॉर्मूला:

पुनर्व्यवस्था: $n(A \cap B) = n(A) + n(B) - n(A \cup B)$.

• तत्व केवल $A$ में: $n(A - B) = n(A) - n(A \cap B)$.
• तत्व केवल $B$ में: $n(B - A) = n(B) - n(A \cap B)$.
• कुल तत्व: $n(A \cup B) = n(A - B) + n(B - A) + n(A \cap B)$.