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ICSE • कक्षा 9 • Mathematics • अध्याय 4
अनुमानित समय: 45 Mins
प्रगति: अध्ययनरत

गुणनखंडन (Factorisation) (Factorisation)

आईसीएसई कक्षा 9 गणित में, "गुणनखंडन" एक मिश्रित बहुपद अभिव्यक्ति को सरल बीजगणितीय कारकों के एक अघुलनशील उत्पाद में विघटित करने का मूलभूत बीजगणितीय अनुशासन है। विस्तार की व्युत्क्रम संक्रिया के रूप में, बहुपद समीकरणों को हल करने, तर्कसंगत बीजगणितीय अभिव्यक्तियों को सरल बनाने और कार्यों का विश्लेषण करने के लिए गुणनखंडन पूरे गणित में उपयोग की जाने वाली प्रमुख तकनीक है। आईसीएसई पाठ्यक्रम विधिपूर्वक गुणनखंडन के चार प्रमुख वर्ग विकसित करता है: (1) सामान्य एकपद और बहुपद कारकों को निकालना; (2) शब्दों को जोड़े या त्रिक में समूहित करके गुणनखंडन; (3) दो वर्गों के अंतर का गुणनखंड $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ और इसके नेस्टेड पुनरावृत्तियों (उदाहरण के लिए, $a^4 - b^4$); (4) मध्य पद को विभाजित करके सामान्य विहित रूप $ax^2 + bx + c$ के द्विघात त्रिपदों का गुणनखंडन (जहाँ दो संख्याएँ $p$ और $q$ इस प्रकार चुनी जाती हैं कि $p + q = b$ और $pq = ac$); (5) वर्ग ($a^4 + a^2b^2 + b^4$) को पूरा करके गुणनखंडन; और (6) मूलभूत सूत्रों $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ और $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ का उपयोग करके दो घनों के योग और अंतर का गुणनखंडन। अध्याय रणनीतिक पैटर्न पहचान, बहु-चरणीय नेस्टेड गुणनखंडन, मिश्रित बीजगणितीय चर के प्रतिस्थापन और कठोर जाँच पर जोर देता है।

अध्याय CBT ऑनलाइन टेस्ट दें सभी अध्याय देखें
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आरएसए एन्क्रिप्शन रहस्य: कैसे आधुनिक इंटरनेट सुरक्षा पूरी तरह से फैक्टराइजेशन की कठिनाई पर निर्भर करती है

हर बार जब आप अपने ईमेल में लॉग इन करते हैं, यूपीआई पर ऑनलाइन भुगतान करते हैं, या एक एन्क्रिप्टेड व्हाट्सएप संदेश भेजते हैं, तो आपका डेटा फैक्टराइजेशन के गणित द्वारा सुरक्षित होता है! 1970 के दशक में, गणितज्ञ रिवेस्ट, शमीर और एडलमैन ने एक आकर्षक गणितीय विषमता के आधार पर आरएसए क्रिप्टोसिस्टम बनाया: एक कंप्यूटर को दो अभाज्य संख्याओं को एक साथ गुणा करने के लिए एक माइक्रोसेकंड का एक अंश लगता है (विस्तार: $p \times q = N$), लेकिन यदि आप कंप्यूटर को 300 अंकों की बड़ी संख्या $N$ देते हैं, तो ग्रह पृथ्वी पर सभी सुपर कंप्यूटरों को इसे वापस इसके कारकों में तोड़ने में लाखों वर्ष लगेंगे $p$ और $q$ (कारकीकरण)! बीजगणित में, गुणनखंडन आपकी मास्टर कुंजी है - यह एक अनियंत्रित, अघुलनशील बहुपद को कारकों के एक साफ उत्पाद में बदल देता है जिसे इसकी जड़ों को प्रकट करने के लिए शून्य पर सेट किया जा सकता है। मास्टर गणितज्ञ $x^4 + 4y^4$ जैसी उलझी हुई अभिव्यक्ति को कैसे देखते हैं और तुरंत इसके छिपे हुए कारकों को कैसे पहचान लेते हैं? आइए हम बीजगणितीय अपघटन की कला की खोज करें!

