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ICSE • कक्षा 8 • Mathematics • अध्याय 4
अनुमानित समय: 45 Mins
प्रगति: अध्ययनरत

वर्ग और वर्गमूल (Squares and Square Roots)

आईसीएसई कक्षा 8 गणित में, "वर्ग और वर्गमूल" एक आधिकारिक, गणितीय रूप से कठोर मास्टर अध्ययन मार्गदर्शिका प्रदान करता है जो पूर्ण वर्गों, वर्ग संख्याओं के गुणों, वर्गमूल निकालने के तरीकों और पायथागॉरियन त्रिक की जांच करता है। यह व्यापक अध्याय पूर्ण वर्गों के गुणों की खोज करता है (परिभाषा: $m \in \mathbb{Z}$ के लिए $n = m^2$; अंतिम अंक नियम: $2, 3, 7,$ या $8$ में समाप्त होने वाली संख्याएं कभी भी पूर्ण वर्ग नहीं हो सकती हैं; शून्य की विषम संख्या में समाप्त होने वाली संख्याएं कभी भी पूर्ण वर्ग नहीं होती हैं; सम संख्याओं के वर्ग हमेशा सम होते हैं; विषम संख्याओं के वर्ग हमेशा विषम होते हैं; पहली $n$ विषम प्राकृतिक संख्याओं का योग: $1 + 3 + 5 + \dots + (2n - 1) = n^2$; की संख्या $n^2$ और $(n + 1)^2$ के बीच गैर-पूर्ण वर्ग संख्याएं सख्ती से $2n$ हैं), पायथागॉरियन त्रिक (फॉर्म: $2m, m^2 - 1, m^2 + 1$ संतोषजनक $(2m)^2 + (m^2 - 1)^2 = (m^2 + 1)^2$), वर्गमूल खोजने की विधियां: 1. लगातार विषम संख्याओं का बार-बार घटाव, 2. अभाज्य गुणनखंडन विधि (समान अभाज्य कारकों को जोड़ना: $\sqrt{a^2 b^2} = ab$), 3. दीर्घ विभाजन विधि (दाएं से अंकों को जोड़ना) बाएं, भागफल दोहरीकरण एल्गोरिथ्म; बड़े पूर्णांकों और दशमलवों के लिए अपरिहार्य), दशमलव और भिन्न के वर्गमूल (पूर्ण भाग को बाईं ओर और भिन्नात्मक भाग को दाईं ओर जोड़ना), किसी संख्या को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए जोड़ी या घटाई जाने वाली सबसे छोटी संख्या का पता लगाना, और वर्गमूल पर शब्द समस्याएं 2026-27 सीआईएससीई आईसीएसई पाठ्यक्रम के साथ संरेखित।

अध्याय CBT ऑनलाइन टेस्ट दें सभी अध्याय देखें
प्रस्तावना अध्याय अवधारणाएँ सूत्र एवं सर्वसमिकाएँ अध्याय सारांश स्व-मूल्यांकन अभ्यास टेस्ट दें

628 ई. में एक भारतीय गणित प्रतिभा ने रेत में केवल दो छड़ियों का उपयोग करके सेकंडों में 20 अंकों की विशाल संख्या के सटीक वर्गमूल की गणना कैसे की?

628 ई. में राजस्थान में, महान भारतीय खगोलशास्त्री ब्रह्मगुप्त भीनमाल के लाल बलुआ पत्थर के प्रांगण में बैठे थे। जब यूरोप में विद्वान दोहरे अंकों वाले रोमन अंकों को गुणा करने के लिए संघर्ष कर रहे थे, ब्रह्मगुप्त ने वर्गमूलों के लिए लांग डिवीजन एल्गोरिदम विकसित किया! उन्होंने महसूस किया कि वर्गमूल का प्रत्येक अंक वर्ग के दो अंकों ($10^2 = 100, 100^2 = 10,000$) को नियंत्रित करता है, जिसका अर्थ है कि अंकों को दाएँ से बाएँ जोड़ियों में समूहीकृत किया जाना चाहिए! यदि आप 2, 3, 7, या 8 अंकों पर समाप्त होने वाली किसी भी संख्या को देखें, तो क्या वह कभी एक पूर्ण वर्ग हो सकती है? गणित का उत्तर पूर्ण, अटूट नहीं के साथ होता है! पहली दस विषम संख्याओं ($1 + 3 + 5 + \dots + 19$) को जोड़ने पर तुरंत $10^2 = 100$ क्यों बराबर हो जाता है? आप वह न्यूनतम संख्या कैसे ज्ञात करेंगे जिसे एक पूर्ण वर्ग बनाने के लिए 5,607 में जोड़ा जाना चाहिए? आइए वर्गों और वर्गमूलों में महारत हासिल करें।

