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ICSE • कक्षा 9 • Mathematics • अध्याय 23
अनुमानित समय: 45 Mins
प्रगति: अध्ययनरत

चित्रमय समाधान (Graphical Solution)

आईसीएसई कक्षा 9 गणित में, "ग्राफिकल सॉल्यूशन" छात्रों को मिलीमीटर ग्राफ पेपर पर ग्राफिक रूप से एक साथ रैखिक समीकरणों को हल करने के लिए सिखाकर बीजगणित को एकजुट करता है और ज्यामिति का समन्वय करता है। दो चरों में एक रैखिक समीकरण $ax + by + c = 0$ ज्यामितीय रूप से कार्टेशियन विमान में एक अद्वितीय सीधी रेखा से मेल खाता है। एक सीधी रेखा बनाने के लिए, छात्र कम से कम तीन अलग-अलग बिंदु $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$ ढूंढते हुए समाधान की एक तालिका बनाते हैं - जिसमें तीसरा बिंदु प्लॉटिंग या अंकगणितीय त्रुटियों के खिलाफ एक अनिवार्य संरेखता जांच के रूप में कार्य करता है। अध्याय व्यवस्थित रूप से विकसित होता है: (1) अक्ष अंतःखंडों का निर्धारण करके सीधी रेखाओं को आलेखित करना ($y$-अवरोधन खोजने के लिए $x = 0$ सेट करना, और $x$-अवरोधन खोजने के लिए $y = 0$ सेट करना); (2) उनके अद्वितीय प्रतिच्छेदन बिंदु $(x_0, y_0)$ का पता लगाने के लिए एक साथ सिस्टम $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ का रेखांकन करना, जो सिस्टम के ग्राफिकल समाधान का गठन करता है; (3) रेखाओं की प्रकृति का निर्धारण: प्रतिच्छेदी (अद्वितीय समाधान), समानांतर रेखाएं (कोई समाधान नहीं), या संपाती रेखाएं (असीम कई समाधान); (4) $\text{Area} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{height}$ का उपयोग करके दो प्लॉट की गई रेखाओं और $X$-अक्ष ($y = 0$) या $Y$-अक्ष ($x = 0$) से घिरे त्रिकोणीय क्षेत्र के क्षेत्र की गणना करना; और (5) ग्राफ़ ग्रिड पेपर से सीधे निर्देशांक पढ़ना।

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प्रस्तावना अध्याय अवधारणाएँ सूत्र एवं सर्वसमिकाएँ अध्याय सारांश स्व-मूल्यांकन अभ्यास टेस्ट दें

पायलट का रडार अवरोधन: एयर नेविगेशन एक ग्रिड स्क्रीन पर दो उड़ान पथों को कैसे हल करता है

सैन्य रडार संचालन में, जब एक वायु रक्षा नियंत्रक एक आने वाले लक्ष्य को ट्रैक करता है और एक इंटरसेप्टर जेट को उसके साथ मिलने का आदेश देता है, तो कंप्यूटर स्क्रीन कार्टेशियन समन्वय ग्रिड में यात्रा करते हुए दो चमकती हरी रेखाएं प्रदर्शित करती है। लक्ष्य का प्रक्षेपवक्र $2x - 3y = 6$ द्वारा दर्शाया गया है, और इंटरसेप्टर का पथ $x + y = 8$ है। सामरिक उड़ान कंप्यूटर सटीक भौगोलिक निर्देशांक कैसे ढूंढता है जहां दो उड़ान पथ मिलेंगे? यह उनका ग्राफ़िकल समाधान प्लॉट करता है! ग्रिड में दो रैखिक समीकरणों को प्रक्षेपित करने से, सटीक प्रतिच्छेदन बिंदु $(6, 2)$ स्क्रीन पर चमकता है, यह दर्शाता है कि दोनों विमान निर्देशांक $x = 6\text{ km}$ पूर्व और $y = 2\text{ km}$ उत्तर पर पार करेंगे! हम रेखांकन त्रुटियाँ किए बिना 100% परिशुद्धता के साथ सीधी रेखाएँ कैसे चित्रित कर सकते हैं? हम उड़ान पथ और रनवे अक्ष के बीच संलग्न सटीक ईंधन क्षेत्र की गणना कैसे कर सकते हैं? आइए हम ग्राफ़िकल समाधानों में महारत हासिल करें!