यह अध्याय क्यों महत्वपूर्ण है

द्विघात और बहुपद समीकरणों को हल करने, कैलकुलस में तर्कसंगत अभिव्यक्तियों को सरल बनाने, सीमाएं खोजने और मैकेनिकल और इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग में जड़ों की गणना करने के लिए गुणनखंडन अपरिहार्य है।

अध्ययन से पूर्व (आवश्यक ज्ञान)

  • विस्तार से मौलिक पहचान: $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$ और $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$।
  • बीजीय एकपदी का HCF ढूँढना।

इस अध्याय के लक्ष्य

  • पहचानें और सामान्य गुणनखंड निकालकर और समूह बनाकर बीजीय व्यंजकों का गुणनखंड बनाएं।
  • दो वर्गों के अंतर $a^2 - b^2$ और वर्गों के पुनरावृत्तीय अंतर का उपयोग करके द्विपद का गुणनखंड बनाएं।
  • मध्यावधि विभाजन विधि द्वारा व्यवस्थित रूप से द्विघात त्रिपद $ax^2 + bx + c$ का विघटन करें।
  • वर्ग को दो के अंतर में पूरा करके व्यंजकों का गुणनखंड करें। वर्ग.
  • संमिश्र बहुपदों को गुणनखंडित करने के लिए घन योग और अंतर सूत्र $a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)$ लागू करें।

अध्याय रूपरेखा एवं प्रगति

1 1. सामान्य कारक और समूहन विधि
2 2. दो वर्गों का अंतर: $a^2 - b^2$
3 3. द्विघात त्रिपद: मध्यावधि विभाजन...
4 4. दो घनों का योग और अंतर
5 5. आईसीएसई समस्या मूलरूप पर काम किय...

सम्पूर्ण सैद्धांतिक एवं वैचारिक अध्ययन

1. सामान्य कारक और समूहन विधि

मौलिक तकनीक
ए. सामान्य एकपदी/द्विपद गुणनखंड निकालना:

गुणांकों और परिवर्तनीय शक्तियों के उच्चतम सामान्य कारक (एचसीएफ) के लिए हमेशा पहले संपूर्ण अभिव्यक्ति का निरीक्षण करें:

$$12x^2y - 18xy^2 = 6xy(2x - 3y)$$
बी. समूहीकरण द्वारा गुणनखंडन:

जब किसी अभिव्यक्ति में 4 या अधिक पद हों और कोई समग्र सामान्य कारक न हो, तो सामान्य कारकों को साझा करने वाले जोड़ों में शब्दों को समूहित करें:

$$ab + bc + ax + cx = b(a + c) + x(a + c) = (a + c)(b + x)$$

चिह्न परिवर्तन पर चेतावनी: किसी समूह से नकारात्मक चिह्न निकालते समय, सुनिश्चित करें कि आंतरिक चिह्न उलटे हों: $(ax - ay - bx + by) = a(x - y) - b(x - y) = (x - y)(a - b)$.

2. दो वर्गों का अंतर: $a^2 - b^2$

वर्गों का अंतर सूत्र $$\mathbf{a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)}$$
पुनरावृत्तीय/वर्गों का नेस्टेड अंतर:

उच्च सम डिग्री के भावों को तब तक पूरी तरह से गुणनखंडित किया जाना चाहिए जब तक कि वर्गों का कोई और अंतर लागू न किया जा सके:

$$x^4 - 16 = (x^2)^2 - 4^2 = (x^2 - 4)(x^2 + 4) = (x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)$$

नोट: दो वर्गों का योग $(x^2 + 4)$ वास्तविक संख्याओं ($\mathbb{R}$) पर आगे गुणनखंडित नहीं किया जा सकता है.

3. द्विघात त्रिपद: मध्यावधि विभाजन ($ax^2 + bx + c$)

मध्यावधि विभाजन एल्गोरिदम
मानक विभाजन एल्गोरिथ्म:
  1. द्विघात त्रिपद को विहित अवरोही क्रम में लिखें: $ax^2 + bx + c$.
  2. अग्रणी गुणांक और स्थिर पद के उत्पाद की गणना करें: $P = a \times c$.
  3. दो पूर्णांक $p$ और $q$ इस प्रकार खोजें कि: $$p + q = b \quad \text{and} \quad p \times q = a \times c$$
  4. मध्य पद $bx$ को $(px + qx)$ के रूप में विभाजित करें और जोड़ियों को समूहीकृत करके गुणनखंड करें: $$ax^2 + bx + c = ax^2 + px + qx + c$$
$p$ और $q$ के लिए साइन नियम:
  • यदि $ac > 0$: $p$ और $q$ दोनों में समान चिह्न होना चाहिए (यदि $b > 0$ है तो दोनों सकारात्मक; यदि $b < 0$ है तो दोनों नकारात्मक)।
  • यदि $ac < 0$: $p$ और $q$ में विपरीत चिह्न होने चाहिए, संख्यात्मक रूप से बड़े कारक के साथ $b$ का चिह्न होना चाहिए।