यह अध्याय क्यों महत्वपूर्ण है

ज्यामिति (पायथागॉरियन प्रमेय, विकर्ण, वृत्त क्षेत्र), भौतिकी (गतिज ऊर्जा वेग $v = \sqrt{2K/m}$, पेंडुलम अवधि $T = 2\pi\sqrt{l/g}$), नागरिक वास्तुकला नींव सर्वेक्षण और सांख्यिकीय मानक विचलन में वर्गमूल आवश्यक हैं। अभाज्य गुणनखंडन और दीर्घ विभाजन वर्गमूलों में महारत हासिल करना ICSE गणित का एक आवश्यक मील का पत्थर है।

अध्ययन से पूर्व (आवश्यक ज्ञान)

  • 20 तक गुणन सारणी।
  • विभाजन वृक्ष का उपयोग करके अभाज्य गुणनखंडन।
  • बुनियादी दशमलव संक्रियाएँ।

इस अध्याय के लक्ष्य

  • इकाई अंकों और शून्य गणनाओं का निरीक्षण करके पूर्ण वर्गों की पहचान करें।
  • वर्ग संख्याओं (योग) के गुणों को लागू करें विषम संख्याएँ, लगातार वर्गों के बीच की संख्याएँ)।
  • बीजीय टेम्पलेट $(2m, m^2 - 1, m^2 + 1)$ का उपयोग करके पायथागॉरियन त्रिक उत्पन्न करें।
  • प्रधान गुणनखंडन और बार-बार घटाव का उपयोग करके वर्गमूलों की गणना करें।
  • दीर्घ विभाजन एल्गोरिथ्म का उपयोग करके बड़े बहु-अंकीय पूर्णांक और दशमलव के वर्गमूल निकालें।
  • कम से कम शामिल शब्द समस्याओं को हल करें पूर्ण वर्ग प्राप्त करने के लिए संख्याओं को जोड़ा या घटाया जाना चाहिए।

अध्याय रूपरेखा एवं प्रगति

1 1. पूर्ण वर्गों के गुण
2 2. पायथागॉरियन त्रिक
3 3. वर्गमूल ज्ञात करने की विधियाँ
4 4. कम से कम संख्या जोड़ने या घटाने...

सम्पूर्ण सैद्धांतिक एवं वैचारिक अध्ययन

1. पूर्ण वर्गों के गुण

समझें
ए. इकाई अंक नियम:

एक प्राकृत संख्या एक पूर्ण वर्ग होती है यदि वह किसी प्राकृत संख्या ($n = m^2$) का वर्ग हो:

  • किसी भी संख्या का वर्ग केवल $0, 1, 4, 5, 6,$ या $9$ अंकों में ही समाप्त हो सकता है।
  • $$\mathbf{\text{A number ending in } 2, 3, 7, \text{ or } 8 \text{ can NEVER be a perfect square!}}$$
  • शून्य की विषम संख्या (उदाहरण के लिए, $1000, 500000$) पर समाप्त होने वाली संख्या कभी भी पूर्ण वर्ग नहीं होती है। (एक वर्ग में टर्मिनल शून्य की सम संख्या होनी चाहिए: $100, 10000$).
बी. प्रमुख गणितीय पैटर्न:
  1. लगातार विषम संख्याओं का योग: पहली $n$ विषम प्राकृतिक संख्याओं का योग सख्ती से $n^2$ के बराबर है: $$1 + 3 + 5 + \dots + (2n - 1) = \mathbf{n^2}$$ उदाहरण: $1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 5^2 = \mathbf{25}$.
  2. लगातार वर्गों के बीच गैर-वर्ग संख्याएँ: $n^2$ और $(n + 1)^2$ के बीच, बिल्कुल $2n$ गैर-पूर्ण वर्ग संख्याएँ होती हैं: उदाहरण: $12^2 = 144$ और $13^2 = 169$ के बीच, $2(12) = \mathbf{24\text{ non-square numbers}}$.
    3. हैं

2. पायथागॉरियन त्रिक

पाइथागोरस त्रिक

तीन प्राकृतिक संख्याएँ $(a, b, c)$ एक पाइथागोरस त्रिक का निर्माण करती हैं यदि वे पाइथागोरस के प्रमेय को संतुष्ट करते हैं: $a^2 + b^2 = c^2$.