यह अध्याय क्यों महत्वपूर्ण है

ग्राफ़िकल रैखिक समाधान संचालन अनुसंधान में रैखिक प्रोग्रामिंग, अर्थशास्त्र में ब्रेकइवेन विश्लेषण (राजस्व बनाम लागत रेखाएं), कंप्यूटर ग्राफिक्स क्लिपिंग और इंजीनियरिंग यांत्रिकी का आधार हैं।

अध्ययन से पूर्व (आवश्यक ज्ञान)

  • अध्याय 22 से कार्तीय तल में बिंदु $(x, y)$ आलेखित करना।
  • बुनियादी रैखिक बीजगणितीय समीकरणों को हल करना।

इस अध्याय के लक्ष्य

  • दो चरों में किसी भी रैखिक समीकरण के लिए कम से कम तीन बिंदुओं के साथ मानों की एक तालिका का निर्माण करना।
  • उचित पैमाने चयन और अक्ष अवरोधन का उपयोग करके ग्राफ़ पेपर पर सीधी रेखाएं प्लॉट करना।
  • दो की एक प्रणाली को हल करें उनके प्रतिच्छेदन बिंदु को ढूंढकर ग्राफ़िक रूप से एक साथ रैखिक समीकरण।
  • ग्राफ़िक रूप से सुसंगत और असंगत प्रणालियों की पहचान करें (प्रतिच्छेद, समानांतर, संपाती)।
  • दो रेखाओं और या तो समन्वय अक्ष से घिरे त्रिकोण के क्षेत्र की गणना करें।

अध्याय रूपरेखा एवं प्रगति

1 1। एक रेखीय समीकरण आलेखित करने के ल...
2 2. आलेखीय समाधान एवं परिबद्ध त्रिभु...
3 3. आईसीएसई समस्या मूलरूप पर काम किय...

सम्पूर्ण सैद्धांतिक एवं वैचारिक अध्ययन

1। एक रेखीय समीकरण आलेखित करने के लिए एल्गोरिदम

प्लॉटिंग एल्गोरिथम
चरण-दर-चरण विधि:
  1. एक्सप्रेस $y$ स्पष्ट रूप से $x$ के संदर्भ में: $y = \frac{-c - ax}{b}$.
  2. $x$ के लिए कम से कम तीन सुविधाजनक पूर्णांक मान चुनें और $y$ के संबंधित मानों की गणना करें। (तीन बिंदु अनिवार्य हैं: दो बिंदु रेखा को परिभाषित करते हैं, और तीसरा बिंदु किसी भी अंकगणितीय गणना त्रुटि का पता लगाता है - यदि सभी तीन बिंदु एक ही सीधी रेखा पर नहीं हैं, तो एक त्रुटि उत्पन्न हुई है!)।
  3. आदेशित युग्मों को सारणीबद्ध करें $(x, y)$.
  4. ग्राफ पेपर पर एक उपयुक्त पैमाना चुनें (उदाहरण के लिए, दोनों अक्षों पर $1\text{ cm} = 1\text{ unit}$)।
  5. बिंदुओं को प्लॉट करें और एक रूलर की सहायता से उनके बीच एक विस्तारित सीधी रेखा खींचें। रेखा को उसके समीकरण के साथ लेबल करें।

2. आलेखीय समाधान एवं परिबद्ध त्रिभुज क्षेत्र

एक साथ सिस्टम और क्षेत्र
ए. एक साथ समाधान ढूँढना:

दोनों पंक्तियों $L_1$ और $L_2$ को एक ही कार्टेशियन ग्रिड पर प्लॉट करें। उनके प्रतिच्छेदन बिंदु $P(x_0, y_0)$ के निर्देशांक सिस्टम का अद्वितीय एक साथ समाधान देते हैं।

बी. घिरे हुए त्रिभुज क्षेत्र की गणना:

अक्सर, आईसीएसई परीक्षा के प्रश्नों में रेखाओं $L_1, L_2$ और $X$-अक्ष:

द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने की आवश्यकता होती है।
  • तीन शीर्षों की पहचान करें: प्रतिच्छेदन बिंदु $P(x_0, y_0)$, और $x$-अवरोधन $A(x_1, 0)$ और $B(x_2, 0)$ जहां रेखाएं $X$-अक्ष को काटती हैं।
  • त्रिभुज का आधार ($AB$): $|x_2 - x_1|$ ($X$-अक्ष के अनुदिश दूरी).
  • त्रिभुज की ऊंचाई ($h$): $|y_0|$ ($P$ से $X$-अक्ष तक लंबवत दूरी, जो $P$ की कोटि का पूर्ण मान है)।
  • $$\mathbf{\text{Area} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{height} = \frac{1}{2} |x_2 - x_1| \times |y_0|}$$

3. आईसीएसई समस्या मूलरूप पर काम किया

अनुकरणीय समाधान
समस्या: रैखिक समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली को आलेखीय रूप से हल करें:
$$x + y = 5 \quad \text{--- (1)}$$ $$2x - y = 4 \quad \text{--- (2)}$$

इसलिए, इन रेखाओं और $Y$-अक्ष से घिरे त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

समाधान:

पंक्ति 1: $x + y = 5 \implies y = 5 - x$

$x$$0$$2$$3$
$y$$5$$3$$2$

अंक: $(0, 5), (2, 3), (3, 2)$.

पंक्ति 2: $2x - y = 4 \implies y = 2x - 4$

$x$$0$$2$$3$
$y$$-4$$0$$2$

अंक: $(0, -4), (2, 0), (3, 2)$.

ग्राफिकल प्रतिच्छेदन: दोनों रेखाएं बिंदु $\mathbf{P(3, 2)}$.

पर प्रतिच्छेद करती हैं

$$\mathbf{\text{Solution: } x = 3, \quad y = 2}$$

रेखाओं और $Y$-अक्ष से घिरा त्रिभुज का क्षेत्रफल:

  • रेखाएं $Y$-अक्ष ($x = 0$) को $A(0, 5)$ और $B(0, -4)$ पर काटती हैं।
    • §110$Y$-अक्ष के साथ आधार $= 5 - (-4) = 9\text{ units}$. §114$P(3, 2)$ से $Y$-अक्ष तक लंबवत ऊंचाई भुज है: $h = 3\text{ units}$.
  • $$\text{Area} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times h = \frac{1}{2} \times 9 \times 3 = \mathbf{13.5\text{ sq. units}}$$

महत्वपूर्ण सूत्र, सर्वसमिकाएँ एवं प्रमेय

रैखिक समीकरण प्रपत्र
ax + by + c = 0
कार्तीय तल में एक सीधी रेखा के रूप में रेखांकन।
अंतच्छेदन समाधान
$$L_1 \cap L_2 = P(x_0, y_0)$$
प्रतिच्छेदन बिंदु एक साथ अद्वितीय समाधान है।
परिबद्ध त्रिभुज क्षेत्र
$$\text{Area} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{height}$$
अक्ष के अनुदिश आधार, ऊंचाई शीर्ष से लंबवत दूरी है।

गणित: दो रैखिक समीकरणों और बंधे हुए त्रिभुज का आलेखीय समाधान

Graphical Solution: Intersection of x + y = 5 and 2x - y = 4 X Y O L₁: x + y = 5 L₂: 2x - y = 4 P (3, 2) x = 3 y = 2 Area with X-axis = ½(3 - 0) × 2 = 3