4. दो घनों का योग और अंतर

घन गुणनखंड सूत्र
सूत्र:
$$\mathbf{a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)}$$ $$\mathbf{a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)}$$
मुख्य संरचनात्मक अवलोकन:
  • रैखिक द्विपद गुणनखंड $(a \pm b)$ मूल अभिव्यक्ति के समान चिह्न रखता है।
  • द्विघात त्रिपद गुणनखंड $(a^2 \mp ab + b^2)$ में, मध्य पद में विपरीत चिह्न है, और 2 का कोई गुणनखंड नहीं है (यह $-ab$ है, $-2ab$ नहीं)।

5. आईसीएसई समस्या मूलरूप पर काम किया

अनुकरणीय समाधान
समस्या 1: पूरी तरह से गुणनखंड करें: $6x^2 - 17x + 12$.

समाधान:

यहां, $a = 6$, $b = -17$, $c = 12$.

उत्पाद $ac = 6 \times 12 = 72$.

हमें दो संख्याएँ $p$ और $q$ चाहिए जिनका गुणनफल $72$ है और योग $-17$ है। संख्याएँ $-9$ और $-8$ ($(-9)(-8) = 72, (-9) + (-8) = -17$).

हैं

मध्य पद को विभाजित करना:

$$6x^2 - 17x + 12 = 6x^2 - 9x - 8x + 12$$ $$= 3x(2x - 3) - 4(2x - 3) = \mathbf{(2x - 3)(3x - 4)}$$
समस्या 2: गुणनखंड: $x^4 + x^2y^2 + y^4$.

समाधान (वर्ग पूरा करना):

ध्यान दें कि $(x^2 + y^2)^2 = x^4 + 2x^2y^2 + y^4$.

पूर्ण वर्ग पूरा करने के लिए $x^2y^2$ जोड़ें और घटाएँ:

$$x^4 + x^2y^2 + y^4 = (x^4 + 2x^2y^2 + y^4) - x^2y^2$$ $$= (x^2 + y^2)^2 - (xy)^2$$

दो वर्गों के अंतर को लागू करने का सूत्र $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$:

$$= \mathbf{(x^2 + y^2 - xy)(x^2 + y^2 + xy)}$$

महत्वपूर्ण सूत्र, सर्वसमिकाएँ एवं प्रमेय

दो वर्गों का अंतर
$$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$$
किसी भी द्विपद पर लागू होता है जिसमें दो वर्ग पद ऋण से अलग होते हैं।
त्रिनोमियल विभाजन
$$ax^2 + bx + c = ax^2 + px + qx + c, \quad p+q=b, \; pq=ac$$
द्विघात त्रिपद को गुणनखंड योग्य युग्मों में विघटित करता है।
दो घनों का योग
$$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$$
त्रिनोमियल में मध्य पद विपरीत होता है चिह्न और कोई गुणांक नहीं 2.
दो घनों का अंतर
$$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$$
ट्रिनोमियल कारक वास्तविक गैर-शून्य मानों के लिए सख्ती से सकारात्मक है।

गणित: गुणनखंडन निर्णय वृक्ष और मध्य-अवधि विभाजन

Master Factorisation Decision Flowchart for Polynomials Step 1: Extract Overall Common Factor (HCF) How many terms remaining? 2 Terms (Binomial) • Difference of Squares: a² - b² = (a - b)(a + b) • Sum / Diff of Cubes: a³ + b³ = (a+b)(a² - ab + b²) a³ - b³ = (a-b)(a² + ab + b²) 3 Terms (Trinomial) • Perfect Square Trinomial: a² ± 2ab + b² = (a ± b)² • Split Middle Term: ax² + bx + c Find p, q: p+q=b, pq=ac 4 or More Terms • Grouping by Pairs: ab + bc + ad + cd = b(a+c) + d(a+c) • 3 Terms to 1 Square: (a² + 2ab + b²) - c² = (a+b)² - c²