सामान्य बीजगणितीय प्रपत्र (किसी भी पूर्णांक $m > 1$ के लिए):
$$\mathbf{2m, \quad m^2 - 1, \quad m^2 + 1}$$ $$\text{Verification: } (2m)^2 + (m^2 - 1)^2 = 4m^2 + m^4 - 2m^2 + 1 = m^4 + 2m^2 + 1 = (m^2 + 1)^2$$

उदाहरण: एक पायथागॉरियन त्रिक खोजें जिसका सबसे छोटा सदस्य 6:

है
  • सेट $2m = 6 \implies m = 3$.
  • $m^2 - 1 = 3^2 - 1 = 9 - 1 = \mathbf{8}$.
  • $m^2 + 1 = 3^2 + 1 = 9 + 1 = \mathbf{10}$.
  • त्रिक $(6, 8, 10)$ है। (जांचें: $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$).

3. वर्गमूल ज्ञात करने की विधियाँ

वर्गमूल निष्कर्षण
विधि 1: अभाज्य गुणनखंडन:

संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में हल करें, समान गुणनखंडों को जोड़ें, और प्रत्येक जोड़े से एक गुणनखंड लें:
$\sqrt{1764} = \sqrt{(2 \times 2) \times (3 \times 3) \times (7 \times 7)} = 2 \times 3 \times 7 = \mathbf{42}$.

विधि 2: दीर्घ विभाजन विधि (बड़ी संख्या और दशमलव के लिए):
  1. इकाई के अंक (दाएं से बाएं) से शुरू करके अंकों के जोड़े पर बार लगाएं। दशमलव के लिए, पूर्णांक भाग के लिए दशमलव बिंदु से बाईं ओर और दशमलव भाग के लिए दाईं ओर जोड़ी बनाएं।
  2. वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करें जिसका वर्ग सबसे बाईं जोड़ी से कम या उसके बराबर हो।
  3. अंकों के अगले जोड़े को घटाएँ और नीचे लाएँ।
  4. नया परीक्षण भाजक बनाने के लिए भागफल को दोगुना करें, अगला मिलान अंक ढूंढें, और दोहराएं!

4. कम से कम संख्या जोड़ने या घटाने की समस्याएँ

अनुकूलन
ए. घटाई जाने वाली न्यूनतम संख्या ज्ञात करना:
  1. दी गई संख्या का वर्गमूल ज्ञात करने के लिए दीर्घ विभाजन विधि लागू करें।
  2. लंबे विभाजन के अंत में प्राप्त शेष वह सटीक न्यूनतम संख्या है जिसे घटाया जाना चाहिए!
बी. जोड़ी जाने वाली न्यूनतम संख्या ज्ञात करना:
  1. पूर्णांक मूल $k$ ज्ञात करने के लिए दीर्घ विभाजन लागू करें। संख्या $k^2$ और $(k + 1)^2$.
    2. के बीच है
  2. अगले पूर्णांक का वर्ग करें: $(k + 1)^2$.
  3. जोड़ने के लिए आवश्यक न्यूनतम संख्या है: $$\mathbf{\text{Least Number Added} = (k + 1)^2 - \text{Given Number}}$$

महत्वपूर्ण सूत्र, सर्वसमिकाएँ एवं प्रमेय

पायथागॉरियन त्रिक प्रपत्र
$$2m, \quad m^2 - 1, \quad m^2 + 1 \quad (m > 1)$$
संतुष्ट करता है (2m)^2 + (m^2 - 1)^2 = (m^2 + 1)^2.
पहले n विषम संख्याओं का योग
$$\sum_{i=1}^{n} (2i - 1) = n^2$$
लगातार विषम पूर्णांक योगों के लिए सीधी पहचान।