अध्याय का सार संक्षेप एवं 10 मुख्य निष्कर्ष

मुख्य बिंदु 1
प्रत्येक रैखिक समीकरण ax + by + c = 0 कार्तीय तल में एक अद्वितीय सीधी रेखा का प्रतिनिधित्व करता है।
मुख्य बिंदु 2
अंकगणितीय गणना से बचने के लिए एक रेखा खींचने के लिए कम से कम तीन बिंदुओं को सारणीबद्ध किया जाना चाहिए। त्रुटियाँ।
मुख्य बिंदु 3
दो अंकित रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक एक साथ अद्वितीय समाधान देते हैं।
मुख्य बिंदु 4
यदि दो रेखाएँ समानांतर हैं, तो सिस्टम का कोई समाधान नहीं है और असंगत है।
मुख्य बिंदु 5
यदि दो रेखाएँ मेल खाती हैं, तो सिस्टम में अनंत रूप से कई समाधान हैं और निर्भर हैं।
मुख्य बिंदु 6
x-अवरोधन y = 0 सेट करके पाया जाता है; y-अवरोधन x = 0 सेट करके पाया जाता है।
मुख्य बिंदु 7
रेखाओं और X-अक्ष से घिरे त्रिभुज का क्षेत्रफल 1/2 * (x-अवरोधन का अंतर) * |y_intersection|.
मुख्य बिंदु 8
रेखाओं और Y-अक्ष से घिरे त्रिभुज का क्षेत्रफल 1/2 * (y-अवरोधन का अंतर) * है |x_intersection|.
मुख्य बिंदु 9
ग्राफ़ शीट के ऊपरी दाएं कोने पर हमेशा चुने गए पैमाने को स्पष्ट रूप से निर्दिष्ट करें।
मुख्य बिंदु 10
सभी प्लॉट किए गए बिंदुओं और रेखा समीकरणों को स्पष्ट रूप से लेबल करें।

स्व-मूल्यांकन अभ्यास (Check Your Understanding)

मूल वैचारिक स्पष्टता की जांच के लिए नैदानिक प्रश्न। पहले स्वयं हल करें, फिर उत्तर देखें।

1
ग्राफ़ पेपर पर एक सीधी रेखा बनाते समय कम से कम तीन बिंदुओं की गणना करना अनिवार्य क्यों है?
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर:

• ज्यामितीय रूप से, किसी भी दो बिंदुओं को एक सीधी रेखा बनाने के लिए जोड़ा जा सकता है, इसलिए सैद्धांतिक रूप से दो बिंदु एक रेखा खींचने के लिए पर्याप्त हैं।
• हालाँकि, यदि उन दो बिंदुओं में से किसी एक की गणना करने में कोई अंकगणितीय त्रुटि होती है, तो त्रुटि के किसी भी दृश्य संकेत के बिना रेखा गलत तरीके से खींची जाएगी।
• एक तीसरे बिंदु की गणना एक सत्यापन जांच के रूप में कार्य करती है: यदि सभी तीन बिंदु एक ही सीधी रेखा पर सटीक रूप से झूठ नहीं बोलते हैं (यानी, संरेख नहीं हैं), तो यह छात्र को तुरंत सचेत करता है कि तालिका में अंकगणितीय त्रुटि हो गई है।


दो बिंदु हमेशा एक रेखा को परिभाषित करते हैं। तीसरा बिंदु गणना त्रुटियों (कोलीनियरिटी चेक) की जांच करता है।
2
वे निर्देशांक खोजें जहां रेखा $3x - 4y = 12$ प्रतिच्छेद करती है: (i) $X$-अक्ष, (ii) $Y$-अक्ष।
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर:

• (i) $X$-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन: सेट $y = 0$:

$$3x - 4(0) = 12 \implies 3x = 12 \implies x = 4$$


निर्देशांक: $\mathbf{(4, 0)}$.
• (ii) $Y$-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन: सेट $x = 0$:

$$3(0) - 4y = 12 \implies -4y = 12 \implies y = -3$$


निर्देशांक: $\mathbf{(0, -3)}$.