अध्याय का सार संक्षेप एवं 10 मुख्य निष्कर्ष

मुख्य बिंदु 1
गुणनखंडन एक बीजगणितीय अभिव्यक्ति को अपरिवर्तनीय उत्पाद के रूप में लिखने की प्रक्रिया है Factors.
मुख्य बिंदु 2
हमेशा सबसे पहले सबसे बड़े सामान्य गुणनखंड (HCF) की जाँच करें और निकालें।
मुख्य बिंदु 3
जब 4 पद मौजूद हों, तो सामान्य द्विपद गुणनखंड खोजने के लिए उन्हें जोड़े में समूहित करें।
मुख्य बिंदु 4
दो वर्गों की पहचान का अंतर a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) है।
मुख्य बिंदु 5
a^4 - b^4 जैसे भाव (a^2 + b^2)(a + b)(a - b) में गुणनखंडित होते हैं।
मुख्य बिंदु 6
ax^2 + bx + c का गुणनखंड करने के लिए, दो संख्याएँ p और q इस प्रकार खोजें कि p + q = b और pq = ac.
मुख्य बिंदु 7
दो घनों की पहचान का योग: a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2).
मुख्य बिंदु 8
दो घनों की पहचान का अंतर: a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2).
मुख्य बिंदु 9
In a^3 ± b^3, त्रिपद गुणनखंड a^2 ∓ ab + b^2 में 2.
मुख्य बिंदु 10
का गुणांक नहीं है। प्रपत्र a^4 + a^2b^2 + b^4 के भावों को वर्ग को (a^2 + b^2)^2 - (ab)^2.

स्व-मूल्यांकन अभ्यास (Check Your Understanding)

मूल वैचारिक स्पष्टता की जांच के लिए नैदानिक प्रश्न। पहले स्वयं हल करें, फिर उत्तर देखें।