अंकगणित: पूर्ण वर्ग इकाई अंक और दीर्घ विभाजन युग्म

Squares & Square Roots: Properties, Triplets & Division PROPERTIES OF PERFECT SQUARES • The Impossible Unit Digits: Numbers ending in 2, 3, 7, 8 NEVER square! Squares only end in: 0, 1, 4, 5, 6, 9 • Sum of n Odd Numbers = n2 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 52 = 25 • Non-squares between n2 & (n+1)2 = 2n Between 122 (144) & 132 (169): 2(12) = 24 • Pythagorean Triplet: 2m, m2-1, m2+1 Example: m=3 ⇒ (6, 8, 10) LONG DIVISION METHOD ALGORITHM 1. Pair digits in TWOS from right to left: 17 64 → Pair 64 and Pair 17 2. Long Division Extraction: Largest square ≤ 17 is 42 = 16 (Rem 1) Bring down 64 → 164 Double quotient: 4 × 2 = 8 → Trial divisor 82 × 2 = 164 √1764 = 42 3. Least Number to be Subtracted = Remainder 4. Least Number Added = (k+1)2 - Number 2, 3, 7, 8 CANNOT BE SQUARES • PAIR DIGITS FROM RIGHT • SUBTRACT REMAINDER FOR PERFECT SQUARE

अध्याय का सार संक्षेप एवं 10 मुख्य निष्कर्ष

मुख्य बिंदु 1
एक पूर्ण वर्ग एक पूर्णांक (n = m^2) का वर्ग होता है।
मुख्य बिंदु 2
2, 3, 7, या 8 पर समाप्त होने वाली संख्याएँ कभी भी पूर्ण वर्ग नहीं होती हैं।
मुख्य बिंदु 3
विषम संख्या में शून्य पर समाप्त होने वाली संख्याएँ पूर्ण वर्ग नहीं हो सकती हैं।
मुख्य बिंदु 4
पहली n लगातार विषम संख्याओं का योग बराबर होता है n^2.
मुख्य बिंदु 5
n^2 और (n+1)^2 के बीच बिल्कुल 2n गैर-पूर्ण वर्ग संख्याएं हैं।
मुख्य बिंदु 6
पाइथागोरस त्रिक बीजगणितीय रूप का पालन करते हैं: किसी भी पूर्णांक m > 1 के लिए 2m, m^2 - 1, m^2 + 1।
मुख्य बिंदु 7
वर्गमूलों को अभाज्य गुणनखंडन (कारकों को जोड़ना) या लंबे विभाजन द्वारा निकाला जा सकता है।
मुख्य बिंदु 8
दीर्घ विभाजन विधि अंकों को दाएं से बाएं (और दशमलव भिन्नों के लिए बाएं से दाएं) जोड़ती है।
मुख्य बिंदु 9
किसी संख्या को एक पूर्ण वर्ग बनाने के लिए, घटाई जाने वाली सबसे कम संख्या दीर्घ विभाजन शेषफल है।
मुख्य बिंदु 10
जोड़ी जाने वाली सबसे कम संख्या है (k + 1)^2 - संख्या, जहां k है पूर्णांक मूल भागफल.

स्व-मूल्यांकन अभ्यास (Check Your Understanding)

मूल वैचारिक स्पष्टता की जांच के लिए नैदानिक प्रश्न। पहले स्वयं हल करें, फिर उत्तर देखें।

1
दीर्घ विभाजन विधि का उपयोग करके $5929$ का वर्गमूल ज्ञात करें।
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर:

चरण 1: अंकों को दाएं से बाएं जोड़ें: $\overline{59} \; \overline{29}$.
चरण 2: $59$ से कम या उसके बराबर सबसे बड़ा वर्ग $7^2 = 49$ है। भागफल $= 7$, शेष $= 59 - 49 = 10$.
चरण 3: नया लाभांश बनाने के लिए अगली जोड़ी $29$ को नीचे लाएँ: $1029$.
चरण 4: परीक्षण विभाजक बनाने के लिए भागफल $7 \times 2 = 14$ को दोगुना करें $14\_$.
चरण 5: इकाई अंक का परीक्षण करें: $147 \times 7 = 1029$.
चरण 6: $1029 - 1029 = 0$.
• घटाएं अंतिम उत्तर:

$$\mathbf{\sqrt{5929} = 77}$$

.