(4, 0) पाने के लिए y = 0 सेट करें। (0, -3) पाने के लिए x = 0 सेट करें।
3
यदि रेखाएँ $2x + 3y = 7$ और $4x + 6y = 10$ को एक ही तल पर रेखांकित किया जाए, तो उनका ज्यामितीय संबंध क्या होगा?
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर:

• गुणांकों के अनुपात की तुलना करें:

$$\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, \quad \frac{b_1}{b_2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}, \quad \frac{c_1}{c_2} = \frac{7}{10}$$


• चूंकि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$:
रेखाएं एक दूसरे के बिल्कुल समानांतर हैं और कभी भी एक दूसरे को नहीं काटतीं।
• सिस्टम असंगत है और इसका कोई समाधान नहीं है।


अनुपात 2/4 = 3/6 ≠ 7/10. रेखाएं बिना किसी समाधान के समानांतर हैं।
4
दो रेखाएं $(4, 3)$ पर प्रतिच्छेद करती हैं और $X$-अक्ष को $(-1, 0)$ और $(5, 0)$ पर काटती हैं। इन रेखाओं और $X$-अक्ष से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर:

• त्रिभुज के तीन शीर्ष $A(-1, 0), B(5, 0)$ हैं, और शीर्ष $P(4, 3)$.
• $X$-अक्ष के अनुदिश आधार:

$$\text{Base} = 5 - (-1) = 6\text{ units}$$


• ऊंचाई: $P(4, 3)$ से लंबवत दूरी $X$-अक्ष की कोटि $y = 3\text{ units}$ है।
• त्रिभुज का क्षेत्रफल:

$$\text{Area} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{height} = \frac{1}{2} \times 6 \times 3 = \mathbf{9\text{ sq. units}}$$


आधार = 5 - (-1) = 6. ऊंचाई = 3. क्षेत्रफल = (1/2) * 6 * 3 = 9 वर्ग इकाई।
5
यदि बिंदु रेखांकन द्वारा निर्धारित करें $(2, -1)$ रेखा $3x + 5y = 1$ पर स्थित है।
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर:

• रैखिक समीकरण के बाईं ओर $x = 2$ और $y = -1$ रखें:

$$\text{LHS} = 3(2) + 5(-1) = 6 - 5 = 1$$


• चूंकि $\text{LHS} = \text{RHS} = 1$, निर्देशांक समीकरण को संतुष्ट करते हैं।
• इसलिए, बिंदु $(2, -1)$ पर स्थित है लाइन.


3(2) + 5(-1) = 6 - 5 = 1 = RHS. हां, बिंदु रेखा पर स्थित है।
6
मूल के निर्देशांक लिखें और ग्राफ़िकल समाधानों में इसका महत्व बताएं।
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर:

• मूल के निर्देशांक $(0, 0)$ हैं।
• महत्व: मूल मूल संदर्भ डेटाम है जिससे सभी सकारात्मक और नकारात्मक दूरियां (क्षैतिज के साथ एब्सिस्सा और ऊर्ध्वाधर के साथ समन्वय) कार्टेशियन विमान में कैलिब्रेट की जाती हैं।


(0, 0)। यह कार्टेशियन समन्वय प्रणाली का शून्य संदर्भ बिंदु है।
7
$X$-अक्ष के समानांतर एक क्षैतिज रेखा बीजगणितीय रूप से क्या दर्शाती है?
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर:

• $X$-अक्ष के समानांतर एक रेखा पर इसके प्रत्येक बिंदु के लिए एक निरंतर ऊर्ध्वाधर समन्वय होता है।
• इसका बीजगणितीय समीकरण $y = c$ रूप का होता है, जहां $c$ एक है स्थिर वास्तविक संख्या. इसका ढलान $0$ है।


y = c (स्थिर), ढलान 0.
8
के साथ आप दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक कैसे पढ़ सकते हैं यदि यह पूर्णांक ग्रिड रेखा पर नहीं पड़ता है?
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर: • ग्राफ़ पेपर के मिलीमीटर उप-ग्रिड डिवीजनों का उपयोग करें।
• निकटतम से छोटे उपखंडों ($1\text{ mm}$ बक्से) की संख्या की गणना करें चिह्नित सेंटीमीटर पूर्णांक ग्रिड लाइन।
• चुने हुए पैमाने से निर्धारित प्रत्येक सबसे छोटे विभाजन के मान से उपविभाजनों की संख्या को गुणा करें, और दशमलव निर्देशांक का एक दशमलव स्थान तक अनुमान लगाएं।
चयनित पैमाने के अनुसार निकटतम पूर्णांक चिह्न से मिलीमीटर विभाजनों की गणना करें।
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