1
पूर्णतः गुणनखंडित करके गुणनखंडित किया जाता है: $16x^4 - 81y^4$.
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर: • पदों को वर्गों के वर्ग के रूप में लिखें:
$$16x^4 - 81y^4 = (4x^2)^2 - (9y^2)^2$$
• दो वर्गों का अंतर लागू करें $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$:
$$= (4x^2 - 9y^2)(4x^2 + 9y^2)$$
• ध्यान दें कि पहला कारक $(4x^2 - 9y^2)$ फिर से दो वर्गों का अंतर है:
$$4x^2 - 9y^2 = (2x)^2 - (3y)^2 = (2x - 3y)(2x + 3y)$$
• दूसरा कारक $(4x^2 + 9y^2)$ वर्गों का योग है और इसे वास्तविक संख्याओं पर गुणनखंडित नहीं किया जा सकता है।
• अंतिम पूर्ण गुणनखंडन:
$$\mathbf{(2x - 3y)(2x + 3y)(4x^2 + 9y^2)}$$
वर्गों का अंतर दो बार लागू करें: (4x^2 - 9y^2)(4x^2 + 9y^2), फिर पहले पद का फिर से गुणनखंड करें।
2
द्विघात त्रिपद का गुणनखंड करें: $12x^2 - 23x + 10$.
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर: • पहचानें $a = 12, b = -23, c = 10$.
• उत्पाद की गणना करें $ac = 12 \times 10 = 120$.
• हमें दो नकारात्मक पूर्णांकों की आवश्यकता है जिनका योग $-23$ है और उत्पाद है $120$.
120 के गुणनखंड: $15 \times 8 = 120$ और $15 + 8 = 23$.
इसलिए $p = -15, q = -8$.
• मध्य को विभाजित करें अवधि:
$$12x^2 - 23x + 10 = 12x^2 - 15x - 8x + 10$$
$$= 3x(4x - 5) - 2(4x - 5) = \mathbf{(4x - 5)(3x - 2)}$$
उत्पाद ac = 120, योग = -23। गुणनखंड -15 और -8 हैं।
3
पूरी तरह से गुणनखंड करें: $a^3 - 8b^3 - 64c^3 - 24abc$.
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर: • घन रूप में शब्दों को फिर से लिखें:
$$a^3 + (-2b)^3 + (-4c)^3 - 3(a)(-2b)(-4c)$$
• यह मास्टर घन पहचान से मेल खाता है: $x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx)$ के साथ $x = a, y = -2b, z = -4c$.
• रैखिक कारक: $(x + y + z) = (a - 2b - 4c)$
• द्विघात फ़ैक्टर:
$$x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx = a^2 + (-2b)^2 + (-4c)^2 - a(-2b) - (-2b)(-4c) - (-4c)(a)$$
$$= a^2 + 4b^2 + 16c^2 + 2ab - 8bc + 4ca$$
• इसलिए:
$$\mathbf{(a - 2b - 4c)(a^2 + 4b^2 + 16c^2 + 2ab - 8bc + 4ca)}$$
x= a, y = -2b, z = -4c को x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz में पहचानें।
4
Factorise: $x^2 - y^2 - 2y - 1$.
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर: • अंतिम तीन पदों को समूहित करें और ऋणात्मक चिह्न का गुणनखंड करें:
$$x^2 - (y^2 + 2y + 1)$$
• ध्यान दें कि $(y^2 + 2y + 1)$ एक पूर्ण वर्ग है: $(y + 1)^2$.
$$= x^2 - (y + 1)^2$$
• अब दो वर्गों $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$ के अंतर को $A = x, B = (y + 1)$:
के साथ लागू करें $$= [x - (y + 1)][x + (y + 1)] = \mathbf{(x - y - 1)(x + y + 1)}$$
x^2 - (y^2 + 2y + 1) = x^2 - (y + 1)^2 के रूप में समूहित करें।
5
कारक: $27x^3 + 64y^3$.
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर: • प्रत्येक पद को एक पूर्ण घन के रूप में लिखें:
$$27x^3 + 64y^3 = (3x)^3 + (4y)^3$$
• घन पहचान का योग लागू करें $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ $a = 3x, b = 4y$ के साथ:
$$= (3x + 4y)[(3x)^2 - (3x)(4y) + (4y)^2]$$
$$= \mathbf{(3x + 4y)(9x^2 - 12xy + 16y^2)}$$
a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) का उपयोग a = 3x, b = 4y के साथ।
6
वर्ग पूरा करके गुणनखंड करें: $x^4 + 4$.
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर: • हमारे पास $x^4 + 4 = (x^2)^2 + 2^2$.
• है $(x^2 + 2)^2$ का वर्ग पूरा करने के लिए, हमें मध्य पद $2(x^2)(2) = 4x^2$.
• की आवश्यकता है $4x^2$ जोड़ें और घटाएं:
$$x^4 + 4 = (x^4 + 4x^2 + 4) - 4x^2$$
$$= (x^2 + 2)^2 - (2x)^2$$
• दो वर्गों का अंतर लागू करें $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$:
$$= \mathbf{(x^2 + 2 - 2x)(x^2 + 2 + 2x)} = (x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2)$$
(x^2 + 2)^2 - (2x)^2 बनाने के लिए 4x^2 जोड़ें और घटाएं।
7
अभिव्यक्ति का गुणनखंड करें: $2(x^2 + 5x)^2 - 5(x^2 + 5x) - 3$.
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर: • मान लीजिए $y = x^2 + 5x$। अभिव्यक्ति $y$ में एक द्विघात को सरल बनाती है:
$$2y^2 - 5y - 3$$
• मध्य पद को विभाजित करें ($ac = 2 \times (-3) = -6$, योग = $-5 \implies -6$ और $+1$):
$$2y^2 - 6y + y - 3 = 2y(y - 3) + 1(y - 3) = (y - 3)(2y + 1)$$
• $y = x^2 + 5x$:
को पीछे रखें $$= (x^2 + 5x - 3)(2(x^2 + 5x) + 1) = \mathbf{(x^2 + 5x - 3)(2x^2 + 10x + 1)}$$
2y^2 - 5y - 3 = (y - 3)(2y + 1) प्राप्त करने के लिए y = x^2 + 5x को प्रतिस्थापित करें।
8
गुणनखंड: $a^3 - \frac{1}{a^3} - 2a + \frac{2}{a}$.
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर: • घन पदों और रैखिक पदों को अलग-अलग समूहित करें:
$$\left(a^3 - \frac{1}{a^3}\right) - 2\left(a - \frac{1}{a}\right)$$
• का विस्तार करें घनों का अंतर $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$:
$$\left(a - \frac{1}{a}\right)\left(a^2 + 1 + \frac{1}{a^2}\right) - 2\left(a - \frac{1}{a}\right)$$
• सामान्य द्विपद $\left(a - \frac{1}{a}\right)$:
$$= \left(a - \frac{1}{a}\right)\left[a^2 + 1 + \frac{1}{a^2} - 2\right] = \left(a - \frac{1}{a}\right)\left(a^2 - 1 + \frac{1}{a^2}\right)$$
समूह को (a^3 - 1/a^3) - 2(a - 1/a) के रूप में गुणनखंडित करें, फिर (a - 1/a) को गुणनखंडित करें।
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