59 और 29 के रूप में जोड़े। वर्गमूल 77 है।
2
वह न्यूनतम संख्या ज्ञात कीजिए जिसे $7581$ से घटाया जाना चाहिए ताकि शेषफल एक पूर्ण वर्ग हो। परिणामी पूर्ण वर्ग का वर्गमूल भी ज्ञात कीजिए।
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर:

चरण 1: $7581$ पर लंबा विभाजन करें ($\overline{75} \; \overline{81}$ के रूप में जोड़ा गया):
• $8^2 = 64$। शेष $= 75 - 64 = 11$.
• $1181$.
प्राप्त करने के लिए $81$ को नीचे लाएं। डबल भागफल: $8 \times 2 = 16$। परीक्षण भाजक: $167 \times 7 = 1169$.
• शेष $= 1181 - 1169 = \mathbf{12}$.
चरण 2: घटाई जाने वाली न्यूनतम संख्या शेषफल है: $12$.
चरण 3: पूर्ण की गणना करें वर्ग:

$$7581 - 12 = 7569$$


$$\mathbf{\sqrt{7569} = 87}$$

.


लंबा विभाजन भागफल 87 देता है और शेषफल 12 रहता है। $7569$ प्राप्त करने के लिए 12 घटाएं, जिसका वर्गमूल 87 है।
3
वह न्यूनतम संख्या ज्ञात करें जिसे पूर्ण वर्ग बनाने के लिए $6412$ में जोड़ा जाना चाहिए। पूर्ण वर्ग का वर्गमूल भी ज्ञात करें।
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर:

चरण 1: लंबे विभाजन द्वारा $6412$ का वर्गमूल ज्ञात करें ($\overline{64} \; \overline{12}$ के रूप में जोड़ा गया):
• $8^2 = 64$। शेष $= 0$.
• नीचे लाएं $12$. भाजक $160 \times 0 = 0$ है. शेष $= 12$.
• पूर्णांक मूल $80$ है, जिसका अर्थ है $80^2 < 6412 < 81^2$.
चरण 2: अगले पूर्णांक के वर्ग की गणना करें $(80 + 1) = 81$:

$$81^2 = 81 \times 81 = 6561$$


चरण 3: होने वाली न्यूनतम संख्या की गणना करें जोड़ा गया:

$$\text{Least Number Added} = 6561 - 6412 = \mathbf{149}$$


• परिणामी पूर्ण वर्ग $6561$ है, और $\sqrt{6561} = 81$.


$80^2 = 6400 < 6412$। अगला वर्ग $81^2 = 6561$ है. घटाएँ: $6561 - 6412 = 149$.
4
एक पायथागॉरियन त्रिक लिखें जिसका सबसे छोटा सदस्य $14$ है।
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर:

पायथागॉरियन त्रिक का सामान्य रूप $(2m, m^2 - 1, m^2 + 1)$ है।
चरण 1: सबसे छोटा सदस्य सेट करें $2m = 14$:

$$m = \frac{14}{2} = 7$$


चरण 2: अन्य दो सदस्यों को ढूंढें:

$$m^2 - 1 = 7^2 - 1 = 49 - 1 = \mathbf{48}$$


$$m^2 + 1 = 7^2 + 1 = 49 + 1 = \mathbf{50}$$


• सत्यापन: $14^2 + 48^2 = 196 + 2304 = 2500 = 50^2$। सही!
• आवश्यक पायथागॉरियन त्रिक $(14, 48, 50)$ है।


Set $2m = 14 \implies m = 7$। अन्य दो पद $7^2 - 1 = 48$ और $7^2 + 1 = 50$ हैं।
5
दशमलव के वर्गमूल का मूल्यांकन करें: $\sqrt{42.25}$.
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर:

चरण 1: युग्म अंक: अभिन्न भाग $\overline{42}$, दशमलव भाग $\overline{25}$.
चरण 2: $42$ पर लंबा विभाजन $6^2 = 36$ देता है (भागफल $= 6$, शेष $= 42 - 36 = 6$).
चरण 3: दशमलव बिंदु को भागफल ($6.$) में रखें और युग्म $25$ को नीचे लाकर $625$ बनाएं।
चरण 4: दोहरा भागफल: $6 \times 2 = 12$। परीक्षण भाजक: $125 \times 5 = 625$.
चरण 5: शेष $= 0$.
• अंतिम उत्तर:

$$\mathbf{\sqrt{42.25} = 6.5}$$

.


42 और 25 के रूप में जोड़ें। $6^2 = 36$, शेष 6. भाजक $125 \times 5 = 625$। परिणाम 6.5 है।
6
$25^2$ और $26^2$ के बीच कितनी गैर-पूर्ण वर्ग प्राकृतिक संख्याएँ हैं?
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर:

• $n^2$ और $(n + 1)^2$ के बीच गैर-पूर्ण वर्ग संख्याओं की संख्या का सूत्र सख्ती से $2n$ है।
• यहाँ $n = 25$.

$$\text{Number of non-square numbers} = 2 \times 25 = \mathbf{50}$$

.
(जांचें: $26^2 - 25^2 - 1 = 676 - 625 - 1 = 50$).


$2n$ लागू करें: $2 \times 25 = 50$.
7
एक वर्गाकार मैदान की भुजा ज्ञात करें जिसका क्षेत्रफल $7744\text{ square meters}$ है.
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर: वर्गाकार मैदान का क्षेत्रफल $= \text{side}^2 = 7744\text{ m}^2$.
$$\text{Side} = \sqrt{7744}$$
लंबे विभाजन द्वारा ($\overline{77} \; \overline{44}$ के रूप में जोड़ा गया):
• $8^2 = 64$। शेष $= 77 - 64 = 13$.
• नीचे लाएं $44 \to 1344$.
• दोहरा भागफल: $8 \times 2 = 16$. परीक्षण विभाजक: $168 \times 8 = 1344$.
$$\text{Side} = \mathbf{88\text{ meters}}$$.
$\sqrt{7744} = 88\text{ meters}$.
8
गणना किए बिना, कारण सहित बताएं कि क्या $1057$ और $23453$ पूर्ण वर्ग हो सकते हैं।
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर:

• $1057$: पूर्ण वर्ग नहीं हो सकता क्योंकि इसकी इकाई का अंक $7$ है। किसी भी प्राकृत संख्या का वर्ग केवल $0, 1, 4, 5, 6,$ या $9$ पर समाप्त हो सकता है।
• $23453$: पूर्ण वर्ग नहीं हो सकता क्योंकि इसकी इकाई का अंक $3$ है।
• $2, 3, 7,$ या $8$ पर समाप्त होने वाली संख्याएँ कभी भी पूर्ण वर्ग नहीं हो सकती.


कोई भी पूर्ण वर्ग नहीं हो सकता; 2, 3, 7, या 8 पर समाप्त होने वाली संख्याएँ कभी भी पूर्ण वर्ग नहीं होतीं।
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अध्याय 1: गुणनखंडन (Factorisation) (Factorisation) अध्याय 2: परिमेय संख्याएँ (Rational Numbers) अध्याय 3: घातांक (Exponents) अध्याय 4: वर्ग और वर्गमूल (Squares and Square Roots) अध्याय 5: घन और घनमूल (Cubes and Cube Roots) अध्याय 6: संख्याओं के साथ खेलना (Playing With Numbers) अध्याय 7: समुच्चय (Sets) अध्याय 8: प्रतिशतता (Percentage) अध्याय 9: लाभ, हानि और छूट (Profit, Loss and Discount) अध्याय 10: सरल एवं चक्रवृद्धि ब्याज (Simple and Compound Interest) अध्याय 11: प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम भिन्नताएँ (Direct and Inverse Variations) अध्याय 12: बीजीय व्यंजक (Algebraic Expressions) अध्याय 13: बीजगणितीय सर्वसमिकाएँ (Algebraic Identities) अध्याय 14: रैखिक असमिकाएँ (Linear Inequations) अध्याय 15: रैखिक समीकरण (Linear Equations) अध्याय 16: आकारों की समझ (Understanding Shapes) अध्याय 17: त्रिविमीय आकारों का द्विविमीय निरूपण (Representing 3D in 2D) अध्याय 18: विशेष प्रकार के चतुर्भुजों का निर्माण (Construction of Special Types of Quadrilaterals) अध्याय 19: आलेखों से परिचय (Introduction to Graphs) (Introduction to Graphs) अध्याय 20: रेखा समरूपता और परावर्तन (Line Symmetry and Reflection) अध्याय 21: घेरा (Circle) अध्याय 22: सरलरेखीय आकृतियों का क्षेत्रफल (Area of Rectilinear Figures) अध्याय 23: ठोसों का सतही क्षेत्रफल और आयतन (Surface Area and Volume of Solids) अध्याय 24: आँकड़ों का प्रबंधन (Data Handling) अध्याय 25: प्रायिकता (Probability)

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